STFT และ DWT (เวฟเล็ต)

STFT สามารถใช้กับข้อมูลเสียงได้สำเร็จ (พร้อมด้วยไฟล์. wav soundfile) เพื่อทำการปรับเปลี่ยนโดเมนความถี่บางอย่าง (ตัวอย่าง: กำจัดเสียงรบกวน)
ด้วยN=441000(เช่น 10 วินาทีในอัตราการสุ่มตัวอย่างfs=44100) windowsize=4096, overlap=4, STFT ผลิต approximatively 430x4096อาร์เรย์ (ตอนแรกประสานงาน: กรอบเวลาสองประสานงานความถี่ bin) การแก้ไขสามารถทำได้ในอาเรย์นี้และการสร้างใหม่สามารถทำได้ด้วยoverlap-add (*)

มันเป็นวิธีการที่เป็นไปได้ที่จะทำสิ่งที่คล้ายกันกับแสง ? (DWT) คือรับรูปร่างที่คล้ายกันa x bโดยมีaกรอบเวลาและbถังขยะความถี่ทำการปรับเปลี่ยนบางอย่างในอาเรย์นี้และในตอนท้ายการกู้คืนสัญญาณหรือไม่ ได้อย่างไร เวฟเล็ตเทียบเท่ากับการทับซ้อนกันคืออะไร ฟังก์ชั่น Python เกี่ยวข้องกับอะไร (ฉันไม่พบตัวอย่างง่ายๆของการดัดแปลงเสียงด้วยpyWavelets... )?

(*): นี่คือกรอบ STFT ที่สามารถใช้ได้:

signal = stft.Stft(x, 4096, 4)    # x is the input
modified_signal = np.zeros(signal.shape, dtype=np.complex)

for i in xrange(signal.shape[0]):    # Process each STFT frame
    modified_signal[i, :] =  signal[i, :] * .....  # here do something in order to
                                                   # modify the signal in frequency domain !
y = stft.OverlapAdd(modified_signal, 4)   # y is the output

เป้าหมายคือการหากรอบคล้ายกับเวฟเล็ต

— Basj
แหล่งที่มา

ความคิดเห็นด้านข้าง: การทำ"การกรอง" แบบนั้นบน STFT เป็นความคิดที่แย่จริงๆ ไม่ใช่วิธีที่ยอดเยี่ยมในการทำสิ่งต่าง ๆ ที่คุณต้องการทำ คุณพยายามทำอะไรให้สำเร็จ

— Peter K.

โปรดทราบว่า PyWavelets ใช้สำหรับการแปลงเวฟเล็ตโดยสิ้นเชิง หากคุณต้องการทำสิ่งที่เหมือน STFT คุณจะเข้าใจการแปลงเวฟเล็ตอย่างต่อเนื่องเช่นการแปลง Q อย่างต่อเนื่องซึ่งเป็นการแปลง Gabor ซึ่งเป็นสิ่งเดียวกับการแปลงเวฟเล็ต Morlet ต่อเนื่องที่ซับซ้อนแต่ถูกออกแบบมาให้เป็น invertible: grrrr.org/research/software/nsgt

— endolith

(คำถามนี้ฟื้นขึ้นมาจาก "ชุมชน") ในความคิดของฉันเวฟเล็ตซ้อนทับและเพิ่มในลักษณะที่คล้ายกับ STFT มาก ดังนั้นฉันจึงไม่ค่อยเข้าใจธรรมชาติของคำถาม

— robert bristow-johnson

ต้องการรายละเอียดเพิ่มเติมหรือไม่

— Laurent Duval

คำตอบ:

การแปลงฟูริเยร์ในระยะเวลาอันสั้นโดยทั่วไปคือการแปลงซ้ำซ้อนซึ่งมักจะนำมาใช้กับการย่อยตัวอย่างเดียวกันในทุกความถี่ หากหน้าต่างได้รับการคัดเลือกเป็นอย่างดีหน้าต่างจะสมบูรณ์: คุณสามารถสลับกลับและกู้คืนสัญญาณเริ่มต้นได้

