คำจำกัดความของระบบ ODE ที่แข็ง

พิจารณา IVP สำหรับระบบ ODE $y'=f(x,y)$ , $y(x_0)=y_0$ 0 โดยทั่วไปปัญหานี้จะถูกพิจารณาว่าเข้มงวดเมื่อ Jacobi matrix $\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)$มีทั้งค่าลักษณะเฉพาะที่มีค่าลบจริงมากและค่าลักษณะเฉพาะมีค่าลบจริงน้อยมาก (ฉันพิจารณาเฉพาะกรณีที่เสถียร)

ในทางกลับกันในกรณีของสมการเพียงหนึ่งตัวอย่างเช่น Prothero-โรบินสันสม$y'=\lambda y + g'+\lambda g$ก็จะเรียกว่าแข็งเมื่อ$\lambda\ll -1$ 1

ดังนั้นจึงมีสองคำถาม:

1. เหตุใดค่าลักษณะเฉพาะขนาดเล็กจึงรวมอยู่ในคำจำกัดความความแข็งสำหรับระบบ ODE ฉันเชื่อว่าการมีอยู่จริงของชิ้นส่วนเชิงลบที่มีขนาดใหญ่มากเพียงอย่างเดียวนั้นค่อนข้างเพียงพอสำหรับระบบที่จะแข็งทื่อเพราะสิ่งนี้ทำให้เราใช้การประทับเวลาเล็กน้อยสำหรับวิธีการที่ชัดเจน

2. $\lambda_{\max}/\lambda_{\min}$

ตกลงเรามาแก้ไขคำถามกัน พิจารณาระบบ ODE เชิงเส้นสองมิติสองระบบ: อันดับแรกด้วยค่าลักษณะเฉพาะ {-1000000, -0.00000001} และครั้งที่สองด้วย {-1000000, -999999} สำหรับฉันแล้วพวกเขาทั้งคู่แข็งทื่อ แต่ถ้าเราพิจารณานิยามอัตราส่วนความแข็งระบบที่สองไม่ใช่ คำถามหลัก: ทำไมอัตราส่วนความแข็งถึงได้รับการพิจารณาเลย?

และส่วนที่สองของคำถามยังคงมีความสำคัญช่วยให้ถอดความได้: ฉันกำลังมองหาระบบ ODE ขนาดใหญ่ "เป็นธรรมชาติ" ที่มีค่าลักษณะเฉพาะเชิงลบขนาดใหญ่และอัตราส่วนความแกร่งเล็กน้อย (ไม่มากกว่า 100 พูด)

ความแข็งเกี่ยวข้องกับการแยกตาชั่ง โดยทั่วไปหากคุณสนใจในช่วงของโหมดที่เร็วที่สุดในระบบคุณจะต้องแก้ไขและระบบจะไม่แข็ง แต่บ่อยครั้งที่คุณมีความสนใจในการเปลี่ยนแปลงในระยะยาวของ "ท่อร่วมช้า" มากกว่าอัตราที่แม่นยำซึ่งวิธีการแก้ปัญหาจากท่อร่วมช้าเข้าใกล้มัน

ปฏิกิริยาเคมีและกระแสการตอบสนองเป็นตัวอย่างทั่วไปของระบบแข็ง แวนเดอร์ Pol oscillatorเป็นปัญหามาตรฐานทั่วไปสำหรับผู้ประกอบ ODE ที่มี paramater พริ้งตึง

มหาสมุทรเป็นอีกตัวอย่างหนึ่งที่อาจเป็นประโยชน์ในการมองเห็น คลื่นยักษ์สึนามิ (คลื่นแรงโน้มถ่วงของพื้นผิว) เดินทางด้วยความเร็วของเครื่องบินและสร้างโครงสร้างคลื่นที่ซับซ้อน แต่กระจายไปทั่วเกล็ดเป็นเวลานานและส่วนใหญ่ไม่สมกับการเปลี่ยนแปลงในระยะยาวของมหาสมุทร Eddies หรือมืออื่น ๆ เดินทางช้ากว่าประมาณ 100 เท่าด้วยความเร็วของคนเดินเท้า แต่ทำให้เกิดการผสมและอุณหภูมิการขนส่งความเค็มและตัวติดตามทางชีวภาพที่เกี่ยวข้อง แต่ฟิสิกส์แบบเดียวกับที่แพร่กระจายคลื่นแรงโน้มถ่วงของพื้นผิวก็สนับสนุนโครงสร้างของเอ็ดดี้ (quasi-equilibrium structure) ดังนั้นความเร็วของลมวนเส้นทางภายใต้ Coriolis และอัตราการกระจายขึ้นอยู่กับความเร็วของคลื่นแรงโน้มถ่วง สิ่งนี้นำเสนอโอกาสสำหรับรูปแบบการรวมเวลาที่ออกแบบมาสำหรับระบบความแข็งเพื่อก้าวข้ามช่วงเวลาของคลื่นแรงโน้มถ่วงและแก้ไขเฉพาะมาตรวัดเวลาแบบไดนามิกที่เกี่ยวข้องเท่านั้น ดูMousseau, Knoll และ Reisner (2002)สำหรับการอภิปรายปัญหานี้โดยเปรียบเทียบการแยกและการรวมเวลาโดยปริยาย

