ความแตกต่างระหว่างอัตลักษณ์และเครื่องเขียนคืออะไร?

ฉันมีปัญหาในการแยกแยะระหว่างแนวคิดทั้งสองนี้ นี่คือความเข้าใจของฉันจนถึงตอนนี้

กระบวนการคงที่เป็นกระบวนการสโตแคสติกซึ่งคุณสมบัติทางสถิติไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา สำหรับกระบวนการคงที่ที่เข้มงวดซึ่งหมายความว่าการกระจายความน่าจะเป็นร่วมนั้นคงที่ สำหรับกระบวนการหยุดนิ่งที่กว้างซึ่งหมายความว่าช่วงเวลาที่ 1 และ 2 นั้นคงที่

กระบวนการ ergodic เป็นกระบวนการที่คุณสมบัติทางสถิติของมันเช่นความแปรปรวนสามารถอนุมานได้จากตัวอย่างที่มีความยาวเพียงพอ ตัวอย่างค่าเฉลี่ยตัวอย่างมาบรรจบกับค่าเฉลี่ยจริงของสัญญาณถ้าคุณเฉลี่ยนานพอ

สำหรับฉันตอนนี้ดูเหมือนว่าสัญญาณจะต้องหยุดนิ่งเพื่อให้เป็นไปตามหลักสรีรศาสตร์

• และสัญญาณประเภทใดบ้างที่คงที่ แต่ไม่เหมาะกับการใช้งาน?
• หากสัญญาณมีความแปรปรวนเท่ากันตลอดเวลาตัวอย่างเช่นความแปรปรวนแบบเวลาเฉลี่ยจะไม่แปรเป็นค่าที่แท้จริงได้อย่างไร
• ดังนั้นอะไรคือความแตกต่างที่แท้จริงระหว่างแนวคิดทั้งสองนี้
• คุณสามารถยกตัวอย่างของกระบวนการที่ไม่หยุดยั้งโดยไม่ต้อง ergodic หรือ ergodic โดยไม่หยุดนิ่งได้หรือไม่?

กระบวนการสุ่มคือชุดของตัวแปรสุ่มหนึ่งครั้งสำหรับแต่ละครั้งในการพิจารณา โดยทั่วไปแล้วนี่อาจเป็นเวลาต่อเนื่อง ( ) หรือเวลาที่ไม่ต่อเนื่อง (จำนวนเต็มทั้งหมดหรือเวลาทั้งหมดคงที่โดยที่คือช่วงเวลาตัวอย่าง) $-\infty < t < \infty$$n$$nT$$T$

• Stationarity หมายถึงการแจกแจงของตัวแปรสุ่ม โดยเฉพาะในขั้นตอนการเขียนทุกตัวแปรสุ่มมีฟังก์ชั่นการกระจายเดียวกันและอื่น ๆ โดยทั่วไปสำหรับทุกจำนวนเต็มบวกและจังหวะเวลาที่ร่วมการกระจายของตัวแปรสุ่มเป็นเช่นเดียวกับการจัดจำหน่ายร่วมกันของtau) นั่นคือถ้าเราเปลี่ยนเวลาทั้งหมดโดยรายละเอียดทางสถิติของกระบวนการจะไม่เปลี่ยนแปลงเลย: กระบวนการจะหยุดนิ่ง$n$$n$$t_1, t_2, \ldots, t_n$ n X ( T 1 ) , X ( T 2 ) , ⋯ , X ( T n ) X ( T 1 + τ ) , X ( เสื้อ2 + τ ) , ⋯ , X ( t n + τ ) τ$n$$X(t_1), X(t_2), \cdots, X(t_n)$$X(t_1+\tau), X(t_2+\tau), \cdots, X(t_n+\tau)$$\tau$.
• ในทางตรงข้ามความผิดพลาดทางพันธุกรรมไม่ได้ดูที่คุณสมบัติทางสถิติของตัวแปรสุ่ม แต่ที่เส้นทางตัวอย่างคือสิ่งที่คุณสังเกตเห็นทางร่างกาย อ้างอิงกลับไปที่ตัวแปรสุ่มจำได้ว่าตัวแปรสุ่มเป็นการแมปจากพื้นที่ตัวอย่างไปยังจำนวนจริง ผลลัพธ์แต่ละรายการจะถูกจับคู่กับจำนวนจริงและโดยทั่วไปตัวแปรสุ่มที่แตกต่างกันจะจับคู่ผลลัพธ์ที่ได้กับตัวเลขที่แตกต่างกัน ดังนั้นลองจินตนาการว่ามีบางสิ่งที่สูงกว่าที่ได้ทำการทดลองซึ่งส่งผลให้เกิดผลลัพธ์ในพื้นที่ตัวอย่างและผลลัพธ์นี้ได้ถูกแมปไปยังหมายเลขจริง (โดยทั่วไปแตกต่างกัน) โดยตัวแปรสุ่มทั้งหมดในกระบวนการ: โดยเฉพาะการสุ่ม ตัวแปรมีการแมป$\omega$$X(t)$$\omega$ไปเป็นจำนวนจริงเราจะแสดงเป็น(t) หมายเลขการยกย่องให้เป็นรูปแบบของคลื่นที่เป็นตัวอย่างเส้นทางที่สอดคล้องกับและผลลัพธ์ที่แตกต่างกันจะทำให้เรามีเส้นทางที่แตกต่างกันตัวอย่าง Ergodicity แล้วเกี่ยวข้องกับคุณสมบัติของเส้นทางตัวอย่างและคุณสมบัติเหล่านี้เกี่ยวข้องกับคุณสมบัติของตัวแปรสุ่มซึ่งประกอบด้วยกระบวนการสุ่ม$x(t)$x ( t ) ω $x(t)$$\omega$

