มีซอฟต์แวร์องค์ประกอบ จำกัด ที่จัดการมากกว่าห้ามิติหรือไม่

ฉันเป็นมือใหม่กับ FE ใบสมัครของฉันคือการกำหนดราคาตราสารอนุพันธ์ทางการเงินที่มีพื้นที่ห้ามิติ ดังนั้นเวลาเพิ่มปัญหามีหกมิติ

ฉันพยายามมองไปรอบ ๆ (Fenics, escript, deal.II, ... ) แต่ความเข้าใจของฉันคือซอฟต์แวร์เหล่านั้นถูก จำกัด ไว้ที่ 3 + 1 (3d space + 1d time) ถูกต้องหรือไม่

ภาษาเป้าหมายของฉันคือ Python หรือ C ++

คำอธิบายของปัญหาของ
ฉันฉันต้องการกำหนดราคาผลิตภัณฑ์การลงทุนซึ่งในแต่ละเดือนนักลงทุนมีอิสระในการลงทุนใหม่หรือไม่ ฉันต้องการทำเช่นนี้กับความผันผวนของสุ่มอัตราดอกเบี้ยสุ่มและอัตราการตายสุ่ม
PDE แบบสุ่มสุ่มมีลักษณะเช่นนี้ โดยที่เป็นค่าคงที่ขึ้นอยู่กับเวลาที่เกี่ยวข้องกับราคาหุ้นและ

\begin{aligned} d S_{เสื้อ} & = μ_{เสื้อ}^{S} d_{เสื้อ} + \sqrt{σ_{เสื้อ}} d B_{เสื้อ}^{S} & (คลังสินค้า) \\ d σ_{เสื้อ} & = μ_{เสื้อ}^{σ} d เสื้อ + ν_{เสื้อ}^{σ} d B_{เสื้อ}^{σ} & (ระเหย) \\ d R_{เสื้อ} & = μ_{เสื้อ}^{R} d เสื้อ + ν_{เสื้อ}^{R} d B_{เสื้อ}^{R} & (อัตราดอกเบี้ย) \\ d Q_{เสื้อ} & = μ_{เสื้อ}^{Q} d เสื้อ + ν_{เสื้อ}^{Q} d B_{เสื้อ}^{Q} & (การตาย) \end{aligned}

$\begin{align} dS_t &= \mu^S_t d_t + \sqrt{\sigma_t} dB^S_t &\text{(stock)}\\ d\sigma_t &= \mu^\sigma_t dt + \nu^\sigma_t dB^\sigma_t & \text{(volatility)} \\ dr_t &= \mu^r_t dt + \nu^r_t dB^r_t & \text{(interest rate)} \\ dq_t &= \mu^q_t dt + \nu^q_t dB^q_t & \text{(mortality)} \end{align}$

μ_{t}^{S}

$\mu^S_t$

S

$S$

B_{t}^{S}

$B^S_t$ เป็นกระบวนการที่ประกาศอิสระซึ่งจะสร้างเสียงในราคาหุ้นS

S

$S$ ในทำนองเดียวกันสำหรับปริมาณอื่น ๆ :

ν_{t}^{σ}

$\nu^\sigma_t$ เป็นปริมาณที่ขึ้นกับเวลาที่เกี่ยวข้องกับความผันผวน\

ให้

หมายถึงการลงทุนที่ยอมรับในเวลา\

ปัญหาการควบคุมสุ่มดูเหมือน

PDEs ข้างต้นนั้นต่อเนื่อง แต่ค่าของผลิตภัณฑ์

นั้นจะแก้ไขได้เฉพาะที่กำหนดไว้ล่วงหน้า

-times กล่าวในแต่ละเดือน

σ

$\sigma$

C_{τ}

$C_\tau$

τ

$\tau$

V_{τ} = ม. a x {ค \in ค_{τ} : P (ความตาย) E (R_{τ} ฉ (S_{τ + 1})) + P (a ล. ผม โวลต์ อี) E (R_{τ} V_{τ + 1})} .

