ตัวกรองที่จับคู่ที่เหมาะสมที่สุดโดยไม่มี ISI

เมื่อใช้ตัวกรองเพื่อกำหนดรูปร่างสัญญาณดิจิตอล, และระบุว่าเราไม่ต้องการให้ชุดค่าผสมของตัวกรองก่อให้เกิด ISI ใด ๆ ตัวกรอง "ที่จับคู่" ตัวใด, q ( x )จะเพิ่ม SNR ให้มากที่สุด?$p(x)$$q(x)$

ตัวกรองที่จับคู่จะใช้ในการสื่อสารแบบดิจิตอลเพื่อเพิ่มอัตราส่วนสัญญาณต่อสัญญาณรบกวนให้มากที่สุด บ่อยครั้งที่ตัวกรองรูท - โคไซน์ใช้ในการสร้างรูปร่างสัญญาณเนื่องจากมันถูก จำกัด ในพื้นที่ความถี่และตัวกรองเดียวกันสามารถนำไปใช้กับสัญญาณที่ได้รับเพื่อปรับปรุงอัตราส่วนสัญญาณต่อเสียง (SNR) โดยไม่ทำให้เกิดสัญลักษณ์ระหว่าง - การรบกวน (ISI)

อย่างไรก็ตามหากใช้ตัวกรองที่เหมาะสมน้อยที่สุดในการกำหนดรูปร่างของสัญญาณจากนั้นการใช้ตัวกรองเดียวกันที่ตัวรับสัญญาณสามารถแนะนำ ISI ไม่ชัดเจนในทันทีว่าตัวเลือกที่ดีที่สุดของตัวกรองในตอนท้ายของการรับคืออะไร

ความเข้าใจของฉันคือ SNR ถูกขยายให้ใหญ่สุดโดยการเพิ่มดังนั้นฉันจึงต้องการเพิ่มสิ่งนี้ในขณะที่ตอบสนองข้อ จำกัด ที่ตัวกรองทำให้ไม่มี ISI ( p ( x ) ∗ q ( x ) = 0สำหรับx = k T , kเป็นจำนวนเต็ม, Tคือความกว้างของสัญลักษณ์)$\int{p(x)q(x)dx}$$p(x)*q(x) = 0$$x=kT$$k$$T$

สันนิษฐานได้ว่าใครสามารถทำได้โดยการแก้สมการออยเลอร์ - ลากรองจ์กับตัวคูณลากรองจ์สำหรับข้อ จำกัด มีวิธีที่ง่ายขึ้นหรือฉันทำผิดหรือไปในทิศทางที่ผิดหรือไม่?

สำหรับกรณีของการมอดูเลตเชิงเส้นบนช่องสัญญาณ AWGN ที่มีสัญลักษณ์พร้อมอยู่ (กรณีทั่วไปมาก) วิธีการที่เหมาะสมที่สุดคือการใช้ฟิลเตอร์ที่ตรงกับรูปคลื่นของสัญลักษณ์อย่างแท้จริง:

$E_s$$-E_s$

พลังงานเสียงรบกวนที่เอาต์พุตของตัวกรองในระหว่างการสุ่มตัวอย่างทันทีนั้นไม่ได้ขึ้นอยู่กับรูปร่างของโดเมนเวลาของการตอบสนองต่อแรงกระตุ้นของฟิลเตอร์เพียงพลังงานรวมทั้งหมดของการตอบสนองต่อแรงกระตุ้น (ดังที่ระบุไว้ก่อนหน้านี้ ดังนั้นอัตราส่วนสัญญาณต่อสัญญาณรบกวนจะถูกขยายให้ใหญ่ที่สุดโดยการเพิ่มปริมาณพลังงานสัญญาณในเอาต์พุตของตัวกรองเมื่อทำการสุ่มตัวอย่างทันที โดยการเลือกตัวกรองตัวรับสัญญาณที่จะจับคู่กับรูปร่างสัญลักษณ์เราได้ทำเช่นนี้เนื่องจากรูปแบบของคลื่นสัญลักษณ์มีความสัมพันธ์สูงสุดกับการตอบสนองแรงกระตุ้นตัวกรองที่มีรูปร่างเหมือนกัน ดังนั้นตัวกรองที่ตรงกันจะให้ SNR สูงสุดสำหรับกรณีช่อง AWGN

ด้วยมือที่โบกมือออกไปให้พ้นทาง (คุณสามารถไปได้ด้วยความแม่นยำทางคณิตศาสตร์มากขึ้น แต่ฉันเป็นวิศวกรและนี่คือบริการฟรีถ้าคุณต้องการขุดลงไปในรายละเอียดตรวจสอบทฤษฎีการสื่อสารแบบดิจิตอล ข้อความ) คุณอาจกำลังคิดว่าฉันลืมว่าคุณถามเกี่ยวกับกรณี ISI ที่ไม่เหมาะ อย่ากลัวเลยสำหรับฉันยืนยันว่าถ้าคุณรู้รูปร่างของคลื่นชีพจรที่ผ่านการกรองสัญญาณที่ตรงกันยังคงเป็นตัวเลือกที่เหมาะสมที่สุดสำหรับช่อง AWGN

$p(x)$$q(x)$

แน่นอนว่าโดยทั่วไปคุณไม่รู้ด้วยความมั่นใจว่าสัญลักษณ์สองสามตัวก่อนหน้าคืออะไร ถ้าคุณทำเช่นนั้นคุณอาจจะมี SNR มากพอที่จะทำให้ ISI ของคุณถูกทอดทิ้ง ในกรณีที่น่าสนใจกว่านี้คุณไม่สามารถทำการสันนิษฐานได้ แต่จะใช้วิธีการตรวจหาลำดับความเป็นไปได้สูงสุดโดยใช้อัลกอริทึม Viterbi แทน กระบวนการนี้เรียกว่าการทำให้เท่าเทียม Viterbiเพราะในแบบจำลองนี้คุณปฏิบัติต่อ ISI ที่เกิดจากรูปร่างของชีพจรเช่นรหัส convolutional ที่อ่อนนุ่มที่ใช้กับรูปคลื่นการส่งของคุณ ระยะเวลาของ ISI ในตัวปรับแต่งเสียง Viterbi กำหนดจำนวนสถานะอัลกอริทึมที่ต้องการซึ่งคล้ายกับความยาวข้อ จำกัด ในรหัส convolutional

วิธีการนี้มักใช้ในระบบที่มีรูปร่างพัลส์ที่ไม่เหมาะสมซึ่งคุณสังเกตเห็น ตัวอย่างหนึ่งที่น่าสังเกตคือ GSM (ซึ่งใช้รูปทรงพัลส์แบบเกาส์เซียนที่ขยายข้ามสัญลักษณ์หลายช่วง) การอ้างอิงที่ยอดเยี่ยมเกี่ยวกับหัวข้อนี้ถูกเผยแพร่โดย Sklar ในปี 2003:

B. Sklar,“ ฉันเรียนรู้ที่จะรักโครงสร้างบังตาที่เป็นช่องบังตาได้อย่างไร”, นิตยสารประมวลผลสัญญาณ IEEE, หน้า 87-102, พฤษภาคม, 2003