คำถามเกี่ยวกับเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมของ 2 สัญญาณเชิงพื้นที่

ทุกครั้งที่ฉันคิดว่าฉันเข้าใจเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมแล้วบางคนก็คิดสูตรที่แตกต่างกัน

ฉันกำลังอ่านเอกสารนี้:

J. Benesty "อัลกอริธึม Adigenive eigenvalue decomposition สำหรับการแปลแหล่งกำเนิดเสียงแบบพาสซีฟ" , J. Acoust Soc Am เล่มที่107ฉบับที่ 1, หน้า 384-391 (2000)

และฉันเจอสูตรที่ฉันไม่ค่อยเข้าใจ ที่นี่ผู้เขียนจะสร้างเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมระหว่างสองสัญญาณและx_2สัญญาณทั้งสองนั้นมาจากเซ็นเซอร์ที่แตกต่างกัน$x_1$$x_2$

สำหรับเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมของสัญญาณเดียวฉันรู้ว่าเราสามารถหาได้โดยการคำนวณเมทริกซ์การถดถอยแล้วคูณมันด้วย Hermitian ของเมทริกซ์เดียวกันนั้นและหารด้วยความยาวของเวกเตอร์ดั้งเดิม ขนาดของเมทริกซ์ความแปรปรวนที่นี่สามารถ arbitrary มีขนาดสูงสุดเป็นN$N$$N\times N$

สำหรับเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมของสัญญาณเชิงพื้นที่สองถ้าเราวางสัญญาณแรกในแถวแรกและสัญญาณที่สองในแถวที่สองของเมทริกซ์จากนั้นคูณด้วย Hermitian และหารด้วยแล้วเราจะได้คูณเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมของสัญญาณเชิงพื้นที่ทั้งคู่$N$$2\times 2$

อย่างไรก็ตามในบทความนี้ผู้เขียนคำนวณสิ่งที่มีลักษณะเหมือนสี่ matricies, , และแล้วใส่ลงในเมทริกซ์พิเศษและเรียกมันว่าเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม .$R_1{}_1, R_1{}_2, R_2{}_1$$R_2{}_2$

ทำไมถึงเป็นเช่นนั้น? นี่คือภาพของข้อความ:

หากคุณมีสัญญาณเวกเตอร์สองตัวและองค์ประกอบแต่ละตัวมีสองสิ่งที่เราสามารถพิจารณาได้$x_1[n]$$x_2[n]$$N$

1. ปริมาณเปรียบเทียบกันอย่างไร โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อสัญญาณมีสัญญาณรบกวนและเสียงสามารถพิจารณาร่วมกันนิ่ง (หรือร่วมกันกว้างคงที่นิ่ง) ปริมาณเหล่านี้สามารถใช้ในการประเมินความแปรปรวนเสียงในสัญญาณทั้งสองเช่นเดียวกับความแปรปรวนร่วมของเสียงที่ เวลาสุ่มตัวอย่างคงที่ใด ๆ นี่คือสิ่งที่คุณได้รับจาก เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม เสียงในมีความแปรปรวน ซึ่งอาจแตกต่างจาก$\displaystyle\sum_{n=1}^N x_i[n]x_j[n],~ i, j \in \{1,2\}$$2\times 2$

   $$R_{2\times 2} = \left[\begin{matrix} \sigma_1^2 & C\\ C & \sigma_2^2\end{matrix}\right].$$ $x_1[n]$$\sigma_1^2 = R_{1,1}$$R_{2,2} = \sigma_2^2$ความแปรปรวนของเสียงใน[N] แต่เสียงที่มีความสัมพันธ์กับความแปรปรวนC ทีนี้ถ้าเราวางแผนที่จะทำอะไรกับสิ่งที่เกิดขึ้นที่โดยไม่สนใจสิ่งที่อาจเกิดขึ้นที่หรือ ฯลฯ นี่คือข้อมูลทั้งหมดที่เราต้องการ$x_2[n]$$R_{1.2}=R_{2,1} = C$$n$$n-1$$n+1$