ตอนนี้สำหรับเส้นทางตัวอย่างจากกระบวนการคงที่เราสามารถคำนวณเวลาเฉลี่ย แต่เกี่ยวข้องกับความหมายของกระบวนการสุ่มอย่างไร (หมายเหตุว่ามันไม่ได้เรื่องที่ค่าของที่เราใช้ทั้งหมดตัวแปรสุ่มมีการกระจายเดียวกันและเพื่อให้มีค่าเฉลี่ยเท่ากัน (ถ้ามีค่าเฉลี่ยอยู่)) ตามที่ OP บอกค่าเฉลี่ยหรือส่วนประกอบ DC ของเส้นทางตัวอย่างจะแปรเป็นค่าเฉลี่ยของกระบวนการหากเส้นทางตัวอย่างนั้นถูกสังเกตได้นานพอหากกระบวนการนั้นเป็นอัตลักษณ์$x(t)$ˉ x = 1

$$\bar{x} = \frac{1}{2T} \int_{-T}^T x(t) \,\mathrm dt$$ $\bar{x}$$\mu = E[X(t)]$$t$และเครื่องเขียน ฯลฯ นั่นคือ ergodicity คือสิ่งที่ทำให้เราสามารถเชื่อมต่อผลลัพธ์ของการคำนวณและยืนยันว่า เท่ากับ กระบวนการที่มีความเท่าเทียมกันกล่าวกันว่ามีความหมายถึงอัตลักษณ์และกระบวนการหมายถึงอัตลักษณ์ถ้าฟังก์ชัน autocovariance ของมันมีคุณสมบัติ: $$\lim_{T\to \infty}\bar{x} = \lim_{T\to \infty}\frac{1}{2T} \int_{-T}^T x(t) \,\mathrm dt$$ μ = E [ X ( T ) ] = ∫ ∞ - ∞ยูเอฟเอ็กซ์ ( U )
$$\mu = E[X(t)] = \int_{-\infty}^\infty uf_X(u) \,\mathrm du.$$ C X ( τ ) lim T → ∞ 1$C_X(\tau)$ $$\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^T C_X(\tau) \mathrm d\tau = 0.$$

ดังนั้นกระบวนการที่ไม่หยุดนิ่งทั้งหมดจึงจำเป็นต้องมีความหมายตามหลักสรีรศาสตร์ แต่ก็มีรูปแบบอื่น ๆของการยศาสตร์เช่นกัน ตัวอย่างเช่นสำหรับกระบวนการautocovariance-ergodicฟังก์ชัน autocovariance ของส่วน จำกัด (พูดสำหรับของตัวอย่างเส้นทางลู่เข้าสู่ฟังก์ชันของกระบวนการ ในฐานะที่เป็นคำสั่งแบบครอบคลุมว่ากระบวนการนั้นเป็นไปตามหลักสรีรศาสตร์อาจหมายถึงรูปแบบต่าง ๆ หรืออาจหมายถึงรูปแบบที่เฉพาะเจาะจงหนึ่งไม่สามารถบอกได้$t\in (-T, T)$$x(t)$$C_X(\tau)$$T\to \infty$

