การปรับปรุง SNR โดยใช้เทคนิค DSP

ฉันกำลังสร้างระบบ OOK แบบออพติคอล (เปิดปิดพวงกุญแจ) โดยไม่มีความถี่ของผู้ให้บริการ [อย่างไรก็ตามฉันมีเวลาเฝ้าระวังระหว่างสัญลักษณ์ดังนั้นข้อความ "1" ต่อเนื่องจะส่งผลให้มีการรถไฟชีพจรตรงข้ามกับ DC ดูภาพ] โดยพื้นฐานแล้วการปรากฏตัวของสัญญาณบ่งชี้หนึ่งและขาดมันบ่งบอกถึงศูนย์ ฉันมีนาฬิกาที่แม่นยำที่ซิงค์เครื่องรับกับเครื่องส่งสัญญาณ ระบบทำงานด้วย SNR ต่ำและฉันต้องการปรับปรุง SNR โดยใช้เทคนิค DSP

ฉันมีคำถามสองสามข้อ:

ฉันเลือกสุ่มตัวอย่างในฮาร์ดแวร์ของฉันในคำอื่น ๆ ฉันไม่ได้ตัวอย่างช่องอย่างต่อเนื่อง แต่ตัวอย่างเฉพาะเมื่อความน่าจะเป็นที่จะเห็นสัญญาณสูงสุด (เช่นนี่คือชีพจรแสงฉันเวลา ADC เช่น ADC ตัวอย่างในตอนท้าย ของพัลส์ที่ฉันรู้ว่าโซ่อะนาล็อกทั้งหมดมีความเสถียร) ดูภาพ

ตามธรรมชาติแล้วภาพวาดนี้ไม่แสดงเสียงรบกวน แต่มีอยู่ โดยเฉพาะอย่างยิ่งระบบสัญญาณต่ำและแหล่งกำเนิดเสียงรบกวนหลักคือเสียงรบกวนการถ่ายภาพเสียงรบกวนของจอห์นสันและสัญญาณรบกวนภายในเครื่องขยายเสียง (ระบบออพติคอลดังนั้นจึงไม่มีผู้รบกวนคนอื่นยกเว้นซัน) เสียงจากการสังเกตของฉันบ่งบอกว่ามันคล้ายกันในทุกความถี่ (อย่างน้อยสิ่งที่ฉันเห็นในขอบเขต)

ตอนนี้ฉันใช้การเปรียบเทียบเกณฑ์ง่าย ๆ ในซอฟต์แวร์เพื่อตรวจสอบว่าข้อมูลเป็นหนึ่งหรือศูนย์ มีวิธีที่ดีกว่า? ฉันคิดว่ามีตัวเลือกบางอย่าง แต่ฉันชอบที่จะได้ยินจากผู้เชี่ยวชาญ

จนถึงตอนนี้ฉันได้พิจารณาตัวเลือกต่อไปนี้:

• ทำ ADC อย่างต่อเนื่องและพยายามรวมในช่วงเวลาที่เพิ่มขึ้น: ไม่แน่ใจในผลประโยชน์ทั้งหมด (อาจมีประโยชน์อื่น ๆ ฉันไม่รู้)

• ตัวกรองที่จับคู่ในซอฟต์แวร์: ไม่เข้าใจคณิตศาสตร์ แต่ขึ้นอยู่กับสิ่งที่ฉันอ่านความเป็นไปได้

• ตัวอย่างในช่วงเวลาป้องกันและลบสิ่งนี้ออกจากค่าสัญญาณ ADC (ซึ่งอาจให้รายละเอียดเพิ่มเติมบางอย่าง แต่ก็ไม่แน่ใจเช่นนั้นเวลาป้องกันจะเป็นการวัดสัญญาณรบกวน)

• เปลี่ยนฮาร์ดแวร์เป็นตัวถอดรหัสแบบซิงโครนัสราคาแพงใช้เวลานานและอาจไม่ทำงานได้ดีเนื่องจากอัตราข้อมูลของฉันเร็วและการรับ demodulator แบบซิงโครนัสจะหมายถึงบอร์ดราคาแพงเนื่องจากฉันต้องสร้างระบบความถี่พาหะหลายตัว

