เป็นไปได้ไหมที่จะแก้ปัญหา PDE ที่ไม่ใช่เชิงเส้นโดยไม่ต้องใช้การวนซ้ำของ Newton-Raphson?

ฉันพยายามที่จะเข้าใจผลลัพธ์บางอย่างและจะขอบคุณความคิดเห็นทั่วไปเกี่ยวกับการแก้ปัญหาที่ไม่ใช่เชิงเส้น

สมการของฟิชเชอร์ (PDE แบบไม่เชิงเส้นการกระจาย)

{ยู}_{เสื้อ} = d {ยู}_{x x} + β ยู (1 - ยู) = F (ยู)

$u_t = du_{xx} + \beta u (1 - u) = F(u)$

ในรูปแบบ discretised

{ยู}_{J}^{'} = L ยู + β {ยู}_{J} (1 - {ยู}_{J}) = F (ยู)

$u_j^{\prime} = \boldsymbol{L}\boldsymbol{u} + \beta u_j (1 - u_j) = F(\boldsymbol{u})$

โดยที่ $\boldsymbol{L}$ เป็นตัวดำเนินการส่วนต่างและ $\boldsymbol{u}=(u_{j-1}, u_j, u_{j+1})$ คือลายฉลุแบบแยกส่วน

วิธี

ฉันต้องการใช้รูปแบบโดยนัยเพราะฉันต้องการความเสถียรและขั้นตอนเวลาที่ไม่ จำกัด เพื่อจุดประสงค์นี้ฉันใช้ $\theta$ -method (โปรดทราบว่า $\theta=1$ ให้รูปแบบที่ชัดเจนและ $\theta=0.5$ ให้รูปแบบสี่เหลี่ยมคางหมูหรือ "Crank-Nicolson")

{ยู}_{J}^{'} = θ F ({ยู}^{n + 1}) + (1 - θ) F ({ยู}^{n})

$u_{j}^{\prime} = \theta F(\boldsymbol{u}^{n+1}) + (1-\theta) F(\boldsymbol{u}^{n})$

อย่างไรก็ตามสำหรับปัญหาที่ไม่เชิงเส้นสิ่งนี้ไม่สามารถทำได้เพราะไม่สามารถเขียนสมการในรูปแบบเชิงเส้น

เพื่อแก้ไขปัญหานี้ฉันได้สำรวจวิธีการคำนวณสองวิธี

วิธีการ IMEX

$u_{j}^{'} = \underset{θ - วิธีการแพร่ระยะ}{\underset{⏟}{θ L {ยู}^{n + 1} + (1 - θ) L {ยู}^{n}}} + \underset{คำตอบที่ชัดเจนอย่างเต็มที่}{\underset{⏟}{β {ยู}_{J}^{n} (1 - {ยู}_{J}^{n})}}$ $u_j^{\prime} = \underbrace{\theta\boldsymbol{L}\boldsymbol{u^{n+1}} + (1-\theta)\boldsymbol{L}\boldsymbol{u^{n}}}_{\theta-\text{method diffusion term}} + \underbrace{\beta u_j^{n} (1 - u_j^{n})}_{\text{Fully explicit reaction term}}$
เส้นทางที่ชัดเจนที่สุดคือการไม่สนใจส่วนที่ไม่ใช่เชิงเส้นของเทอมการตอบสนองและเพิ่งอัพเดตเทอมการตอบโต้ด้วยค่าที่ดีที่สุดที่เป็นไปได้นั่นคือจากขั้นตอนเวลาก่อนหน้า ซึ่งส่งผลให้วิธีการ IMEX
ตัวแก้นิวตัน

ν^{k + 1} = ν^{k} - (I - θ τ A^{n})^{- 1} (ν^{k} - u_{n} - (1 - θ) τ F (w^{n}) - θ τ F (w^{n + 1}))

$\nu^{k+1} = \nu^{k} - (I - \theta\tau A^{n})^{-1} \left( \nu^{k} - u_{n} - (1-\theta) \tau F(w^n) - \theta\tau F(w^{n+1}) \right)$

สมการวิธีการแบบเต็มสามารถแก้ไขได้โดยใช้การวนซ้ำของ Newton-Raphson เพื่อค้นหาตัวแปรโซลูชันในอนาคต ที่ไหนเป็นดัชนีซ้ำ ( ) และเป็นเมทริกซ์จาโคเบียนของn) นี่ผมใช้สัญลักษณ์สำหรับย้ำตัวแปรดังกล่าวว่าพวกเขาจะประสบความสำเร็จจากการแก้ปัญหาของสมการที่จุดเวลาจริง n นี่คือตัวแก้ไขนิวตันที่แก้ไขแล้วเพราะยาโคเบียนไม่ได้รับการอัพเดททุกครั้ง $\theta$ $k$ $k\geq0$ $A^{n}$ $F(w^n)$ $\nu^{k}$ $u^n$

