ปัญหาความเป็นไปได้ในการโปรแกรมเชิงเส้นพร้อมข้อ จำกัด ด้านบวกอย่างเข้มงวด

15

มีระบบการทำงานของข้อ จำกัด เชิงเส้นเป็นขฉันต้องการหาเวกเตอร์ที่เป็นค่าบวกอย่างเข้มงวดที่ตรงตามข้อ จำกัด เหล่านี้ ซึ่งหมายความว่าเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับทุกองค์ประกอบของxฉันจะใช้ตัวแก้ปัญหา LP เพื่อค้นหาเวกเตอร์ที่เป็นบวกอย่างเคร่งครัด (หรือยืนยันว่าไม่มี อยู่) ฉันไม่สามารถแนะนำระบบอื่นที่มีข้อ จำกัด ${\bf Ax} \leq {\bf b}$ ${\bf x} > 0$ $x_i > 0$ $x_i$ ${\bf x}$ ${\bf x}$ ${\bf x}$ $x_i > 0$ เพราะความเท่าเทียมต้องได้รับอนุญาตใน LP เสมอ - แต่ฉันสามารถใช้ตัวแก้ LP ได้หลายครั้งด้วยการเปลี่ยนฟังก์ชันวัตถุประสงค์ ฉันคิดว่าฉันควรใช้วิธีแปรผันหย่อน แต่ฉันไม่รู้วิธี

optimization linear-programming

— sara
แหล่งที่มา

15

คุณสามารถหลีกเลี่ยงปัญหาในการเลือก $\epsilon>0$ เล็ก ๆด้วยความทะเยอทะยานที่มากขึ้น: ลองค้นหา $\mathbf{x}$ เช่น $\mathbf{Ax}\leq \mathbf{b}$ และรายการที่เล็กที่สุดใน $\mathbf{x}$ เป็นไปได้ที่ใหญ่ที่สุด

ด้วยเหตุนี้แนะนำตัวแปรใหม่

y = [\begin{matrix} x \\ ϵ \end{matrix}] \in R^{n + 1}

$\mathbf{y} = \begin{bmatrix} \mathbf{x}\\ \epsilon\end{bmatrix}\in\mathbb{R}^{n+1}$ (ถ้า

x

$\mathbf{x}$ อยู่ใน

R^{n}

$\mathbb{R}^n$ ) และแก้ปัญหาต่อไปนี้โดย LP-solver

max_{y} [0 \dots 0 1] \cdot y s.t. [A 0] y \leq b and 0 \leq [\begin{matrix} 1 & 0 & \dots & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & \dots & 0 & - 1 \\ ⋱ & ⋮ \\ 0 & \dots & 1 & - 1 \end{matrix}] y .

$\max_y [0 \dots 0\ 1]\cdot \mathbf{y}\quad \text{s.t.}\quad [A\ \mathbf{0}]\mathbf{y}\leq\mathbf{b}\quad \text{and}\quad \mathbf{0}\leq \begin{bmatrix}1 & 0 & \cdots & 0 & -1 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & -1 \\ & \ddots & &\vdots \\ 0 & \cdots & & 1 & -1 \end{bmatrix}\mathbf{y}.$

นี่คือการแก้ปัญหาต่อไปนี้:

max ϵ s.t A x \leq b and x \geq ϵ 1 .

$\max \epsilon \quad\text{s.t}\quad \mathbf{Ax\leq b}\quad\text{and}\quad \mathbf{x}\geq\epsilon\mathbf{1}.$

— กริชของชาวสกอต
แหล่งที่มา

ทำได้ดีนี่เทียบเท่ากับเคล็ดลับผู้เขียนร่วมและฉันเพิ่งใช้ในบทความล่าสุดและเหนือกว่าวิธีที่ฉันแนะนำ

— Aron Ahmadia

ตกลง เล่นได้ดีครับ

— Geoff Oxberry

ปัญหาที่ได้รับการปรับรูปอาจมีวัตถุประสงค์มากมายในกรณีที่คำตอบของปัญหาดั้งเดิมนั้นเล็กน้อย ตัวอย่างเช่นถ้าระบบของข้อ จำกัด เป็นเพียง

1

นั่นคือดีตราบเท่าที่คุณตรวจสอบความเป็นไปได้ที่ดีที่สุดหรือมากมายในสถานะการกลับมาของการแก้ lp ของคุณหรือที่ถูกผูกไว้อย่างชัดเจนε

x \geq - 1

$x \ge -1$

ϵ

$\epsilon$

— David Nehme

@DavidNehme: หนึ่งสามารถเพิ่มข้อ จำกัด

เพื่อให้ได้วัตถุประสงค์ที่ จำกัด

y_{n + 1} \leq 1

$y_{n+1}\le 1$

— Arnold Neumaier

5

สำหรับปัญหาความเป็นไปได้ของ LP ฉันจะไม่ใช้ simplex มาตรฐาน อัลกอริธึมเบื้องต้นเบื้องต้น (หรือคู่) เริมจะเข้าเยี่ยมชมจุดยอดของชุดที่เป็นไปได้ของปัญหาครั้งแรก (หรือคู่)