เนื่องจากคุณชี้ให้เห็นว่าคลื่นไฟฟ้าของเสียงพื้นหลังของคุณจะแบนผมจะถือว่าเป็นสีขาว ข้อเสียเปรียบที่สำคัญของวิธีการในปัจจุบันของคุณคือคุณกำลังทิ้งสัญญาณจำนวนมาก แม้จะมีเอฟเฟกต์ของการรบกวนคลื่นความถี่ด้านหน้าที่แสดงโดยในไดอะแกรมของคุณโดยการตอบสนองแบบเพิ่มขึ้นแบบทวีคูณตัวอย่าง ADC เดียวใกล้กับปลายชีพจรโค้งมนจะให้ภาพรวมของอินพุตอินพุตที่ค่อนข้าง จำกัด ในเวลา คุณสามารถใช้ประโยชน์จากพลังงานสัญญาณได้มากขึ้นโดยการสุ่มตัวอย่างในอัตราที่สูงขึ้นและใช้ตัวกรองที่ตรงกันในอัตราตัวอย่างที่สูงขึ้น

ทฤษฎี:

คุณสามารถดูนี้เป็นปัญหาที่ค่อนข้างง่ายในทฤษฎีการตรวจสอบ ในแต่ละช่วงเวลาสัญลักษณ์ผู้รับของคุณจำเป็นต้องตัดสินใจระหว่างสมมติฐานสองข้อ:

$$\begin{eqnarray*} H_0 &:& signal \ is \ not \ present \\ H_1 &:& signal \ is \ present \end{eqnarray*}$$

ปัญหาประเภทนี้มักได้รับการแก้ไขโดยใช้กฎการตัดสินใจแบบเบย์ซึ่งพยายามทำการตัดสินใจที่เหมาะสมที่สุดตามมาตรการความเสี่ยงที่ระบุ นี่เป็นกรอบที่หนึ่งสามารถทำการตัดสินใจตรวจจับได้อย่างเหมาะสมที่สุดตามชุดของเกณฑ์ที่ยืดหยุ่น ตัวอย่างเช่นหากระบบของคุณมีบทลงโทษอย่างมากหากไม่สามารถตรวจจับสัญญาณได้หากมีอยู่จริง(เช่นคุณเลือกเมื่อH 1เป็นจริง) จากนั้นคุณสามารถสร้างสิ่งนั้นในกฎการตัดสินใจของคุณหากจำเป็น$H_0$$H_1$

สำหรับปัญหาการตรวจจับเช่นคุณที่คุณกำลังพยายามตัดสินใจระหว่างศูนย์กับศูนย์รับเอาท์พุทโดยทั่วไปแล้วการลงโทษจะถือว่าเท่ากัน (เอาท์พุทเป็นศูนย์เมื่อมีการส่งสัญญาณหนึ่งและในทางกลับกัน "เจ็บเท่ากัน" ) วิธีการแบบเบย์ในกรณีนั้นจะลดลงเป็นตัวประมาณความน่าจะเป็นสูงสุด (อธิบายไว้ที่นี่ด้วย ): คุณเลือกสมมติฐานที่น่าจะเป็นไปได้มากที่สุดเนื่องจากการสังเกตที่ผู้รับของคุณทำ นั่นคือถ้าปริมาณที่ผู้รับของคุณสังเกตเห็นคือมันจะสร้างการตัดสินใจตามสมมติฐานที่มีค่าฟังก์ชันโอกาสที่ใหญ่ที่สุด สำหรับกรณีการตัดสินใจแบบไบนารีสามารถใช้อัตราส่วนความน่าจะเป็นแทน:$x$

$$\Lambda(x) = \frac{P(x\ |\ H_0 \ is \ true)}{P(x\ |\ H_1 \ is \ true)} = \frac{P(x\ |\ signal \ is \ not \ present)}{P(x\ |\ signal \ is \ present)}$$

การใช้แบบจำลองด้านบนสำหรับการสำรวจช่องแต่ละครั้งตัวรับสัญญาณที่ดีที่สุดจะตัดสินว่าสัญญาณไม่ปรากฏ (ดังนั้นจึงส่งออกเป็นศูนย์) หากอัตราส่วนความน่าจะเป็นΛ ( x )มากกว่าหนึ่ง (และสัญญาณนั้นน่าจะเป็นมากที่สุด จะไม่ปรากฏตามข้อสังเกต) และในทางกลับกัน$x$$\Lambda(x)$