สิ่งที่เกี่ยวข้อง: เมื่อใดควรใช้วิธีการโดยนัยในการรวมตัวของไฮเพอร์โบลิก PDE

โปรดทราบว่ากระบวนการกระจายมักจะถูกพิจารณาว่ามีความแข็งเนื่องจากสเกลเวลาที่เร็วที่สุดในระบบที่ไม่ต่อเนื่องนั้นขึ้นอยู่กับเมช mesh) ขึ้นอยู่กับสเกล( Δ x ) 2แต่สเกลเวลาของฟิสิกส์ที่เกี่ยวข้องนั้นเป็นอิสระจากกัน ในความเป็นจริงช่วงเวลาที่เร็วที่สุดสำหรับตาข่ายที่กำหนดเป็นตัวแทนของการพักผ่อนในพื้นที่ไปสู่ความหลากหลายที่ช้าลงซึ่งเกล็ดอวกาศที่มีวิวัฒนาการจะยาวขึ้นเรื่อย ๆ ดังนั้นวิธีการทางอ้อมนั้นแม่นยำมากแม้ในบรรทัดฐานที่แข็งแกร่ง$(\Delta x)^2$

ส่วนที่ 1

ค่าลักษณะเฉพาะขนาดเล็กไม่รวมอยู่ในคำจำกัดความของความแข็งสำหรับระบบ ODE (ปัญหาค่าเริ่มต้น) ไม่มีคำจำกัดความที่น่าพอใจของความแข็งที่ฉันรู้ แต่คำจำกัดความที่ดีที่สุดที่ฉันเจอคือ:

หากวิธีการเชิงตัวเลขที่มีขอบเขต จำกัด ของความมั่นคงสัมบูรณ์นำไปใช้กับระบบที่มีเงื่อนไขเริ่มต้นใด ๆ ถูกบังคับให้ใช้ในช่วงเวลาหนึ่งของการรวมความยาวของขั้นตอนซึ่งมีขนาดเล็กเกินไปที่สัมพันธ์กับความเรียบของโซลูชันที่แน่นอนในช่วงเวลานั้น จากนั้นระบบจะกล่าวว่ามีความแข็งในช่วงเวลานั้น (Lambert, JD (1992), วิธีการเชิงตัวเลขสำหรับระบบอนุพันธ์สามัญ , นิวยอร์ก: ไวลีย์)

$[0,b]$

สมการแข็งเป็นสมการที่วิธีการบางอย่างโดยเฉพาะอย่างยิ่งใน BDF โดยเฉพาะอย่างยิ่งทำงานได้ดีขึ้นมักจะดีกว่ามากอย่างชัดเจนกว่าที่ชัดเจน (CF Curtiss และ JO Hirschfelder (1952): การรวมสมการแบบแข็ง PNAS, ตอนที่ 38, หน้า 235-243)

บทความวิกิพีเดียเกี่ยวกับสมการแข็งไปแอตทริบิวต์ "งบ" ต่อไปนี้เพื่อ Lambert:

1. ระบบสัมประสิทธิ์เชิงเส้นคงที่คือแข็งถ้าค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดมีส่วนที่เป็นลบจริงและอัตราส่วนความแข็งมีขนาดใหญ่

2. ความแข็งเกิดขึ้นเมื่อต้องการความมั่นคงแทนที่จะจำกัดความแม่นยำให้จำกัดความยาวของขั้นตอน [โปรดสังเกตว่า "การสังเกต" นี้เป็นคำจำกัดความจาก Ascher และ Petzold]

3. ความแข็งเกิดขึ้นเมื่อส่วนประกอบบางส่วนของสารละลายสลายตัวเร็วกว่าส่วนอื่นมาก

การสังเกตแต่ละครั้งเหล่านี้มีตัวอย่างโต้แย้ง (แม้ว่าเป็นที่ยอมรับว่าฉันไม่สามารถผลิตออกมาจากหัวของฉัน)

ส่วนที่ 2

อาจเป็นตัวอย่างที่ดีที่สุดที่ฉันจะได้รับคือการรวมระบบปฏิกิริยาการเผาไหม้ขนาดใหญ่ในจลนพลศาสตร์เคมีภายใต้เงื่อนไขที่ทำให้เกิดการจุดระเบิด ระบบของสมการจะแข็งจนกระทั่งจุดไฟแล้วมันจะไม่แข็งอีกต่อไปเพราะระบบได้ผ่านการเริ่มต้นชั่วคราว อัตราส่วนของค่าลักษณะเฉพาะที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดไม่ควรมีขนาดใหญ่ยกเว้นรอบเหตุการณ์การจุดระเบิดแม้ว่าระบบดังกล่าวมีแนวโน้มที่จะทำให้สับสนผู้ประกอบการแข็งยกเว้นว่าคุณตั้งค่าความอดทนการรวมที่เข้มงวด