ผล

การเปรียบเทียบสมการฟิชเชอร์ของวิธีการเชิงตัวเลข

ผลลัพธ์ข้างต้นถูกคำนวณสำหรับขั้นตอนเวลาที่มีขนาดใหญ่พอสมควรและพวกเขาแสดงความแตกต่างระหว่างวิธีการก้าวเวลาและตัวแก้การวนซ้ำแบบเต็มของนิวตัน

สิ่งที่ฉันไม่เข้าใจ:

ฉันประหลาดใจที่วิธีการเลื่อนเวลาทำ "ตกลง" แต่ในที่สุดก็ล่าช้าหลังโซลูชันการวิเคราะห์เมื่อเวลาผ่านไป ( NBถ้าฉันเลือกขั้นตอนเวลาที่เล็กลงวิธีการจับเวลาตามเวลาจะให้ผลลัพธ์ใกล้เคียงกับโมเดลการวิเคราะห์) เหตุใดแนวทางการเลื่อนเวลาจึงให้ผลลัพธ์ที่สมเหตุสมผลกับสมการไม่เชิงเส้น
รุ่นนิวตันทำได้ดีกว่ามาก แต่เริ่มนำรูปแบบการวิเคราะห์เมื่อเวลาผ่านไป ทำไมความแม่นยำของวิธีการของนิวตันจึงลดลงเมื่อเวลาผ่านไป สามารถปรับปรุงความแม่นยำได้หรือไม่
เหตุใดจึงมีคุณสมบัติทั่วไปที่หลังจากทำซ้ำหลายครั้งแล้วแบบจำลองเชิงตัวเลขและตัวแบบการวิเคราะห์เริ่มแตกต่างกันไป นี่เป็นเพียงเพราะขั้นตอนเวลามีขนาดใหญ่เกินไปหรือสิ่งนี้จะเกิดขึ้นเสมอหรือไม่

— boyfarrell
แหล่งที่มา

ฉันขอแนะนำให้อ่านการวิเคราะห์ข้อผิดพลาดพื้นฐานของนักแก้ปัญหา ODE เช่นใน Hairer / Nørsett / Wanner รวมถึงการวิเคราะห์เสถียรภาพบางอย่าง คำถามส่วนใหญ่ของคุณจะได้รับคำตอบแล้ว

— Guido Kanschat

@ boyfarrell เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสนของผู้อ่านเพื่อนคุณควรใส่คำศัพท์ที่อธิบายวิธีการของคุณ: 1 IMEX - ชัดเจนในการไม่เชิงเส้นและนัยในส่วนเชิงเส้น 2. นี่คือมาตรฐาน -scheme ซึ่งโดยทั่วไปจะต้องใช้วิธีของนิวตันในการแก้ปัญหาสำหรับการอัปเดต

θ

$\theta$

— Jan

สวัสดี @Jan ฉันคิดว่าฉันได้ทุกอย่างแล้ว ขอบคุณอีกครั้งสำหรับความช่วยเหลือของคุณ

— boyfarrell

คำตอบ:

ฉันคิดว่าคุณได้ทำการพื้นที่เพื่อที่คุณจะได้แก้ (เวกเตอร์ - ค่า) ODE ผ่านรูปแบบตัวเลขที่เลื่อนการประมาณที่อินสแตนซ์เวลาปัจจุบันไปยังค่าถัดไปที่เอกภาพ

{\dot{ยู}}_{ชั่วโมง} (เสื้อ) = F_{ชั่วโมง} (เสื้อ, {ยู}_{ชั่วโมง} (เสื้อ)), ใน [0, T], {ยู}_{ชั่วโมง} (0) = α .