2. เว้นแต่เสียงที่ทราบจะเป็น (หรือสันนิษฐานว่าเป็น) เสียงสีขาวเพื่อให้ตัวอย่างเสียงจากตัวอย่างการสุ่มตัวอย่างที่เป็นอิสระ (และดังนั้นจึงไม่เกี่ยวข้อง) หรือเราเพียงแค่สมมติตัวอย่างเสียงที่ไม่มีการสัมพันธ์กันมีข้อมูลที่เราไม่สนใจโดยไม่พิจารณาความสัมพันธ์ ระหว่างและตัวอย่างจากกระบวนการเดียวกันในเวลาและสถานที่ต่างกันและความสัมพันธ์ระหว่างและตัวอย่างจากกระบวนการทั้งสองในเวลาหรือสถานที่ต่างกัน ข้อมูลเพิ่มเติมนี้อาจนำไปสู่การประมาณการ / การแก้ปัญหาที่ดีขึ้น ตอนนี้เรามีตัวอย่างเสียงทั้งหมดและดังนั้น$x_1[n]$$x_1[m]$$x_1[n]$$x_2[m]$$2N$$2N \times 2N$เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมที่ต้องพิจารณา หากเราจัดการเรื่องที่ผู้เขียนทำเราก็มี โดยที่ และ ที่T] โปรดทราบว่าคือในสาระสำคัญ ฟังก์ชั่นข้ามความสัมพันธ์ของ และถ้า$R_{\text{full}} = E[XX^T]$

   $$X = (x_1[1],x_1[2],\ldots,x_1[N],x_2[1],x_2[2],\ldots,x_2[N])^T = (\mathbf x_1,\mathbf x_2)^T$$ $$R_{\text{full}} = \left[ \begin{matrix}R_{\mathbf x_1,\mathbf x_1} & R_{\mathbf x_1,\mathbf x_2}\\ R_{\mathbf x_2,\mathbf x_1} & R_{\mathbf x_2,\mathbf x_2}\end{matrix} \right]$$ $R_{\mathbf x_i,\mathbf x_j} = E[\mathbf x_i\mathbf x_j^T]$$R_{\mathbf x_i,\mathbf x_j}$$(x_i[1],x_i[2],\ldots,x_i[N])$$(x_j[1],x_j[2],\ldots,x_j[N])$$i \neq j$และ อัตฟังก์ชั่นถ้าJ หากกระบวนการเสียงเป็นสีขาวและไม่เกี่ยวข้องยกเว้นเมื่อดังนั้น โดยที่คือเมทริกซ์เอกลักษณ์และ และตามที่กำหนดไว้ในรายการ 1 ข้างต้น ความสมจริงของแบบจำลองเสียงรบกวนนี้อาจเป็นสิ่งที่ผู้ใช้ปลายทางต้องพิจารณา หากแบบจำลองนั้นเหมือนจริงจะไม่ได้อะไรจากการดูเมทริกซ์ matrix$i = j$$n = m$ $$R_{\text{full}} \rightarrow R_{\text{simple}} = \left[ \begin{matrix}\sigma_1^2I & CI\\ CI & \sigma_2^2I \end{matrix}\right]$$ $I$$N\times N$$\sigma_1^2, \sigma_2^2$$C$$2N\times 2N$$R_{\text{full}}$ เนื่องจากข้อมูลทั้งหมดมีอยู่ใน matrixของรายการ 1 ด้านบน ถ้าแบบจำลองนั้นไม่สมจริง แต่เราไม่ต้องการ (หรือไม่สามารถ) ใช้ข้อมูลทั้งหมดในเมทริกซ์เต็ม คูณเมทริกซ์ ; เราจะทำอย่างไรกับและของส่วนที่ 1 ซึ่งเราไม่ต้องการหรือเพียง2}$2\times 2$$R_{2\times 2}$$2N\times 2N$$R_{\text{full}}$$\sigma_1^2, \sigma_2^2$$C$$R_{\text{full}}$$R_{\text{simple}}$$R_{2\times 2}$