ประมาณค่าสัมประสิทธิ์ซีรีย์เทย์เลอร์จากตัวอย่างของฟังก์ชัน

สมมติว่าฉันมีการวัดฟังก์ชั่น $y = y(x)$ตัวอย่างที่ $x_i$ด้วยเสียงรบกวนที่สามารถประมาณโดยการขยายตัวชุดเทย์เลอร์ มีวิธีที่ยอมรับได้ในการประมาณค่าสัมประสิทธิ์สำหรับการขยายตัวจากการวัดของฉันหรือไม่?

ฉันพอดีกับข้อมูลกับพหุนาม แต่นั่นไม่ถูกต้องเพราะสำหรับซีรีส์เทย์เลอร์การประมาณควรดีกว่าที่คุณอยู่ใกล้กับจุดศูนย์กลางมากยิ่งขึ้นพูด x = 0 พอดีกับพหุนามปฏิบัติทุกจุดเท่า ๆ กัน

ฉันยังสามารถประเมินคำสั่งซื้อขายอนุพันธ์ต่าง ๆ ณ จุดที่ฉันขยาย แต่ก็ต้องตัดสินใจเกี่ยวกับตัวกรองที่แตกต่างเพื่อใช้และจำนวนสัมประสิทธิ์ตัวกรองสำหรับแต่ละรายการ ฟิลเตอร์สำหรับอนุพันธ์ที่แตกต่างกันจะต้องเข้ากันได้หรือไม่?

ไม่มีใครรู้วิธีการที่กำหนดไว้สำหรับสิ่งนี้ คำอธิบายหรือการอ้างอิงถึงเอกสารจะได้รับการชื่นชม

ชี้แจง

ในการตอบกลับความคิดเห็นด้านล่างการสุ่มตัวอย่างของฉันคือหน้าต่างสี่เหลี่ยมจากฟังก์ชันอนันต์ซึ่งไม่จำเป็นต้อง จำกัด วง แต่ไม่มีองค์ประกอบความถี่สูงที่แข็งแกร่ง จะเจาะจงมากขึ้นฉันกำลังวัดความแปรปรวนของตัวประมาณ (วัดการกระจัดในสัญญาณอัลตราซาวด์ทางการแพทย์) เป็นฟังก์ชันของพารามิเตอร์ของตัวประมาณ (ระดับของการเสียรูปหรือความเครียดของเนื้อเยื่อพื้นฐาน) ฉันมีซีรีย์ตามทฤษฎีของ Taylor สำหรับความแปรปรวนเป็นฟังก์ชั่นของการเสียรูปและต้องการเปรียบเทียบกับสิ่งที่ฉันได้รับจากการจำลอง

ตัวอย่างของเล่นที่คล้ายกันอาจจะ: สมมติว่าคุณมีฟังก์ชั่นเช่น ln (x), สุ่มตัวอย่างตามช่วงเวลาใน x ด้วยเสียงรบกวนที่เพิ่มเข้ามา คุณไม่ทราบว่ามันคือฟังก์ชั่นอะไรและคุณต้องการประเมินซีรี่ส์ของ Taylor รอบ ๆ x = 5 ดังนั้นฟังก์ชั่นนี้จึงราบรื่นและเปลี่ยนแปลงช้าสำหรับพื้นที่รอบ ๆ จุดที่คุณสนใจ (พูด 2 <x <8) แต่ไม่จำเป็นต้องอยู่นอกเขต

คำตอบมีประโยชน์และคำตอบพหุนามแบบกำลังสองน้อยที่สุดน่าจะเป็นเส้นทางที่ต้องใช้ สิ่งที่จะทำให้ซีรีย์ประมาณของเทย์เลอร์แตกต่างจากพหุนามแบบปกติคือคุณควรจะสามารถกำจัดคำที่มีลำดับสูงกว่าได้

ดังนั้นวิธีอาจจะทำแบบเชิงเส้นพหุนามเชิงเส้นโดยใช้เฉพาะข้อมูลใกล้กับจุดเริ่มต้นตามด้วยสมการกำลังสองที่มีข้อมูลอีกเล็กน้อยลูกบาศก์ใช้มากกว่านั้นเล็กน้อยเป็นต้น