สิ่งที่เหลืออยู่คือแบบจำลองสำหรับสัญญาณที่น่าสนใจและส่วนประกอบอื่น ๆ ในสถิติการตรวจจับตัวรับสัญญาณที่อาจส่งผลต่อการตัดสินใจ สำหรับการสื่อสารแบบดิจิตอลเช่นนี้อาจมีรูปแบบดังนี้:$x$

$$\begin{eqnarray*} H_0 &:& x = N \\ H_1 &:& x = s + N \end{eqnarray*}$$

โดยที่เป็นตัวแปรสุ่มที่นำมาจากการแจกแจงบางอย่าง (มักสันนิษฐานว่าเป็นเกาส์แบบ zero-Mean) และsเป็นองค์ประกอบที่กำหนดค่าได้ของการสังเกตที่เกิดจากสัญญาณที่คุณกำลังมองหา การกระจายของผู้รับที่สังเกตได้xจึงแตกต่างกันไปขึ้นอยู่กับว่าสมมติฐานH 0หรือH 1เป็นจริงหรือไม่ ในการประเมินอัตราส่วนความน่าจะเป็นคุณต้องมีแบบจำลองสำหรับการแจกแจงเหล่านั้น สำหรับกรณีเกาส์ที่อ้างถึงข้างต้นคณิตศาสตร์มีลักษณะดังนี้:$n$$s$$x$$H_0$$H_1$

$$\Lambda(x) = \frac{P(x\ |\ H_0 \ is \ true)}{P(x\ |\ H_1 \ is \ true)} = \frac{P(x\ |\ x = N)}{P(x\ |\ x = s + N)}$$

$$\Lambda(x) = \frac{P(x\ |\ H_0 \ is \ true)}{P(x\ |\ H_1 \ is \ true)} = \frac{e^{\frac{-x^2}{2 \sigma^2}}}{e^{\frac{-(x - s)^2}{2 \sigma^2}}}$$

where $\sigma^2$ is the variance of the Gaussian noise term. Note that the additive signal component only has the function of shifting the mean of the resulting Gaussian distribution of $x$. The log-likelihood ratio can be used to get rid of the exponentials:

$$\ln(\Lambda(x)) = \ln\left(\frac{e^{\frac{-x^2}{2 \sigma^2}}}{e^{\frac{-(x - s)^2}{2 \sigma^2}}}\right) = \left(\frac{-x^2}{2 \sigma^2}\right) - \left(\frac{-(x - s)^2}{2 \sigma^2}\right)$$

Recall that our decision rule picked $H_0$ if the likelihood ratio was greater than one. The equivalent log-likelihood decision rule is to pick $H_0$ if the log-likelihood is greater than zero. Some algebra shows that the decision rule reduces to:

$$\begin{eqnarray*} x < \frac{s}{2} \rightarrow choose\ H_0 \\ x > \frac{s}{2} \rightarrow choose\ H_1 \end{eqnarray*}$$

Note that if $x = \frac{s}{2}$, then both hypotheses are equally likely, and you would need to just pick one; this isn't a practical concern for continuously-valued signals, however. So, given a known signal amplitude $s$, we can detect its presence against a background of Gaussian noise optimally by setting a threshold $T = \frac{s}{2}$; if the observed value $x$ is greater than $T$, we declare the signal present and emit a one, and vice versa.

Practice:

There are a few practical issues that creep into this simple, toy theoretical example. One: just mapping the scenario that you described into a deceptively simple-looking model might not seem straightforward. Secondly, it's very rare that you would know the amplitude $s$ of the signal that you're looking for, so threshold selection requires some thought.

As I referenced before, noise is often assumed to be Gaussian because the normal distribution is so easy to work with: the sum of a bunch of independent Gaussians is still Gaussian, and their mean and variances just add also. Also, the first- and second-order statistics of the distribution are enough to completely characterize them (given the mean and variance of a Gaussian distribution, you can write its pdf). So, hopefully that's a decent approximation at least for your application.

There are two ways to improve the performance of the detector given the model described above: you can increase $s$ (i.e. increase the signal power), making it stand out more against the noise. You could decrease $N$ (i.e. reduce the amount of noise), reducing the amount of interference that makes the presence of $s$ unclear. Or, equivalently, you can think of the signal to noise ratio instead. To see its importance, let's go back to the theory for a second. What is the probability of a bit error given our decision rule?

$$\begin{eqnarray*} P_e &=& P(choose \ H_0 \ |\ H_1\ true) P(H_1\ true) + P(choose \ H_1 \ |\ H_0\ true) P(H_0\ true) \\ &=& \frac{1}{2} P(x < \frac{s}{2} \ |\ x = s + N) + \frac{1}{2} P(x > \frac{s}{2} \ |\ x = N) \\ &=& \frac{1}{2} F_{x\ |\ x = s + N}\left(\frac{s}{2}\right) + \frac{1}{2} \left(1 - F_{x\ |\ x = N}\left(\frac{s}{2}\right)\right) \end{eqnarray*}$$

where $F_{x\ |\ x = s + N}(z)$ is the cumulative distribution function of the distribution of the observation $x$, given that $x = s + N$ (and likewise for the other function). Substituting in the cdf for the Gaussian distribution, we get:

$$\begin{eqnarray*} P_e &=& \frac{1}{2} \left(1 - Q\left(\frac{\frac{s}{2} - s}{\sigma}\right)\right) + \frac{1}{2} Q\left(\frac{\frac{s}{2}}{\sigma}\right) \\ &=& \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \left(-Q\left(\frac{\frac{s}{2} - s}{\sigma}\right) + Q\left(\frac{\frac{s}{2}}{\sigma}\right)\right) \\ &=& \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \left(-Q\left(\frac{-s}{2\sigma}\right) + Q\left(\frac{s}{2\sigma}\right)\right) \\ &=& \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \left(-Q\left(\frac{-SNR}{2}\right) + Q\left(\frac{SNR}{2}\right)\right) \\ &=& Q\left(\frac{SNR}{2}\right) \end{eqnarray*}$$

where $Q(x)$ is the Q function:

$$Q(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{x}^{\infty} e^{\frac{-z^2}{2}} dz$$

(i.e. the tail integral of the standard normal distribution's pdf, or $1$ minus the distribution's cdf) and $SNR$ is the signal-to-noise ratio $\frac{s}{\sigma}$. The above function is a strictly decreasing function of $SNR$; as you increase the ratio of the signal amplitude $s$ to the noise standard deviation $\sigma$, the probability of making a bit decision error decreases. So, it behooves you to do whatever you can to increase this ratio.

Remember our assumption that the noise was white and Gaussian? That can help us now. If the noise is white and Gaussian, then the noise components contained in each observation are jointly independent of one another. An important property of independent random variables is that when you sum them together, their means and variances sum. So, let's consider another simple case, where instead of taking one sample per symbol interval, you take two, then sum them together. I'll assume for simplicity that the pulse shape is rectangular (not an exponential rise), so the signal component $s$ in each observation $x_1$ and $x_2$ is the same. What is the difference in signal to noise ratio between just a single observation $x_1$ and the sum of two independent ones?

$$SNR_1 = \frac{s}{\sigma}$$

$$SNR_2 = \frac{2s}{\sqrt{2 \sigma}} = \sqrt{2}SNR_1$$

So, the signal to noise ratio in the combined observation is larger than using only a single sample (under the assumption of equal signal component and equal-variance white Gaussian noise in both samples that we took). This is a basic observation that points out the potential benefits of taking more than one sample per symbol interval and integrating them together (which, for a rectangular pulse, is a matched filter). In general, you want to cover the entire symbol interval with samples so that your receiver "ingests" as much of the transmitted energy for each symbol, thus maximizing the SNR in the combined output. The ratio of symbol energy to the background noise variance $\frac{E_s}{N_0}$ is often used as a figure of merit when evaluating digital communications system performance.

More rigorously, it can be shown that a matched filter has an impulse response that is identical in shape (that is, "matched", with the only subtle exception being that the impulse response is reversed in time) to the pulse shape that the receiver sees (so it weights more strongly samples that have larger signal components). That shape is a function of the transmitted pulse shape as well as any effects induced by the channel or receiver front end, such as bandlimiting or multipath.

To implement this sort of arrangement in practice, you would convolve the stream of samples taken by your ADC with the time-reversed expected pulse shape. This has the effect of calculating the cross-correlation between the pulse shape and the received signal for all possible time offsets. Your implementation is aided by the precise time synchronization that you have available, so you'll know exactly which matched filter output samples correspond to correct sampling instants. The filter outputs at those times are used as the detection statistic $x$ in the theoretical model above.

I referred to threshold selection before, which can be a complicated topic, and there are many different ways that you can choose one, depending upon your system's structure. Selecting a threshold for an on-off-keyed system is complicated by the likely-unknown signal amplitude $s$; other signal constellations, like antipodal signaling (e.g. binary phase shift keying, or BPSK) have a more obvious threshold choice (for BPSK, the best threshold is zero for equally-likely data).

One simple implementation of a threshold selector for OOK might calculate the mean of many observations. Assuming that zeros and ones are equally likely, the expected value of the resulting random variable is half of the signal amplitude, which is the threshold that you seek. Performing this operation over a sliding window can allow you to be somewhat adaptive to varying background conditions.

Note that this is only intended to be a high-level introduction to the issues inherent in digital communications with respect to detection theory. It can be a very complicated topic, with a lot of statistics involved; I tried to make it somewhat easy to understand while keeping true to the underlying theory. For a better explanation, go get a good textbook, like Sklar's.

One possible technique might be to try using periodic training sequences to gather statistics, not only to differentiate between the 1's and 0's, or to calculate a reliability metric for any given threshold, but to analyze how various bit sequences might affect an adaptive bit decision threshold.