$\dot u_h(t) = F_h(t,u_h(t)), \text{ on [0,T] }, u_h(0) = \alpha.$

Φ

$\Phi$

u_{h}^{n}

$u_h^n$

t = t^{n}

$t=t^n$

u_{h}^{n + 1}

$u_h^{n+1}$

t = t^{n + 1} := t^{n} + τ

$t=t^{n+1}:=t^n+\tau$

จากนั้นคำถามของคุณอ้างถึงคุณสมบัติที่ชัดเจนโดยที่การอัปเดตเขียนเป็น

{ยู}_{ชั่วโมง}^{n + 1} = {ยู}_{ชั่วโมง}^{n} + Φ_{อี} ({เสื้อ}^{n}, τ, {ยู}_{ชั่วโมง}^{n}),

$u_h^{n+1} = u_h^n + \Phi_e(t^n,\tau,u_h^n),\quad \quad \quad$

โดยนัยเขียนเหมือน

{ยู}_{ชั่วโมง}^{n + 1} = {ยู}_{ชั่วโมง}^{n} + Φ_{ผม} ({เสื้อ}^{n}, τ, {ยู}_{ชั่วโมง}^{n + 1}, {ยู}_{ชั่วโมง}^{n}), (* * * *)

$u_h^{n+1} = u_h^n + \Phi_i(t^n,\tau,u_h^{n+1},u_h^n), \quad \quad \quad (*)$

หรือการรวมกันของทั้งสอง (' IMEX ' ดูที่คำตอบของ @Jed Brown) การเลื่อนเวลาในขั้นตอนเดียว

ในการตั้งค่านี้นิวตันวิธีการก็คือวิธีการที่จะแก้ปัญหาอาจจะไม่เชิงเส้นในระบบที่เกิดจาก(*) $u_h^{n+1}$ $(*)$

และคำตอบของฉันขึ้นอยู่กับผลลัพธ์จากการวิเคราะห์เชิงตัวเลขของวิธีการขั้นตอนเดียว

หากคุณใช้ชุดรูปแบบบรรจบกันในแง่ของลำดับการบรรจบกันไม่มีประโยชน์โดยทั่วไปของการใช้ชุดรูปแบบโดยนัย (ดู. 2) อย่างไรก็ตามสำหรับระบบแบบแข็งเช่นระบบของคุณที่มี Laplacian มีรูปแบบโดยนัยที่มีความเสถียรโดยไม่มีข้อ จำกัด ขั้นตอน อย่างไรก็ตามในทางทฤษฎีสำหรับรูปแบบที่ชัดเจนคุณจะได้ผลลัพธ์ที่ดีขึ้นด้วยเวลาที่น้อยลงตราบใดที่สมการของคุณยังคงเสถียร (เช่นอ้างถึงทฤษฎีบท Picard-Lindelof ถ้าเป็น Lipshitz ในอาร์กิวเมนต์ที่สอง) และเวลาของคุณ - ขั้นตอนไม่เล็กเกินไป $F_h$
คุณสามารถค้นหาตัวอย่างโดยที่รูปแบบที่ชัดเจนมีประสิทธิภาพดีกว่า (ตามหลักทฤษฏีคุณสามารถย้อนเวลาในตัวอย่างของคุณเริ่มต้นจากค่าเทอร์มินัลและค้นหาการเปลี่ยนแปลงโดยปริยายและชัดเจน) หากคุณทำให้ข้อผิดพลาดของนิวตันมีขนาดเล็กเพียงพอคุณยังสามารถปรับปรุงความแม่นยำได้โดยลดเวลา - แผนการหยุดลำดับที่สูงขึ้น
ค่าคงที่ในการประมาณข้อผิดพลาดสำหรับข้อผิดพลาดส่วนกลางเพิ่มขึ้นแบบทวีคูณด้วยความยาวของช่วงเวลา ดูเช่นที่นี่สำหรับโครงการออยเลอร์ที่ชัดเจน นี่เป็นจริงสำหรับทุกขั้นตอนวิธีเดียว เนื่องจากค่าประมาณนั้นเป็นประเภท ,ซึ่งเป็นขั้นตอนที่เล็กลงจะเลื่อนเอฟเฟกต์นี้เพียงเล็กน้อย $C$ $err \approx C \tau^p$ $p>0$ $\tau$

หมายเหตุเพิ่มเติมและคำตอบสุดท้าย:

รูปแบบ IMEX สามารถใช้ในการรักษาเฉพาะส่วนเชิงเส้นโดยนัยสิ่งที่หลีกเลี่ยงการแก้ไม่เชิงเส้น ดูคำตอบของ Jed Brown
Crank-Nicolson เป็นวิธีการขั้นตอนเดียว วิธีการ 'หลาย' ในหลายขั้นตอนหมายถึงการใช้จำนวนการประทับเวลาก่อนหน้าเพื่อกำหนดการอัปเดตปัจจุบัน เช่น like สิ่งนี้แตกต่างอย่างมากจากขั้นตอนเดียวและแยกขั้นตอนหรือวิธี IMEX โดยที่การอัพเดตนั้นไม่ได้เกิดขึ้นกับค่าก่อนหน้า ${ยู}_{ชั่วโมง}^{n + 1} = Φ_{ม.} ({เสื้อ}^{n}, τ, {ยู}_{ชั่วโมง}^{n + 1}, {ยู}_{ชั่วโมง}^{n}, {ยู}_{ชั่วโมง}^{n - 1}) .$ $u_h^{n+1} = \Phi_m(t^n,\tau,u_h^{n+1},u_h^n,u_h^{n-1}).$

