คำนวณ

ฟังก์ชั่นมีความแปลกประหลาดที่อยู่ใกล้กับx = 0 ความแปลกประหลาดนั้นสามารถยกได้แม้ว่า: สำหรับx = 1 , หนึ่งควรมีf ( x ) = 1 , เนื่องจาก e x = ∑ k = 0 x $f \colon x \mapsto (e^x-1)/x$$x = 0$$x = 1$$f(x) = 1$ และ (ex-1)/x=∑k=1x k -

$$e^x = \sum_{k=0} \frac{x^k}{k!}$$ อย่างไรก็ตามรูปแบบ(ex-1)/xไม่เพียง แต่ไม่ได้กำหนดที่x=0เท่านั้น แต่ยังมีความไม่แน่นอนเชิงตัวเลขในบริเวณใกล้เคียงของจุดนั้น เพื่อประเมินf(x)สำหรับx ที่เล็กมากตัวเลขหนึ่งสามารถใช้การขยายตัวของเทย์เลอร์นั่นคือการตัดทอนของซีรีย์พลังงานที่กล่าวถึงข้างต้น $$(e^x - 1)/x = \sum_{k=1} \frac{x^{k-1}}{k!}$$ $(e^x-1)/x$$x = 0$$f(x)$$x$

ถาม : ฟังก์ชั่นมีชื่อหรือไม่? นี่เป็นปัญหาที่พบบ่อยหรือไม่?$f$

ถาม : มีใครบ้างที่รู้ว่าไลบรารี C / C ++ ที่จัดการกับสถานการณ์นี้ได้ดีคือใช้การขยายตัวของเทย์เลอร์ในระดับที่เหมาะสมใกล้กับ 0 และการแสดงอื่น ๆ อยู่ห่างจากศูนย์

อาจจะเป็นหนึ่งสามารถเริ่มต้นด้วยฟังก์ชั่นซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของมาตรฐาน C99 และคำนวณE x - 1ถูกต้องใกล้x = 0$\mathtt{expm1}$$e^x-1$$x=0$

นี่เป็นตัวอย่างของข้อผิดพลาดในการยกเลิก expm1ไลบรารี่มาตรฐาน C (ตั้งแต่ C99) มีฟังก์ชันที่เรียกว่าหลีกเลี่ยงปัญหานี้ หากคุณใช้expm1(x) / xแทนคุณ(exp(x) - 1.0) / xจะไม่ประสบปัญหานี้ (ดูกราฟด้านล่าง)

รายละเอียดและวิธีการแก้ปัญหานี้โดยเฉพาะอย่างยิ่งที่จะกล่าวถึงที่มีความยาวในมาตรา 1.14.1 ของความถูกต้องและความมั่นคงของตัวเลขอัลกอริทึม วิธีแก้ปัญหาแบบเดียวกันก็อธิบายไว้ในหน้า 19 ของเอกสารของ W. Kahan เรื่องการประเมินผล Roundless ในเกมการคำนวณแบบลอยๆ . การดำเนินงานที่เกิดขึ้นจริงของexpm1ในห้องสมุด GNU C จะแตกต่างจากวิธีการที่อธิบายไว้ในลำดับที่ดังกล่าวข้างต้นและมีการบันทึกไว้อย่างละเอียดในรหัสที่มา

เพื่อตอบคำถามแรกของคุณไม่ใช่ฟังก์ชันไม่มีชื่อ (อย่างน้อยก็ไม่ใช่ชื่อที่รู้จักกันอย่างกว้างขวาง)

วิธีที่ดีที่สุดในการคำนวณฟังก์ชั่นคือการปฏิบัติต่อกรณีพิเศษหลาย ๆ อย่าง นี่คือวิธีที่ไลบรารีใด ๆ จะคำนวณฟังก์ชัน

1. กรณีที่ 0: x = 0, ส่งคืน 1
2. $|x|<\delta$$1+x/2$$\delta$double2e-85e-4
3. กรณีอื่น: expm1(x)/xการกลับมา

คุณสามารถซับซ้อนกว่าและกรณีพิเศษมากกว่านี้ด้วยซีรีย์ Taylor ที่ถูกตัดทอน แต่อาจไม่คุ้มค่า ในความเป็นจริงมันไม่ชัดเจนว่ากรณีที่ 1 จะต้องจัดการแยกต่างหากเนื่องจาก k20 ชี้ให้เห็นว่าการยกเลิกมีความปลอดภัย อย่างไรก็ตามการจัดการแยกต่างหากจะทำให้ฉันรู้สึกมั่นใจมากขึ้น

ฉันจำคำถามนี้ได้ถูกถามก่อนหน้านี้ในเว็บไซต์นี้และคำตอบที่น่าประหลาดใจก็คือคุณจะต้องมีความเท่าเทียมกันแน่นอนเป็นกรณีพิเศษถึงศูนย์ ข้อผิดพลาดถูกยกเลิกใกล้ศูนย์ ฉันไม่มีลิงค์

ใช่คำตอบนี้ผิดอย่างสมบูรณ์ ฉันไม่แน่ใจว่าทำไมมันถูก upvoted มากอาจเป็นเพราะมีการระบุไว้อย่างเป็นทางการ ฉันพบลิงค์ที่มีอยู่ในใจ มันเป็น stackexchange คณิตศาสตร์ที่นี่ไม่ได้อยู่ใน stackexchange scicomp expm1สูตรการยกเลิกข้อผิดพลาดที่ปราศจากจะได้รับในคำตอบโดย JM และใช้u = exp(x)การเปลี่ยนแปลง

ในการตอบคำถามแรกและให้วิธี (อาจไม่มีประสิทธิภาพเชิงตัวเลข) สำหรับวินาทีโปรดทราบว่านี่เป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับฟังก์ชันการสร้างของตัวเลขเบอร์นูลลี