เป็นตัวอย่างของความแตกต่างระหว่างทั้งสองแนวคิดที่สมมติว่าสำหรับทุกภายใต้การพิจารณา นี่คือเป็นตัวแปรสุ่ม นี่เป็นกระบวนการที่อยู่กับที่: แต่ละมีการแจกแจงแบบเดียวกัน (กล่าวคือการกระจายของ ), ค่าเฉลี่ยเดียวกัน , ความแปรปรวนเดียวกันและอื่น ๆ ; แต่ละและมีการแจกแจงข้อต่อที่เหมือนกัน แต่กระบวนการนี้ไม่ได้ อัตลักษณ์เนื่องจากเส้นทางแต่ละตัวอย่างเป็นค่าคงที่ โดยเฉพาะถ้าการทดลองของการทดสอบ (ตามที่ดำเนินการโดยคุณหรือโดยความเป็นเลิศ) จะส่งผลให้$X(t) = Y$$t$$Y$$X(t)$$Y$$E[X(t)] = E[Y]$$X(t_1)$$X(t_2)$$Y$มีค่าจากนั้นเส้นทางตัวอย่างของกระบวนการสุ่มที่สอดคล้องกับผลการทดลองนี้มีค่าสำหรับทุกและค่า DC ของเส้นทางตัวอย่างคือไม่ใช่ไม่ว่าคุณจะสังเกตเส้นทางตัวอย่าง (น่าเบื่อ) นานแค่ไหนก็ตาม ในจักรวาลคู่ขนาน, การพิจารณาคดีจะส่งผลให้และเส้นทางตัวอย่างในจักรวาลที่จะมีค่าสำหรับทุกเสื้อมันไม่ใช่เรื่องง่ายที่จะเขียนข้อกำหนดทางคณิตศาสตร์เพื่อยกเว้นเรื่องไร้สาระเช่นนั้นออกจากคลาสของกระบวนการที่อยู่กับที่และนี่คือตัวอย่างที่น้อยที่สุดของกระบวนการสุ่มแบบคงที่ซึ่งไม่ใช่อัตลักษณ์$\alpha$$\alpha$$t$$\alpha$$E[X(t)] = E[Y]$$Y = \beta$$\beta$$t$

จะมีกระบวนการสุ่มที่ไม่หยุดนิ่ง แต่เป็นอัตลักษณ์หรือไม่? ดีN0ไม่ถ้ามีอัตลักษณ์ที่เราหมายถึงอัตลักษณ์ในทุกวิถีทางหนึ่งที่เป็นไปได้สามารถคิด: ยกตัวอย่างเช่นถ้าเราวัดส่วนของเวลาในระหว่างที่มีส่วนยาวของเส้นทางตัวอย่างมีค่าที่มากที่สุด , นี่เป็นค่าประมาณที่ดีของ , ค่าของ (สามัญ) CDFของที่หากกระบวนการเป็น asumeed to เป็นอัตลักษณ์ด้วยความเคารพต่อฟังก์ชั่นการกระจาย แต่เราสามารถมีกระบวนการสุ่มได้$x(t)$$\alpha$$P(X(t) \leq \alpha) = F_X(\alpha)$$F_X$$X(t)$$\alpha$ไม่หยุดนิ่ง แต่ก็มีความหมาย -พลังงานและautocovariance -พลังงาน - ตัวอย่างเช่นพิจารณากระบวนการ โดยที่ใช้ค่าที่มีโอกาสเท่ากันสี่ค่าและ 2 โปรดทราบว่าแต่ละเป็นตัวแปรสุ่มแบบแยกซึ่งโดยทั่วไปแล้วจะใช้ค่าที่น่าจะเป็นสี่และ , มันง่ายที่จะเห็นว่าโดยทั่วไปและ$\{X(t)\colon X(t)= \cos (t + \Theta), -\infty < t < \infty\}$$\Theta$$0, \pi/2, \pi$$3\pi/2$$X(t)$$\cos(t), \cos(t+\pi/2)=-\sin(t), \cos(t+\pi) = -\cos(t)$$\cos(t+3\pi/2)=\sin(t)$$X(t)$$X(s)$มีการแจกแจงที่แตกต่างกันและดังนั้นกระบวนการไม่ได้อยู่ที่อันดับที่หนึ่งนิ่ง ในทางตรงกันข้าม สำหรับทุกๆในขณะที่ ในระยะสั้นกระบวนการมีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์และฟังก์ชั่น autocorrelation (และ autocovariance) ขึ้นอยู่กับความแตกต่างของเวลาเท่านั้นดังนั้นกระบวนการจึงเป็น