ดังนั้นคำตอบของฉันคือ: ใช่คุณสามารถแก้ปัญหา PDE ที่ไม่ใช่เชิงเส้นได้โดยไม่ต้องใช้วิธีของนิวตัน คุณสามารถใช้แบบแผนที่ชัดเจน, 'IMEX' แบบแผน, หรือsocalled วิธีการเชิงเส้นโดยนัย (เช่นวิธีการ Rosenbrock) นอกจากนี้คุณสามารถใช้วิธีการอื่นเพื่อแก้ไขระบบจากเช่นการวนซ้ำแบบจุดคงที่หรือในบางกรณีนักแก้พีชคณิต $(*)$

— ม.ค.
แหล่งที่มา

ใช่ฉันใช้ลายฉลุกลางแตกต่างมาตรฐานกับคำแพร่ ฉันไม่สามารถใช้รูปแบบที่ชัดเจน (สำหรับปัญหาจริงที่ฉันต้องการแก้ไข) เพราะขั้นตอนเวลาที่มั่นคงมีขนาดเล็กโดยไม่สมจริง นี่คือเหตุผลที่ฉันสำรวจ IMEX หรือตัวเลือกโดยนัย เกี่ยวกับประเด็นที่สามของคุณเพื่อหลีกเลี่ยงการสะสมข้อผิดพลาดฉันต้องใช้วิธีการหลายขั้นตอน แบบแผน Crank-Nicolson ที่ฉันใช้ข้างต้น (ด้วยตัวแก้นิวตัน) จัดว่าเป็นวิธีการหลายขั้นตอน (มีสองจุดในเวลา)? ฉันประหลาดใจที่ข้อผิดพลาดเพิ่มขึ้นตามเวลาเมื่อใช้วิธีแก้นิวตัน

— boyfarrell

Crank-Nicolson เป็นวิธีการขั้นตอนเดียวตามที่เขียนเป็น . นอกจากนี้ฉันไม่เห็นว่าทำไมรูปแบบหลายขั้นตอนควรหลีกเลี่ยงการสะสมข้อผิดพลาด

u_{h}^{n + 1} = u_{h}^{n} + Φ (t^{n}, τ^{n}, u_{h}^{n}, u_{h}^{n + 1})

$u_h^{n+1}=u_h^n + \Phi(t^n,\tau^n,u_h^n,u_h^{n+1})$

— ม.ค.

ตกลงขอบคุณที่อธิบายเกี่ยวกับวิธีการ CN ใช่เป็นที่น่าสนใจว่าทำไมวิธีการหลายขั้นตอนดูเหมือนว่าจะมีการสะสมข้อผิดพลาดต่ำกว่า เหตุผลที่นักแก้ปัญหานิวตันมีข้อผิดพลาดเกิดขึ้นเพราะเป็นวิธีการขั้นตอนเดียวฉันเข้าใจแล้ว อย่างไรก็ตามฉันรู้ว่าคุณชอบ Python ฉันทำตามข้างต้นทั้งหมดโดยใช้ scipy, numpy และ matplotlib, gist.github.com/danieljfarrell/6353776

— boyfarrell

ฉันได้ลบลิงก์ไปยังกระดาษโดย Trefethen et อัล เกี่ยวกับการรวม IMEX ลำดับสูงจากคำตอบของฉันเนื่องจากมีการอ้างอิงที่ดีกว่าเพื่อเรียนรู้เกี่ยวกับแผนการ IMEX

— Jan

คำตอบสั้น ๆ

หากคุณต้องการความแม่นยำอันดับสองและไม่มีการประเมินข้อผิดพลาดแบบฝังโอกาสที่คุณจะมีความสุขกับการแยก Strang: ครึ่งขั้นตอนของปฏิกิริยาขั้นตอนเต็มรูปแบบของการกระจายขั้นครึ่งปฏิกิริยา