ให้เซตของปัญหาที่เป็นไปได้ที่คุณต้องการแก้คือและสมมติว่าคุณต้องแก้ปัญหา ( : $F = \{\mathbf{x}: \mathbf{Ax} \leq \mathbf{b}, \mathbf{x} > \mathbf{0}\}$ $F_{\varepsilon}$

\begin{aligned} min_{x} 0 \\ s.t. & A x \leq b \\ x \geq ε \cdot 1 . \end{aligned}

$\begin{alignat}{1} & \min_{\mathbf{x}} \quad 0 \\ \textrm{s.t.} & \quad \mathbf{Ax} \leq \mathbf{b} \\ & \quad \mathbf{x} \geq \varepsilon \cdot \mathbf{1}. \end{alignat}$

ปัญหาที่คุณต้องการแก้ไขที่ใกล้เคียงที่สุดคือซึ่งยอมรับคะแนนมากเกินไปเล็กน้อย ปัญหาคือว่าเขตแดนของ orthant บวก (เช่นชุดจะทำให้ขึ้นเป็นส่วนหนึ่งของขอบเขตของการตั้งค่าความเป็นไปได้ของ . เราต้องการ ต้องการยกเว้นประเด็นเหล่านั้นวิธีหนึ่งในการทำเช่นนั้นคือทำสิ่งที่แอรอนแนะนำซึ่งก็คือการตั้งค่า $F_{0}$ $B = \{\mathbf{x}: \mathbf{x} \geq 0, \exists{i}: x_{i} = 0\}$ $F_{0}$ $\varepsilon$ ให้มีค่าเป็นบวกเล็กน้อยจากนั้นใช้อัลกอริทึม LP มาตรฐานใด ๆ กลยุทธ์นี้เป็นกลยุทธ์ที่ดีและอาจทำงานได้ในหลากหลายสถานการณ์ อย่างไรก็ตามมันจะล้มเหลวถ้าไม่สามารถทำได้ เรารู้ว่าสำหรับทุก (เพื่อการใช้สัญลักษณ์ที่ไม่เหมาะสมและอ้างถึงชุดที่เป็นไปได้โดยปัญหาที่เกี่ยวข้อง) และเป็นไปได้ที่แม้ว่าคุณจะเลือกค่าบวกเล็ก ๆ ของตัวแก้ LP จะระบุ ว่า LP ของคุณไม่สามารถทำได้ $F_{\varepsilon}$ $F_{0} \subset F \subset F_{\varepsilon}$ $\varepsilon > 0$ $\varepsilon$

สำหรับแก้ LP ผมใช้วิธีจุดภายในใด ๆ สำหรับซีรี่ส์ที่จะเริ่มต้นกับจุดที่เป็นไปได้และการเข้าพักที่เป็นไปได้ซึ่งเป็นวิธีที่จะไม่รวมคะแนนในอีกBคุณไม่จำเป็นต้องให้จุดที่เป็นไปได้กับอัลกอริธึมเหล่านี้ นักแก้ปัญหามาตรฐานจะทำเพื่อคุณ วิธีการเช่นเลียนแบบการปรับลดศักยภาพและวิธีการตั้งค่าแผ่นช่วยเสริมที่จะหาวิธีการแก้ปัญหาที่เป็นไปได้และ iterates สำหรับอัลกอริทึมเหล่านี้สำรวจภายในของภูมิภาคเป็นไปได้ คุณจะต้องค้นหาจุดหนึ่งในพื้นที่ที่เป็นไปได้ของคุณดังนั้นตราบใดที่ปัญหาเสริมที่ใช้โดยนักแก้ปัญหาแผ่นเสียงหาจุดที่เป็นไปได้สำหรับปัญหาของคุณและจุดที่เป็นไปได้นั้นเป็นบวกอย่างเคร่งครัดคุณควรจะถูกต้อง หากการแก้ไขล้มเหลวสำหรับค่าบวกเล็กน้อยของ $B$ $F_{\varepsilon}$ $\varepsilon$ คุณยังอาจจะสามารถที่จะใช้วิธีการเหล่านี้เพื่อหาจุดที่เป็นไปได้ในเชิงบวกอย่างเคร่งครัดภายใน 0 $F_{0}$

อย่าใช้เริม แต่เพราะจะสำรวจจุดยอดของเท่านั้นซึ่งเป็นสิ่งที่คุณต้องการหลีกเลี่ยง $F_{\varepsilon}$

