เหตุใดการรั่วไหลของสเปกตรัมจึงเกิดขึ้นใน FFT

ฉันลอง googling และ wikipedia แล้ว แต่ฉันยังไม่ได้รับคำตอบนอกเหนือจาก 'เพราะความถี่ของสัญญาณอินพุตอยู่ระหว่างสองถังขยะ'

ฉันเข้าใจว่านี่คือเหตุผล แต่สิ่งที่ฉันไม่เข้าใจคือสาเหตุที่การรั่วไหลดูเหมือนว่าจะขยายไปยังถังขยะติดกันหลายแห่งแทนที่จะเป็นถังขยะที่อยู่ติดกันเพียงถังเดียว

เพื่อแสดงสิ่งที่ฉันกำลังพูดถึงนี่คือข้อมูลจำลอง (รหัสที่ท้ายโพสต์):

ด้านบนคือสเปกตรัม FFT (พล็อตในระดับบันทึก) ของคลื่นไซน์ของความถี่ 10 อัตราการสุ่มตัวอย่างคือหนึ่งและจำนวนตัวอย่างคือ 100 กราฟได้รับการเลื่อน FFT เห็นได้ชัดว่ามีเพียงจุดสูงสุดที่ bin 10 และส่วนที่เหลืออยู่ในลำดับของข้อผิดพลาดเชิงตัวเลขหรือที่นั่น

นี่คือสเปกตรัมความถี่ที่ความถี่ที่สร้างขึ้นที่ 10.1 เห็นได้ชัดว่ามี 'การรั่วไหล' ในถังขยะมากกว่าถังขยะที่อยู่ติดกันทันที

นี่คือโครงเรื่องสำหรับความถี่ 10.5

คำถาม:ทำไมมีการรั่วไหลนี้และทำไมมันถึงขยายไปยังถังขยะอื่นทั้งหมดแทนที่จะเป็นถังขยะที่อยู่ติดกัน?

---

รหัสสำหรับทุกคนที่สนใจ (รหัสหลาม)

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

xFreq = 10.5
xSize = 100.0
xPeriod = xSize/xFreq
x = np.linspace(1,xSize,xSize)

data = np.sin(2*np.pi*x/xPeriod)
fft = np.fft.fft(data)
fft = np.fft.fftshift(fft)

fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111)
ax.plot(abs(fft), "o")
ax.set_yscale('log')
plt.show()

ฉันเปลี่ยนxFreqค่าจาก10.0เป็น10.5ฯลฯ

FFT มีความยาว จำกัด จึงถือว่าเป็นหน้าต่างสี่เหลี่ยมเริ่มต้นบนสตรีมข้อมูล หน้าต่างในโดเมนเวลาส่งผลให้เกิดการแปลงในโดเมนความถี่ด้วยการแปลงของหน้าต่าง โปรดทราบว่าการแปลงของหน้าต่างสี่เหลี่ยมเป็นฟังก์ชัน Sinc (sin (x) / x) ซึ่งมีความกว้างไม่ จำกัด ไม่ใช่แค่ความกว้างเพียง 2 ถัง ดังนั้นระลอกของฟังก์ชั่น Sinc จะปรากฏขึ้นเป็น "การรั่วไหล" ไกลจากยอดสเปกตรัมใด ๆ ที่ไม่สมบูรณ์เป็นระยะในความยาวของ FFT

รูปภาพด้านล่างแสดงส่วนหนึ่งของการตอบสนองความถี่ของฟังก์ชั่น sinc เมื่อเสียงอยู่ตรงกลางของหนึ่งในถังขยะจุดอื่น ๆ ทั้งหมดจะเรียงกันเป็นโมฆะในการตอบสนองความถี่ หากไม่ได้อยู่กึ่งกลางบนถังขยะก็เหมือนกับการเลื่อนการตอบสนองความถี่ทั้งหมดซึ่งทำให้ถังขยะอื่น ๆ ตกอยู่ในส่วนที่ไม่เป็นศูนย์ของการตอบสนองความถี่

อีกวิธีในการดูคือ FFT เป็นเพียงแค่ตัวกรองธนาคารซึ่งชั้นหยุดวงดนตรีของตัวกรองแต่ละตัวมีระลอกคลื่นจำนวนมาก หน้าต่างบางบาน (von Hann และอื่น ๆ ) ที่ไม่ใช่รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าจะมีแถบหยุดที่ต่ำกว่าซึ่งเป็นเหตุผลหนึ่งที่ทำให้การใช้งานเป็นที่นิยม

hotpaw2คำตอบนั้นดี แต่ฉันต้องการอธิบายuser5133ความคิดเห็นเล็กน้อย:

ขอบคุณสำหรับการไม่อธิบายการรั่วไหลโดยการพูดว่า "FFT ถือว่าลำดับการป้อนข้อมูลเป็นระยะ" ความคิดโง่ ๆ ของ 'การสันนิษฐานว่าเป็นระยะเวลา' นั้นน่าเศร้าซ้ำไปซ้ำมาบ่อยครั้งมากในวรรณกรรมของ DSP

และในเวลาเดียวกันก็ตอบคำถามด้วย โปรดทราบว่าฉันทราบผู้เชี่ยวชาญในสาขานี้ --- โปรดแสดงความคิดเห็นแก้ไขหรือยืนยัน

$\mathbb{Z}$$\{1,2,\dots, N\}$

$$X(\omega )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\,e^{-i\omega n}.$$

$N$$N$$\mathbb{Z}$

$${\displaystyle X_{k}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\cdot e^{-2\pi ikn/N},\quad k\in \mathbb {Z} \,}$$ $X(2\pi k/N)$$n$$\{1,2,\dots, N\}$$x[n]w[n]$$w$$n\in\{1,\dots,N\}$

แต่การแปลงฟูริเยร์ของผลิตภัณฑ์คือการเปลี่ยนรูปฟูเรียร์:

$$\mathcal{F}\{f \cdot g\}= \mathcal{F}\{f\}*\mathcal{F}\{g\}$$

ดังนั้น DFT ของสัญญาณดั้งเดิมคือการแปลงของ DTFT ของมันเป็น "periodicized" กับการแปลงฟูริเยร์ของหน้าต่างสี่เหลี่ยม ... ซึ่งเป็นเพราะ (ในเฟรมต่อเนื่องและมีศูนย์กลางอยู่ที่ 0 ถึง ลดความซับซ้อน ... ):$\text{sinc}$

$$\int_{-\infty}^\infty w(f)e^{-j\omega t} dt = \int_{-\tau}^{\tau} e^{-j\omega t}dt =2\tau \text{sinc}(\omega \tau)$$

การบิดด้วยจะสร้าง lobes ด้านที่สังเกต (ยกเว้นในบางกรณี)$\text{sinc}$