คำตอบที่ยาว

Reaction-diffusion ถึงแม้จะมีปฏิกิริยาเชิงเส้นก็มีชื่อเสียงในการแสดงข้อผิดพลาดการแยก อันที่จริงมันอาจแย่กว่านั้นมากรวมถึง "การบรรจบกัน" ไปยังสถานะคงที่ที่ไม่ถูกต้องผิดพลาดกับสถานะคงที่สำหรับรอบขีด จำกัด สร้างความสับสนให้กับการกำหนดค่าที่มั่นคงและไม่เสถียรและอื่น ๆ ดู Ropp, Shadid และ Ober (2004) และ Knoll, Chacon, Margolin และ Mousseau (2003) สำหรับมุมมองของนักฟิสิกส์เกี่ยวกับการคำนวณ สำหรับการวิเคราะห์ของนักคณิตศาสตร์ในแง่ของเงื่อนไขการสั่งซื้อให้ดูหนังสือของ Hairer และ Wanner เกี่ยวกับ ODE แข็ง (วิธี Rosenbrock-W เป็นวิธี IMEX เชิงเส้นตรง - โดยนัย), Kennedy and Carpenter (2003) สำหรับ IMEX แบบ "ไม่เติมเชิงเส้น" และหน้าของ Emil Constantinescuสำหรับวิธีการ IMEX ล่าสุด

โดยทั่วไปวิธีการของ IMEX นั้นมีเงื่อนไขการสั่งซื้อมากกว่าวิธีการทางนัยและชัดเจน คู่ของวิธีการ IMEX สามารถออกแบบให้มีเสถียรภาพเชิงเส้นและไม่เชิงเส้นที่ต้องการและพวกเขาตอบสนองเงื่อนไขการสั่งซื้อทั้งหมดถึงลำดับการออกแบบของวิธีการ การตอบสนองเงื่อนไขการสั่งซื้อทั้งหมดจะทำให้เกิดข้อผิดพลาดในการแยก asymptotic ในระดับเดียวกันกับข้อผิดพลาดในแต่ละแบบแยกกัน มันบอกว่าไม่มีอะไรเกี่ยวกับระบอบการปกครองล่วงหน้า (ขั้นตอนเวลามาก / ความต้องการความแม่นยำต่ำ) แต่ไม่ค่อยเข้มงวดกว่าความละเอียดของแต่ละส่วนแยกกัน ในกรณีใด ๆ ข้อผิดพลาดในการแยกจะปรากฏในตัวประมาณข้อผิดพลาดในตัว (เมื่อใช้การควบคุมข้อผิดพลาดแบบปรับได้)

PETSc มีวิธี IMEX มากมายของตระกูล Rosenbrock-WและตระกูลRunge-Kutta แบบเสริมและจะมีการคาดการณ์และ IMEX เชิงเส้นแบบหลายขั้นตอนในรุ่นถัดไปของเรา

ข้อจำกัดความรับผิดชอบ: ฉันเขียนการสนับสนุนการรวมเวลาของ PETSc จำนวนมากและทำงานร่วมกับ Emil (ลิงก์ด้านบน)

— เจดบราวน์
แหล่งที่มา

ฉันกำลังเข้าใกล้สิ่งนี้จากมุมมองทางฟิสิกส์ดังนั้นรายละเอียดทางเทคนิคทั้งหมดใช้เวลาพอสมควรในการติดตามเพราะฉันไม่คุ้นเคยกับคำศัพท์หลายคำ ฉันเป็นนักทดลองจริง! คุณช่วยอธิบายเพิ่มเติมเกี่ยวกับเงื่อนไขการสั่งซื้อได้ไหม IMEX เป็นวิธีการหลายขั้นตอนที่กล่าวถึงโดย Jan?

— boyfarrell

เงื่อนไขการสั่งซื้อคือความสัมพันธ์ระหว่างค่าสัมประสิทธิ์ของวิธีการแบบ ODE (เช่นรายการใน Table เขียงสำหรับวิธี Runge-Kutta) ที่จะต้องมีความพึงพอใจเพื่อให้ได้คำสั่งที่ถูกต้อง เงื่อนไขการสั่งซื้อจะถูกกล่าวถึงในหนังสือหรือกระดาษใด ๆ ที่ออกแบบวิธีการรวม ODE แต่โดยทั่วไปจะมีปริมาณการใช้อนุพันธ์และเงื่อนไขการจับคู่ซ้ำ ๆ ในการขยายเทย์เลอร์ จำนวนเงื่อนไขการสั่งซื้อเติบโตอย่างรวดเร็วสำหรับวิธีการสั่งซื้อขั้นสูงซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมจึงเป็นการยากที่จะออกแบบวิธีการสั่งซื้อขั้นสูง ปัญหาและอุปสรรคที่จัดตั้งขึ้นโดยการแสดงให้เห็นว่าเงื่อนไขการสั่งซื้อจะไม่เข้ากันร่วมกัน

— Jed Brown