— Geoff Oxberry
แหล่งที่มา

4

ปัญหาความเป็นไปได้เป็นเกมที่เล่นยากกว่าปัญหาเชิงเส้นทั่วไปซึ่งคุณสังเกตเห็น หากคุณกำลังแก้โดยประมาณ (โดยใช้การจุดลอยตัวของระบบสมการและข้อ จำกัด ) มันถูกต้องตามกฎหมายที่จะต้องที่บางค่าตัวเลขที่มีขนาดเล็กมากขนาดใหญ่พอที่จะมั่นใจได้ว่าจริง อาศัยอยู่ในแต่มีขนาดเล็กพอที่จะไม่พิจารณาวิธีแก้ปัญหาในขอบเขต $x_i >= \epsilon$ $\epsilon$ $x_i$ $\Re_+$

คุณอาจจะต้องปรับและวิธีการแก้ปัญหาของคุณจะมีคุณสมบัติในการ "ในปัจจัยของ " แต่ตอนนี้ก็เพียงพอแล้วสำหรับหลาย ๆ สถานการณ์ $\epsilon$ $\epsilon$

— Aron Ahmadia
แหล่งที่มา

2

คำตอบที่ได้รับจาก aeismail คือการอ่านอย่างระมัดระวังพิจารณา lp

$\max( x_1 + x_2)$

เซนต์

$x_1 + x_2 \le 1$

$x_1,x_2 \ge 0$

มันมีวิธีแก้ปัญหาและเช่นเดียวกับคนอื่น ๆ (เสื่อม) ความมีอยู่ทั่วไปของคำถามนั้นหมายถึงกรณีเหล่านี้จำเป็นต้องได้รับการปฏิบัติเช่นกัน $(1,0)$ $(0,1)$

เนื่องจากคุณสามารถเลือกฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์ได้คุณสามารถลองปรับเปลี่ยนได้ซ้ำ ๆ เช่นเริ่มต้นด้วยสัมประสิทธิ์ทั้งหมดสำหรับตัวแปรทั้งหมดเท่ากับหนึ่งตรวจสอบว่าคุณได้รับโซลูชันที่อนุมัติแล้วหรือไม่ หากหนึ่งตัวแปรเป็นศูนย์ให้เพิ่มค่าสัมประสิทธิ์และเริ่มใหม่อีกครั้ง ...

แม้ว่าฉันจะไม่สามารถพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ได้ว่างานนี้ (หรือขั้นตอนที่กำหนดไว้อย่างดีว่าจะแก้ไขฟังก์ชันวัตถุประสงค์ได้อย่างไร) ฉันหวังว่านี่จะช่วยได้ :)

— แดน
แหล่งที่มา

อย่างไรก็ตามหากคุณมีโซลูชันที่เสื่อมโทรมจำนวนมากคุณจะจัดการกับตัวเลขนี้อย่างไร การแก้ปัญหาตัวเลขจะไม่สร้างคำเตือน (หรือแย่กว่านั้น) เกี่ยวกับการแก้ปัญหานี้หรือไม่?

— aeismail

ไม่พวกเขาจะไม่; พวกเขาจะส่งคืนโซลูชั่นที่ดีที่สุดที่พบ วิธีที่คุณจะสร้างโซลูชันต่อไปคือการเพิ่มระนาบการตัด (หรือข้อ จำกัด อื่น ๆ ) ที่ไม่รวมโซลูชันที่ดีที่สุดที่คำนวณไว้ก่อนหน้านี้ ในกรณีนี้การเพิ่มระนาบการตัดเช่นนี้จะช่วยให้คุณสามารถคืนค่าประมาณของการแก้ปัญหาที่ดีที่สุดแบบไม่ จำกัด

— Geoff Oxberry

ฉันจะเห็นว่าเป็นการตัดสินใจเขียนโปรแกรมที่แปลก ทำไมคุณไม่ต้องการบอกผู้ใช้ว่าฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์ทำอะไรแปลก ๆ ในบริเวณใกล้เคียงของโซลูชันที่รายงาน สำหรับนักแก้ปัญหาแบบไม่เชิงเส้นฉันเห็นว่ามีปัญหากับการหาว่าเกิดอะไรขึ้น แต่นั่นจะไม่ง่ายกว่าที่จะบอกด้วยระบบเชิงเส้น?

— aeismail

ฉันต้องคิดว่าจะตรวจจับความเสื่อมได้อย่างไรโดยการสร้างปัญหา แต่โดยทั่วไปแล้วผู้ใช้ต้องการทางออกที่ดีที่สุดดังนั้นข้อมูลที่สำคัญที่สุดสำหรับ LP คือการกลับมาหากวิธีแก้ปัญหานั้นดีที่สุดเป็นไปได้ (แต่ไม่เหมาะสม) เป็นไปไม่ได้หรือไม่ได้ จำกัด (สถานะเหล่านี้เป็นจริงสิ่งที่นักแก้ปัญหาเช่น CPLEX จะกลับมา) ความเสื่อมเป็นหลักในประเด็นทางทฤษฎี เหตุผลเดียวที่มันจะถูกกล่าวถึงในบริบทตัวเลขคือในการออกแบบอัลกอริทึมหรือในทางปฏิบัติเพื่อให้ทราบว่าโดยทั่วไปความเสื่อมจะชะลอตัวลง

— Geoff Oxberry