มีทางเลือกอื่น ๆ ในการเปลี่ยนรูปแบบไบลิแนร์

เมื่อมีการออกแบบตัวกรองดิจิตอลขึ้นอยู่กับตัวกรองอนาล็อกที่เรามักจะใช้bilinear เปลี่ยน เพื่อประมาณฟังก์ชั่นการถ่ายโอนแบบไม่ต่อเนื่องจากฟังก์ชันการถ่ายโอนแบบอะนาล็อก (ต่อเนื่อง) A ( s ) ที่เราแทนที่$D_a(z)$$A(s)$

$$z = \frac{1+sT/2}{1-sT/2}$$

โดยที่คือระยะเวลาการสุ่มตัวอย่าง อีกทางเลือกหนึ่งที่ใกล้เคียงกับฟังก์ชั่นการถ่ายโอนอย่างต่อเนื่อง( s )จากที่ไม่ต่อเนื่องฟังก์ชันถ่ายโอนD ( Z )เราแทน$T$$A_a(s)$$D(z)$

$$s = \frac{2}{T} \frac{z-1}{z+1}$$

มีวิธีอื่นในการดำเนินการแปลงดังกล่าวหรือไม่ มีการประมาณที่ดีขึ้นหรือไม่

ตัวกรองแบบอะนาล็อกมีความเสถียรหากเสาอยู่ในครึ่งซ้ายของเครื่องบิน (รูปด้านซ้าย) และตัวกรองแบบดิจิตอลมีความเสถียรหากเสาอยู่ภายในวงกลมหน่วย (รูปด้านขวา) ดังนั้นทางคณิตศาสตร์เป็นสิ่งที่จำเป็นในการแปลงจากอนาล็อกเป็นดิจิตอลคือการทำแผนที่ (มาตราส่วน?) จากครึ่งพื้นที่ไปยังดิสก์หน่วยและแกนวงกลมหน่วย| z | = 1 การเปลี่ยนแปลงใด ๆ ที่ทำเช่นนี้เป็นตัวเลือกที่เป็นไปได้สำหรับการเป็นทางเลือกในการเปลี่ยนรูปแบบทวิภาคี$\jmath\Omega$$\vert z\vert=1$

สองวิธีที่รู้จักกันดีคือวิธีการแปรปรวนอิมพัลส์และวิธีZ-transform ที่จับคู่กัน ตามแนวคิดแล้วทั้งสองอย่างนี้คล้ายคลึงกับการสุ่มตัวอย่างรูปคลื่นอย่างต่อเนื่องที่เราคุ้นเคย แสดงให้เห็นถึงการแปลงผกผัน Laplace โดยและ Z แปรรูปเป็นZทั้งสองวิธีเหล่านี้เกี่ยวข้องกับการคำนวณการตอบสนองแรงกระตุ้นของตัวกรองแบบอะนาล็อกเป็น$\mathcal{L}^{-1}$$\mathcal{Z}$

$$a(t)=\mathcal{L}^{-1}\{A(s)\}$$

และการสุ่มตัวอย่างในช่วงเวลาการสุ่มตัวอย่างTที่สูงพอที่จะหลีกเลี่ยงการใช้นามแฝง ฟังก์ชั่นการถ่ายโอนของตัวกรองดิจิตอลจะได้รับแล้วจากลำดับตัวอย่าง[ n ]เป็น$a(t)$$T$$a[n]$

$$D_a(z)=\mathcal{Z}\{a[n]\}$$

อย่างไรก็ตามมีความแตกต่างที่สำคัญระหว่างทั้งสอง

แรงกระตุ้น invariance วิธี:

ในวิธีนี้คุณจะขยายฟังก์ชั่นการถ่ายโอนแบบแอนะล็อกเป็นเศษส่วนบางส่วน (ไม่ใช่ในการแปลง Z ที่จับคู่ตามที่ Peter กล่าวไว้ )

$$A(s)=\sum_m \frac{C_m}{s-\alpha_m}$$

$C_m$$\alpha_m$

เหตุผลที่มันล้มเหลวก็ค่อนข้างชัดเจน หากคุณมีพหุนามในตัวเศษของระดับเดียวกันกับตัวส่วนคุณจะมีค่าคงตัวที่คงที่ซึ่งในการแปลงผกผันจะให้ฟังก์ชันเดลต้าที่ไม่สามารถเก็บตัวอย่างได้

$\alpha_m \to e^{\alpha_m T}$

จับคู่ Z-transform

$\beta_m\to e^{\beta_m T}$$\alpha_m\to e^{\alpha_m T}$

$$A(s)=\frac{\prod_m (s-\beta_m)}{\prod_n (s-\alpha_n)}\longrightarrow \frac{\prod_m \left(1-z^{-1}e^{\beta_m T}\right)}{\prod_n \left(1-z^{-1}e^{\alpha_n T}\right)}$$

คุณสามารถดูข้อ จำกัด ของวิธีการทั้งสองนี้ได้อย่างง่ายดาย Impulse invariant ใช้ได้เฉพาะในกรณีที่ตัวกรองของคุณเป็นแบบ low pass และวิธีการแปลงรูป z ที่จับคู่นั้นสามารถใช้ได้กับตัวกรอง bandstop และ bandpass (และ pass ที่สูงถึงความถี่ Nyquist) พวกเขายังถูก จำกัด ในทางปฏิบัติโดยอัตราการสุ่มตัวอย่าง (หลังจากทั้งหมดคุณสามารถไปถึงจุดที่แน่นอน) และประสบจากผลกระทบของนามแฝง

การแปลงไบลีแนร์เป็นวิธีที่ใช้กันโดยทั่วไปมากที่สุดในทางปฏิบัติและทั้งสองวิธีข้างต้นนั้นค่อนข้างจะเป็นประโยชน์ต่อการศึกษา สำหรับการแปลงกลับเป็นแบบอะนาล็อกฉันขอโทษ แต่ฉันไม่รู้และไม่สามารถช่วยเหลือได้มากเท่าที่ฉันเคยใช้ตัวกรองแบบอะนาล็อก

$s$$z$

ตัวอย่างบางส่วนคือ:

Z-Transform ที่จับคู่กัน

$s$

$$Y(s) = \frac{a_0}{s + s_0} + \frac{a_1}{s + s_1} + ...$$

และการแปลงของแต่ละส่วนของการขยายเศษส่วนบางส่วนทำได้โดยตรงโดยใช้

$$s + s_n = 1 - z^{-1} \exp(-s_nT)$$

กฎของซิมป์สัน

การแปลความหมายหนึ่งของบิลิแนร์แปลงคือว่ามันเป็นวิธีการของการเปลี่ยนจากอย่างต่อเนื่องเป็นเวลาต่อเนื่องโดยบูรณาการโดยประมาณโดยใช้กฎสี่เหลี่ยมคางหมู

เทคนิคที่แม่นยำยิ่งขึ้นสำหรับการรวมโดยประมาณใช้กฎของ Simpson หากใช้การประมาณนี้แสดงว่าผลลัพธ์คือ:

$$s = \frac{3}{T} \frac{z^2 - 1}{z^2+4z+1}$$