คุณสามารถใช้ขนาดพอดีกับกำลังสองน้อยที่สุดซึ่งจะค้นหาพหุนามตามลำดับที่ระบุซึ่งช่วยลดข้อผิดพลาดกำลังสองรวมระหว่างขนาดพอดีกับขนาดที่วัดได้$(x_i,y_i)$คู่ ซึ่งสามารถช่วยลดผลกระทบของเสียงรบกวนได้อย่างพอดี

ได้รับการวัด $y_i$ ของฟังก์ชั่น $y = f(x)$ ที่ค่าโดเมน $x_i$ ($i = 0, 1, \ldots , N$) เลือกคำสั่งพหุนาม $M \le N$ (ถ้า $M = N$จากนั้นคุณก็ลงไปสู่ข้อต่อพหุนามที่แน่นอน $N$ คะแนนกำหนดเฉพาะ $M$พหุนามลำดับที่ th) จากนั้นตั้งค่าระบบของสมการที่เป็นเส้นตรงในค่าสัมประสิทธิ์พหุนามที่ต้องการ$p_k$:

$$y_i = p_Mx_i^M + p_{M-1}x_i^{M-1} + \ldots + p_1x_i + p_0, \;\;\;\;\;i = 0, 1, \ldots , N$$

ปัญหากำลังสองน้อยที่สุดสามารถแก้ไขได้ด้วยการจัดเรียงการวัดในรูปแบบเมทริกซ์เวกเตอร์:

$$\mathbf{A} = \left [ {\begin{array}{cc} x_0^M & x_0^{M-1} & \cdots & x_0 & 1 \\ x_1^M & x_1^{M-1} & \cdots & x_1 & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ x_N^M & x_N^{M-1} & \cdots & x_N & 1 \end{array} } \right ], \;\;\mathbf{y}= \left [ {\begin{array}{cc} y_0 \\ y_1 \\ \vdots \\ y_N \end{array} } \right ]$$

วิธีแก้ปัญหากำลังสองน้อยที่สุดจะสร้างเวกเตอร์ของสัมประสิทธิ์พหุนาม$\left[p_M, p_{M-1}, \ldots , p_0\right]$ที่ลดข้อผิดพลาดกำลังสองรวมในระบบเชิงเส้นด้านบน วิธีการแก้ปัญหาสามารถคำนวณได้เป็น:

$$\mathbf{\tilde p} = (\mathbf{A^TA})^{-1} \mathbf{A^Ty}$$

มันเป็นที่น่าสังเกตว่าเมทริกซ์ $(\mathbf{A^TA})^{-1} \mathbf{A^T}$เป็นที่รู้จักกันในนามpseudoinverseของเมทริกซ์$\mathbf{A}$. จากนั้นคุณสามารถใช้เวกเตอร์สัมประสิทธิ์พหุนามแบบกำลังสองน้อยที่สุด$\mathbf{\tilde p}$ เพื่อประเมินพหุนามที่อื่น ๆ $x$ ค่าที่คุณต้องการ

ไม่ต้องสนใจเสียงรบกวนในตอนนี้

ป.ร. ให้ไว้ $n+1$ จุด $(x_i,y_i)$ ที่ไหน $x_i$ เป็นตัวเลขที่แตกต่างคุณสามารถปรับให้พอดีกับพหุนาม $f(x)$ มากที่สุด $n$ผ่านจุดเหล่านี้ ตัวอย่างเช่นการแก้ไข Lagrange เป็นวิธีมาตรฐานสำหรับสิ่งนี้ แต่เชื่อว่าเป็นจุดที่โค้ง$y=g(x)$ ที่ไหน $g(x)$ ไม่จำเป็นต้องเป็นพหุนาม (เช่นอาจเป็น $e^x$ หรือ $(x+a)/(x+b)$ ฯลฯ ) และคุณต้องการค้นหาซีรี่ส์ Taylor สำหรับฟังก์ชั่นนี้ $g(x)$. การพัฒนาซีรี่ย์ Taylor สำหรับ $g(x)$ ในบริเวณใกล้เคียง $x=0$พูดต้องใช้ความรู้เกี่ยวกับคุณค่าของ $g(0)$เช่นเดียวกับมูลค่าของสัญญาซื้อขายล่วงหน้า $g^{(k)}(x) = \frac{\mathrm d^kg(x)}{\mathrm dx^k}, k=1,2,\ldots$ ที่ $x=0$ในขณะที่สิ่งที่เป็นที่รู้จักคือค่าของ $g(x)$ ที่ $n+1$ จุด $x_i$. ถึงแม้ว่า $x_i = 0$ สำหรับบางคน $i$ ดังนั้น $g(0)$เป็นที่รู้จักกันก็ยังจำเป็นต้องประเมิน $g^{(k)}(0)$ สำหรับ $k=1, 2, \ldots$

