2
แอปพลิเคชันที่ปลอดภัยของวิธีการวนซ้ำในเมทริกซ์ครอบงำ
สมมติว่าระบบเชิงเส้นต่อไปนี้ได้รับ Lx=c,(1)(1)Lx=c,Lx=c,\tag1 ที่ไหน LLL Laplacian เป็นน้ำหนักที่รู้จักกันว่าเป็นบวก semi−semi−semi-แน่นอนด้วยช่องว่างว่างหนึ่งมิติซึ่งถูกขยายโดย 1n=(1,…,1)∈Rn1n=(1,…,1)∈Rn1_n=(1,\dots,1)\in\mathbb{R}^nและความแปรปรวนการแปลของ x∈Rnx∈Rnx\in\mathbb{R}^{n}คือ x+a1nx+a1nx+a1_n ไม่เปลี่ยนค่าฟังก์ชัน (ซึ่งอนุพันธ์คือ (1)(1)(1)) รายการเชิงบวกเท่านั้นของLLL อยู่ในแนวทแยงมุมซึ่งเป็นผลรวมของค่าสัมบูรณ์ของผลลบนอกแนวทแยงมุม ฉันพบในงานวิชาการที่อ้างถึงอย่างหนึ่งในสาขานั้นแม้ว่า LLL คือ not strictlynot strictlynot~strictly วิธีการเช่น Conjugate Gradient, Gauss-Seidl, Jacobi ยังคงสามารถนำมาใช้แก้ปัญหาได้อย่างปลอดภัย (1)(1)(1). เหตุผลก็คือเนื่องจากค่าคงที่ของการแปลมีความปลอดภัยในการแก้ไขหนึ่งจุด (เช่นลบแถวและคอลัมน์แรกของLLL และรายการแรกจาก ccc ) ดังนั้นการแปลง LLL เพื่อ strictlystrictlystrictlyเมทริกซ์ที่โดดเด่นในแนวทแยงมุม อย่างไรก็ตามระบบดั้งเดิมได้รับการแก้ไขในรูปแบบเต็มของ(1)(1)(1)กับ L∈Rn×nL∈Rn×nL\in\mathbb{R}^{n\times n}. สมมติฐานนี้ถูกต้องและถ้าเป็นเช่นนั้นเหตุผลอื่นคืออะไร ฉันพยายามที่จะเข้าใจว่าการบรรจบกันของวิธีการยังคงอยู่ หากวิธี Jacobi เป็นคอนเวอร์เจนซ์ด้วย (1)(1)(1)สิ่งหนึ่งที่สามารถระบุได้เกี่ยวกับรัศมีสเปกตรัม ρρ\rho ของเมทริกซ์การวนซ้ำ D−1(D−L)D−1(D−L)D^{-1}(D-L)ที่ไหน DDD …