หนังสือโดย Hairer and Wanner ยังให้ตัวอย่างอื่น ๆ อีกมากมายในส่วนแรก (ส่วนที่ IV ส่วนที่ 1) ที่แสดงตัวอย่างอื่น ๆ ของสมการแบบแข็ง (Wanner, G. , Hairer, E. , การแก้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ II: ปัญหาแข็งและเชิงอนุพันธ์พีชคณิต (2002), Springer)

ในที่สุดมันก็คุ้มค่าที่จะสังเกตการสังเกตของ CW Gear:

แม้ว่ามันจะเป็นเรื่องธรรมดาที่จะพูดคุยเกี่ยวกับ "สมการเชิงอนุพันธ์แข็ง" สมการต่อ seไม่แข็งเป็นปัญหาเฉพาะค่าเริ่มต้นสำหรับสมการที่อาจจะแข็งในบางภูมิภาค แต่ขนาดของภูมิภาคเหล่านี้ขึ้นอยู่กับค่าเริ่มต้นและข้อผิดพลาดความอดทน (CW Gear (1982): การตรวจจับและรักษาสมการเชิงอนุพันธ์แบบออสซิลเลชั่นและ / หรือแข็งแบบอัตโนมัติใน: การรวมเชิงตัวเลขของสมการเชิงอนุพันธ์, บันทึกการบรรยายในคณิตศาสตร์, Vol. 968, p. 190-206.)

ในความเป็นจริง Jed Brown ได้ตอบคำถามให้ฉันแล้ว สิ่งที่ฉันกำลังทำอยู่ตอนนี้ก็แค่เอาคำพูดของเขาใส่ไว้ในบริบท

1. ทั้งสองระบบ ODE เชิงเส้นจากด้านบนมีความแข็ง (เช่นยากที่จะแก้ไขด้วยวิธีการที่ชัดเจน) ในช่วงเวลาที่สัมพันธ์กันขนาดใหญ่ (เช่น [0,1])

2. ระบบเชิงเส้นที่มีอัตราส่วนความแข็งมากถือได้ว่า "แข็งกว่า" เพราะมีแนวโน้มว่าจะต้องรวมเข้ากับช่วงเวลาที่มีขนาดใหญ่ นี่คือสาเหตุที่ส่วนประกอบช้าที่สอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะที่เล็กที่สุด: วิธีการแก้ปัญหามีแนวโน้มที่จะช้าไปยังสถานะคงที่และมักจะเป็นสิ่งสำคัญในการเข้าถึง

3. ในอีกทางหนึ่งการรวมระบบที่มีอัตราส่วนความแข็งน้อยในช่วงเวลาขนาดใหญ่ไม่น่าสนใจ: ในกรณีนี้สถานะคงที่จะมาถึงอย่างรวดเร็วและเราสามารถคาดการณ์ได้

ขอบคุณทุกคนสำหรับการสนทนานี้!

ขนาดที่แท้จริงของค่าลักษณะเฉพาะ (ในเชิงเส้นปัญหาอิสระ) เพียงอย่างเดียวไม่มีความหมายเลย มันเป็นสิ่งประดิษฐ์ของหน่วยที่คุณเลือกที่จะแสดงปัญหา

ห่วงโซ่ของความคิดเห็นไม่สามารถควบคุมได้ดังนั้นฉันจึงตอบคำถามนี้ ฉันจะไม่ตอบคำถามแบบเต็ม อย่างที่ฉันพูดไปดูวิกิพีเดียหรือคำตอบอื่น ๆ ที่นี่ ฉันแค่ตอบเล็กน้อยที่บอกว่า

พิจารณาระบบ ODE เชิงเส้นสองมิติสองระบบ: อันดับแรกด้วยค่าลักษณะเฉพาะ {-1000000, -0.00000001} และครั้งที่สองด้วย {-1000000, -999999} สำหรับฉันแล้วพวกเขาทั้งคู่แข็งทื่อ แต่ถ้าเราพิจารณานิยามอัตราส่วนความแข็งระบบที่สองไม่ใช่ คำถามหลัก: ทำไมอัตราส่วนความแข็งถึงได้รับการพิจารณาเลย?

เอาล่ะลองพิจารณาตัวอย่างของกรณีที่สอง:

$t^* = 1000000\cdot t$

หมายเหตุ 1: ฉันเลือกระบบทแยงมุมเพื่อให้ชัดเจนโดยสิ้นเชิง แต่ถ้าคุณลองกับระบบอื่นที่มีค่าลักษณะเฉพาะคุณจะเห็นผลเหมือนกันเนื่องจากการคูณเมทริกซ์ด้วยค่าคงที่คูณค่าคงที่เดียวกัน

$|\lambda|\gg1$