การประมาณค่าของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน $g(x)$ ที่ $x=0$ จากค่าของมัน $g(x_i)$ที่จุดที่เลือกนั้นเป็นปัญหาที่ได้รับการศึกษาเป็นอย่างดีในการวิเคราะห์เชิงตัวเลขและสูตรที่จะใช้นั้นพร้อมใช้งาน สิ่งที่ไม่ได้อธิบายในรายละเอียดหรือมากกว่าปกติไม่ได้กล่าวถึงในบริเวณใกล้เคียงของสูตรเหล่านี้คือสูตรเหล่านี้ได้มาจากการใส่พหุนาม$h(x)=\sum_k h_kx^k$ ไปยังจุดที่รู้จักและประเมิน $g^{(k)}(0)$ เช่น $h^{(k)}(0) = k!h_k$. ใส่วิธีอื่น

จาก $n+1$ จุด $(x_i,g(x_i))$ ของ $g(x)$เราสามารถพัฒนาซีรี่ส์ Taylor สำหรับ $g(x)$ ขึ้นอยู่กับเทอมของปริญญาเท่านั้น $n$และชุดเทย์เลอร์ที่ถูกตัดทอนเป็นเพียง $h(x)$พหุนามที่พอดีกับ $n+1$ จุด

ดังนั้นการปรับพหุนามหมายถึงอะไร? ความพอดีมาตรฐานคือการแก้ไขลากรองจ์ซึ่งทำงานได้ดีเมื่อไม่มีจุดรบกวน$x_i$ เว้นระยะเท่ากันและ $0$ คือค่ามัธยฐานของ $x_i$. หากมีสัญญาณรบกวนจะมีขนาดกำลังสองน้อยที่สุดของพหุนาม$m < n$ (ดูคำตอบโดย JasonR สำหรับรายละเอียด) มักจะดีกว่าและถ้าเราต้องการเน้นความถูกต้องในบริเวณใกล้เคียง$x=0$การถ่วงน้ำหนักอย่างน้อยสี่เหลี่ยมพอดีสามารถนำมาใช้ ถ่วงน้ำหนักข้อผิดพลาดจากคะแนนในบริเวณใกล้เคียงของ$0$ มากกว่าข้อผิดพลาดจากระยะไกลบังคับให้อัลกอริธึมการย่อขนาดเพื่อให้ได้ขนาดที่ใกล้เคียงยิ่งขึ้น $0$ ที่ค่าใช้จ่ายของความแม่นยำต่ำกว่าไกล $0$. แน่นอนว่าเราต้องปกป้องการเลือกฟังก์ชั่นการถ่วงน้ำหนักกับนักลงทุนที่ต้องการน้ำหนักที่แตกต่างกัน

ตัวอย่าง:ได้รับ$3$ จุด $(-1,y_{-1}), (0,y_0), (1,y_1)$สูตรการแก้ไขลากรองจ์ให้

$$\begin{align*} f(x) &= y_{-1}\frac{x(x-1)}{2} -y_0(x^2-1) + y_{1}\frac{x(x+1)}{2}\\ &= y_0 + \frac{y_1-y_{-1}}{2}x + \frac{y_1-2y_0 + y_{-1}}{2}x^2 \end{align*}$$ ค่าสัมประสิทธิ์ของ $x$ และ $x^2$เป็นสูตร "สามจุด" สำหรับอนุพันธ์อันดับหนึ่งและสองตามที่ระบุไว้ในตารางที่ 25.2 ของ Abramowitz และคู่มือการคำนวณทางคณิตศาสตร์ของ Stegun นั่นคือสูตรการแก้ไข Lagrange คือชุด Taylor ที่ถูกตัดทอนสำหรับฟังก์ชัน$g(x)$ ดังนั้น $g(-1) = y_{-1}, g(0) = y_0, g(1)=y_1$.