3
การประเมินเชิงตัวเลขของอินทิกรัลการแกว่งสูง
ในหลักสูตรขั้นสูงนี้เกี่ยวกับการประยุกต์ใช้ทฤษฎีฟังก์ชันที่ซับซ้อนณ จุดหนึ่งในการออกกำลังกายอินทิกรัลของการแกว่ง I(λ)=∫∞−∞cos(λcosx)sinxxdxI(λ)=∫−∞∞cos(λcosx)sinxxdxI(\lambda)=\int_{-\infty}^{\infty} \cos (\lambda \cos x) \frac{\sin x}{x} d x จะต้องมีการประมาณค่าขนาดใหญ่ของโดยใช้วิธีจุดอานในระนาบเชิงซ้อนλλ\lambda เนื่องจากธรรมชาติมีความผันผวนสูงอินทิกรัลนี้จึงยากต่อการประเมินโดยใช้วิธีการส่วนใหญ่ นี่เป็นสองส่วนของกราฟของ integrand และสำหรับที่ระดับต่างกัน:λ=10λ=10\lambda = 10 ลำดับการประมาณเชิงซีมโทติคคือ I1(λ)=cos(λ−14π)2πλ−−−√I1(λ)=cos(λ−14π)2πλI_{1}(\lambda) = \cos \left(\lambda-\frac{1}{4} \pi\right) \sqrt{\frac{2 \pi}{\lambda}} และการปรับแต่งเพิ่มเติม (เล็กลงมาก) จะเพิ่มคำศัพท์ I2(λ)=18sin(λ−14π)2πλ3−−−√I2(λ)=18sin(λ−14π)2πλ3I_2(\lambda)=\frac{1}{8} \sin \left(\lambda-\frac{1}{4} \pi\right) \sqrt{\frac{2 \pi}{\lambda^{3}}} กราฟของค่าที่ประมาณเป็นฟังก์ชันของมีลักษณะดังนี้:λλ\lambda ทีนี้คำถามของฉันมาดูว่าการประมาณนั้นดีแค่ไหนฉันต้องการเปรียบเทียบกับ "มูลค่าที่แท้จริง" ของอินทิกรัลหรือมากกว่ากับการประมาณที่ดีกับอินทิกรัลเดียวกันโดยใช้อัลกอริธึมอิสระ เนื่องจากขนาดเล็กของการแก้ไข subleading ฉันคาดว่าสิ่งนี้จะใกล้เคียงจริง ฉันพยายามประเมินอินทิกรัลสำหรับโดยใช้อัลกอริธึมอื่น แต่มีความสำเร็จน้อยมาก: Mathematica และ Matlab โดยใช้ตัวรวมตัวเลขเริ่มต้นไม่สามารถจัดการเพื่อสร้างค่าที่มีความหมาย (และรายงานสิ่งนี้อย่างชัดเจน), mpmathแทนที่และวิธีการ …