$$E[X(t)] = \frac 14\cos(t)+ \frac 14(-\sin(t)) + \frac 14(-\cos(t))+\frac 14 \sin(t) = 0$$ $t$ $$\begin{align} E[X(t)X(s)]&= \left.\left.\frac 14\right[\cos(t)\cos(s) + (-\cos(t))(-\cos(s)) + \sin(t)\sin(s) + (-\sin(t))(-\sin(s))\right]\\ &= \left.\left.\frac 12\right[\cos(t)\cos(s) + \sin(t)\sin(s)\right]\\ &= \frac 12 \cos(t-s). \end{align}$$ $t-s$ความรู้สึกไวนิ่ง แต่มันไม่ได้อยู่กับคำสั่งแรกและไม่สามารถหยุดอยู่กับคำสั่งที่สูงขึ้นได้เช่นกัน ตอนนี้เมื่อทำการทดลองและรู้ค่าของเราจะได้ฟังก์ชั่นตัวอย่างซึ่งจะต้องเป็นหนึ่งในและซึ่งมีค่า DCซึ่งเท่ากับและฟังก์ชั่น autocorrelation คือเช่นเดียวกับและดังนั้นกระบวนการนี้จึงมีความหมายถึงอัตลักษณ์และอัตชีวประวัติ - อัตลักษณ์แม้ว่าจะไม่ได้อยู่กับที่เลย ในการปิดฉันสังเกตว่ากระบวนการไม่ได้เป็นไปตามหลักสรีรศาสตร์ด้วยความเคารพต่อฟังก์ชั่นการกระจาย$\Theta$$\pm \cos(t)$$\pm \sin(t)$$0$$0$$\frac 12 \cos(\tau)$$R_X(\tau)$นั่นคือมันไม่สามารถพูดได้ว่าเป็นอัตลักษณ์ในทุกด้าน

ขอให้เราพิจารณากระบวนการสุ่มสมมุติที่ฟังก์ชันตัวอย่างเป็นค่า DC และแตกต่างจากกัน:

X ₁ (t) = constant = ค่าเฉลี่ยของ X ₁ (t)

X ₂ (t) = constant = ค่าเฉลี่ยของ X ₂ (t)

ค่าเฉลี่ยชั่วคราวของและคงที่ แต่ไม่เท่ากัน ถ้ากระบวนการของฉันคือเครื่องเขียนและเท่ากันและ RVs (ดูคำตอบของ Dilip)X 2 ( t ) X ( t 1 ) X ( t 2$X_1(t)$$X_2(t)$$X(t_1)$$X(t_2)$

ดังนั้นค่าเฉลี่ยของจึงคงที่$X(t)$

ค่าเฉลี่ยของวงดนตรีนี้ไม่เท่ากับค่าเฉลี่ยชั่วคราวของและ (พวกมันเองไม่เท่ากัน) สิ่งนี้สามารถเรียกได้ว่าเป็นเครื่องเขียน แต่ไม่ใช่กระบวนการที่เกี่ยวกับอัตลักษณ์X 2 ( t $X_1(t)$$X_2(t)$

ในทางตรงกันข้ามโดยที่คือ RV นั้นเป็นอัตลักษณ์$X(t)=Acos(\omega t+\theta)$$\theta$

ฉันหวังว่าวิดีโอนี้(จากสถาบันเทคโนโลยีแห่งฟลอริดาชื่อ "ความกว้างกว้างคืออะไร staionary ความเข้มงวดสัญญาณ ergodic" โดยดร. Ivica Kostanic ในชั้นเรียนทฤษฎีการสื่อสารของเขา) จาก 16:55 สามารถล้างข้อสงสัยของคุณ