$V_\tau = max \left\{ c \in C_\tau : P(\text{death})E(r_\tau f(S_{\tau+1})) + P(alive)E(r_\tau V_{\tau+1})\right\}.$

V_{τ}

$V_\tau$

τ

$\tau$

ฉันคิดว่า Monte-Carlo มักจะดุร้ายกับปัญหาของฉัน แต่มันช้ามาก

รูปแบบตายตัวของโคนสุ่ม
สำหรับส่วนนี้คิดว่าคุ้มค่าของตัวเลือก คือกำหนดระยะเวลาที่ธรรมชาติไม่ -times กับการลงทุนในช่วงเวลาที กำหนดโอเปอเรเตอร์ต่างกัน โดยค่าคงที่ขึ้นอยู่กับเวลา

V : (เสื้อ, S_{เสื้อ}, σ_{เสื้อ}, R_{เสื้อ}, Q_{เสื้อ}, ค_{เสื้อ}) \mapsto (เสื้อ, V_{เสื้อ}),

$V : (t, S_t, \sigma_t, r_t, q_t, c_t) \mapsto (t, V_t),$

t

$t$

τ

$\tau$

c_{t}

$c_t$

t

$t$

\begin{aligned} L_{เสื้อ} & = \partial_{R, S} + \partial_{R, σ} + \partial_{σ, S} \\ L_{เสื้อ}^{S} & = σ_{เสื้อ} \partial_{S} + R_{เสื้อ} \partial_{S, S} \\ L_{เสื้อ}^{R} & = \partial_{R} + \partial_{R, R} \\ L_{เสื้อ}^{σ} & = \partial_{σ} + \partial_{σ, σ} \\ L_{เสื้อ}^{Q} & = \partial_{Q} + \partial_{Q, Q} \end{aligned}

$\begin{align} L_t &= \partial_{r,S} + \partial_{r,\sigma} + \partial_{\sigma,S} \\ L^S_t &= \sigma_t \partial_S + r_t \partial_{S,S} \\ L^r_t &= \partial_r + \partial_{r,r} \\ L^\sigma_t &= \partial_\sigma + \partial_{\sigma,\sigma} \\ L^q_t &= \partial_q + \partial_{q,q} \end{align}$

{μ_{t}^{S}, \dots}

$\{\mu^S_t,\ldots\}$ จะถูกละเว้น PDE ที่กำหนดขึ้นแล้วคือ ซึ่งสามารถปรับให้เข้ากับปัญหาการควบคุมที่ดีที่สุดใน -times .

\partial_{เสื้อ} V_{เสื้อ} + (L_{เสื้อ} + L_{เสื้อ}^{S} + L_{เสื้อ}^{σ} + L_{เสื้อ}^{R} + L_{เสื้อ}^{Q}) V_{เสื้อ} = 0,

$\partial_t V_t +\left(L_t+ L^S_t + L^\sigma_t + L^r_t+L^q_t\right)V_t = 0,$

τ

$\tau$

pde finite-element

คุณแน่ใจหรือไม่ว่าต้องการใช้องค์ประกอบที่ จำกัด สำหรับปัญหานี้ มันจะช่วยถ้าคุณสามารถอธิบายปัญหาเพิ่มเติม (โดยเฉพาะ PDE ที่คุณต้องการแก้ไข)

— Victor Liu

@Liu ฉันเพิ่มรายละเอียดเพิ่มเติม ฉันคิดว่าเกี่ยวกับ FE เพราะ MC ช้ามาก

คุณสามารถชี้แจงสัญกรณ์ได้หรือไม่? ไม่บ่งบอกถึงที่มาใน ?

v^{p}

$v^p$

p

$p$

— เจสซีชาน

ฉันคิดว่าคุณจะได้รับคำตอบที่ดีกว่าถ้าคุณโพสต์ PDE ที่กำหนดขึ้นซึ่งคุณกำลังจะแก้ไขด้วย คุณช่วยอธิบายว่าตัวแปรอิสระคืออะไร? ตอนนี้ดูเหมือนว่าตัวแปรอิสระเท่านั้นคือเวลา คุณกำลังแก้สมการเชิงอนุพันธ์สุ่มเหล่านี้โดยใช้การขยายความวุ่นวายแบบพหุนามและนั่นเป็นเหตุผลว่าทำไมคุณถึงมีระบบสมการเชิงอนุพันธ์เชิงกำหนด

— Geoff Oxberry

ในอีกด้านหนึ่งคุณอาจรับมือกับภาวะแทรกซ้อนของการใช้ FE ในขนาดปานกลางและการสาปแช่งของมิติหรือคุณสามารถทำงานกับวิธีการเร่งความเร็วสำหรับ MC หรือ QMC ที่ดีกว่า โลกหลังไม่จำเป็นต้องแย่ลงจริง ๆ แล้วมันเป็นวิธีการเลือกในโลกควอนตัมด้วยเหตุผลหลายประการดังนั้นควรระมัดระวังในการไล่ออกอย่างง่ายดาย

— ควอตซ์

คำตอบ:

สมมติว่าคุณต้องการแก้สมการแบล็ก - สโคลส์หรือชุดย่อยของสินทรัพย์ 5 รายการจากนั้นคุณมีมิติเชิงพื้นที่ 5 มิติพร้อมกันครั้งเดียว ฉันไม่ทราบแพ็คเกจ FEM ใด ๆ ที่สามารถทำได้จากด้านบนของหัวของฉัน (ข้อตกลง II ไม่สามารถทำได้อย่างง่ายดาย แต่ดูด้านล่าง) แต่ฉันคิดว่าฉันจำได้ว่าบางคนจากกลุ่มของ Chris Schwab ที่ ETH Zurich แก้ไขเช่นนั้น ปัญหาการใช้ตาข่ายกระจัดกระจาย คุณอาจจะโชคดีที่ได้ดูสิ่งพิมพ์ของเขา

มีสมการอื่นที่มีมิติพิเศษ ตัวอย่างหนึ่งคือสมการการถ่ายโอนรังสีที่มี 3 สเปซ + 1 ครั้ง + แองกูลาร์มิติ + 1 มิติพลังงาน วิธีนี้แก้ไขได้โดยทั่วไปคือการแยกพื้นที่ 3 มิติตามปกติจากนั้นแยกมิติเชิงมุมและพลังงานออกจากตาข่าย 2 มิติและ 1 มิติที่แยกจากกันและที่แต่ละจุดที่จุดสำคัญของตาข่ายอวกาศมีตัวแปรมากมาย แต่ละโหนดของตาข่ายเชิงมุมคูณจำนวนโหนดในตาข่ายพลังงาน) เราใช้รูปแบบนี้ในการใช้งาน deal.II สำเร็จ มันสมเหตุสมผลสำหรับสมการการถ่ายโอนรังสีและมันอาจถูกจำลองสำหรับสมการของคุณแม้ว่ามันจะไม่เป็นธรรมชาติก็ตาม

— Wolfgang Bangerth
แหล่งที่มา

DUNE, กระจายและ Unified Numerics สิ่งแวดล้อมhttp://www.dune-project.orgลักษณะกริดโครงสร้างบางส่วนของมิติโดยพลการ (SGrid และ Yaspgrid) ดูคุณสมบัติของ DUNE ปัจจุบันมีสาขาที่เปลี่ยน yaspgrid ซึ่งเป็นหนึ่งในกริดข้างต้นให้เป็นตารางผลิตภัณฑ์เทนเซอร์หากเป็นที่สนใจ ตั้งแต่รีลีส 2.0 (ปัจจุบันคือ 2.2.1 และ 2.3 ใกล้จะมาแล้ว) เรามีองค์ประกอบอ้างอิงสำหรับวิธีไฟไนต์อิลิเมนต์ต่างๆที่สนับสนุนมิติโดยพลการ ดังนั้นจึงควรจะตั้งค่าที่เป็นไปได้ขึ้น discretizations องค์ประกอบ จำกัด ของมิติโดยพลการเช่นโมดูล disrectization เนิน-pdelab แม้ว่าสิ่งนี้อาจไม่ได้รับการทดสอบบ่อยนัก

ต้องบอกว่ายังคงมีคำสาปของมิติที่วูล์ฟกังชี้ให้เห็น

สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมฉันดูคุณไปยังเมล DUNE

— Markus Blatt
แหล่งที่มา

ตกลงดังนั้นดูเหมือนว่าคุณมีคู่ ODE อยู่เท่าที่ฉันสามารถบอกได้ว่ามันมีเพียงอนุพันธ์ที่เกี่ยวกับเวลาและไม่มีอนุพันธ์ที่เกี่ยวกับสิ่งอื่นใด มีแพ็คเกจไม่กี่ชุดสำหรับการแก้ปัญหาระบบ ODE ตามอำเภอใจ (Matlab มีลักษณะคล้ายode45) สำหรับ Python ดูคำถามนี้เพื่อดูคำแนะนำ ในที่สุดมีรหัส Fortran เก่าในnetlibที่สามารถเชื่อมต่อกับ C ++ ได้อย่างง่ายดาย (ใช้งานง่ายเป็นอีกเรื่องหนึ่ง) มีทางเลือกที่ดีกว่าน่าจะอยู่ที่นั่นมานานแล้วตั้งแต่ฉันได้ดู (คนอื่นควรพูดสอดใน)

— วิกเตอร์หลิว
แหล่งที่มา

ด้วยการเพิ่ม PDE ที่กำหนดขึ้นมาฉันเห็นว่าคำถามของฉันยังไม่ชัดเจน ขออภัยและขอบคุณที่พยายามช่วย