กระบวนการ ergodic เป็นกระบวนการที่คุณสามารถทดแทนค่าเฉลี่ย ergodic สำหรับค่าเฉลี่ยชั่วคราว

ค่าเฉลี่ยความแปรปรวนและอื่น ๆ ... ถูกกำหนดโดยทำตามกระบวนการเมื่อเวลาผ่านไปและค่าเฉลี่ย ฯลฯ ... ตัวอย่างเช่นหากคุณต้องการทราบค่าเฉลี่ยของขนาดของฉันคุณจะต้องเฉลี่ยจากตอนที่ฉันเกิด ถึงเมื่อฉันตาย เห็นได้ชัดว่าตัวอย่างในภายหลังไม่ใช่กระบวนการคงที่

ค่าเฉลี่ยเชิงอัตลักษณ์จะเท่ากับถ้าแทนที่จะติดตามขนาดของฉันไปตามเวลาคุณจะหยุดเวลาและเอาค่าเฉลี่ยไปเป็นตัวอย่างของมนุษย์แต่ละคนที่แตกต่างกัน ไม่มีเหตุผลสำหรับสองวิธีนี้ที่จะเหมือนกันดังนั้นกระบวนการขนาดของฉันจึงไม่เป็นไปตามหลักสรีรศาสตร์

นี่เป็นตัวอย่างที่ไม่ดี แต่มันสำคัญมากถ้าคุณพิจารณากรณีของก๊าซที่สมดุล ยกตัวอย่างเช่นความเร็วเฉลี่ยกำลังสอง (หมายถึงช่วงเวลา) แต่มักคำนวณโดยใช้ค่าเฉลี่ยทั้งมวล : ค่าเฉลี่ยของความเร็วจตุรัสของโมเลกุลทั้งหมดของ ก๊าซในทันทีที ⟨V2⟩$\bar{V^2}$$\left< V^2 \right>$$t$

ส่วนใหญ่ทฤษฎีบทอุณหพลศาสตร์ต้องใช้ แต่มันเป็นเรื่องง่ายมากขึ้นในการคำนวณและการใช้ขวา> สมมติฐานด้านอัตลักษณ์เป็นสมมติฐานที่ระบุว่ามันถูกต้องที่จะทดแทนสิ่งหนึ่ง กระบวนการ ergodic เป็นกระบวนการที่สมมติฐานเกี่ยวกับอัตลักษณ์เป็นจริง ⟨V2$\bar{V^2}$$\left< V^2 \right>$

สมมติฐานเกี่ยวกับอัตลักษณ์เป็นเท็จในกรณีทั่วไป

สำหรับตัวอย่างของกรณีตรงข้าม (เช่นกระบวนการสุ่มที่เป็นอัตลักษณ์ แต่ไม่หยุดนิ่ง) ให้พิจารณากระบวนการเสียงสีขาวที่เป็นแอมพลิจูดปรับโดยคลื่นสี่เหลี่ยมที่กำหนดขึ้น เวลาเฉลี่ยของทุกฟังก์ชั่นตัวอย่างเท่ากับศูนย์เช่นเดียวกับค่าเฉลี่ยของวงดนตรีตลอดเวลา ดังนั้นกระบวนการจึงเป็นไปตามหลักสรีรศาสตร์ อย่างไรก็ตามความแปรปรวนของฟังก์ชั่นตัวอย่างใด ๆ แสดงการพึ่งพาคลื่นสี่เหลี่ยมตรงตามเวลาดังนั้นกระบวนการจึงไม่หยุดนิ่ง

ตัวอย่างนี้เป็นลักษณะเฉพาะของเครื่องเขียนแบบไวด์สกรีน แต่เราสามารถสร้างตัวอย่างที่เกี่ยวข้องซึ่งยังคงเป็นอัตลักษณ์ แต่ไม่สามารถนิ่งได้

ขณะที่ฉันดูต่ำกว่าตัวอย่างด้านล่างแสดงให้เห็นถึงกระบวนการเกี่ยวกับอัตลักษณ์และการหยุดนิ่ง

 X1 X2 X3  | mean var ...
 1  2  3   | 2    1
 2  3  1   | 2
 3  1  2   | 2
 ----------

หมายถึง 2 2 2 var 1

เพราะค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของทุกคอลัมน์คงที่ตลอดเวลาและค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของทุกแถวคงที่ตลอดเวลา