เนื่องจากมีความซ้ำซ้อนและครบถ้วนจึงมีผู้รุกรานที่สมบูรณ์แบบจำนวนมาก สามารถนำไปใช้และทำความเข้าใจได้โดยใช้เครื่องมือทั่วไปเพิ่มเติม: (มีขนาดใหญ่กว่า) ธนาคารตัวกรองที่ซับซ้อน ด้วยประเภทและความยาวของหน้าต่างบวกกับการทับซ้อนทำให้คุณมีตัวกรองการวิเคราะห์ที่คุณสามารถคำนวณได้ว่ามันกลับด้านหรือไม่ ถ้าเป็นเช่นนั้นคุณสามารถคำนวณผกผันตามธรรมชาติและเพิ่มประสิทธิภาพผกผันเช่นกัน การทับซ้อน - เพิ่มเป็นเพียงหนึ่งในผู้ที่มีศักยภาพจำนวนมากอาจเป็นคนที่พบบ่อยที่สุดซึ่งมักจะ จำกัด ตัวเลือกของหน้าต่าง

การแปลงเวฟเล็ตแบบไม่ต่อเนื่องมาตรฐานนั้นเป็นตัวกรองด้วยเช่นกันกับความแตกต่างที่การย่อยตัวอย่างจะไม่เหมือนกันในแต่ละย่านความถี่ สิ่งนี้เปลี่ยนเป็นความยาวไม่สม่ำเสมอสำหรับแต่ละเครื่องชั่ง ยังมีการใช้งานเวฟเล็ตซ้ำซ้อนที่ให้ผล "อาร์เรย์สี่เหลี่ยมผืนผ้า" ของค่าสัมประสิทธิ์ที่คุณสามารถทำงานได้ รูปแบบที่รู้จักกันดีที่สุดจะถูกเรียกภายใต้ชื่อต่าง ๆ : เวฟเล็ตแบบแปรผันหรือแบบไม่แปรผัน , เวฟที่ไม่แปรเปลี่ยน , การแปลงเวฟเล็ตแบบคงที่(SWT) และบางครั้งก็หมุนรอบ การสร้างมาตรฐานใหม่นั้นเกี่ยวข้องกับขั้นตอนที่คล้ายกับการทับซ้อนกันยกเว้นพวกมันจะ "ฝังตัว" มากกว่าเนื่องจากปัจจัยการสุ่มตัวอย่างที่แตกต่างจากเครื่องชั่ง คุณสามารถใช้มันกับเวฟเล็ตใด ๆ ที่ไม่ต่อเนื่องจากห้องสมุดหรือแม้กระทั่งโดยการออกแบบเวฟเล็ตของคุณเอง เหตุผลก็คือเวฟเล็ตที่ไม่ต่อเนื่องมาตรฐานได้รับการออกแบบโดยคำนึงถึงความไม่ซ้ำซ้อนซึ่ง จำกัด การเลือกของเวฟเล็ต ด้วยความซ้ำซ้อนคุณจะเพิ่มทางเลือกของเวฟเล็ตเนื่องจากข้อ จำกัด ในการเติมเต็มจะเข้มงวดน้อยลง "สุดยอด" อวตารคือการแปลงเวฟเล็ตอย่างต่อเนื่องซึ่งยอมรับว่า "เกือบ" เวฟเล็ตสังเคราะห์แบบผกผันทุกตัว ประโยคสุดท้ายของฉันค่อนข้างแย่ฉันหวังว่าคุณจะได้ความหมาย: เมื่อเมทริกซ์จตุรัสกลับด้านได้มันจะมีอินเวอร์สเดียวเท่านั้น เมื่อเมทริกซ์ "รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า" ถูกปล่อยให้กลับด้านในลักษณะทั่วไป

ดูเหมือนว่าจะมีการใช้งานหลามของการแปลงเวฟเล็ตแบบคงที่ คุณสามารถค้นหาข้อมูลอ้างอิงได้ใน2.3.4 คงแปลบทแสงของกระดาษที่เชื่อมโยง

โดยทั่วไปแล้วจะมีความทนทานมากขึ้นสำหรับการตรวจจับ denoising หรือการคืนค่าในการใช้งานจริง (ธรณีฟิสิกส์, การทดสอบแบบไม่ทำลาย, ultrasounds, การสั่นสะเทือน)

— Laurent Duval
แหล่งที่มา

"ความซ้ำซ้อน" หมายถึง "มีข้อมูลเพิ่มเติมในผลลัพธ์มากกว่าที่จำเป็นในการทำซ้ำอินพุต"?

— endolith

N

$N$

M > N

$M> N$

เหตุผลที่คุณต้องการเพิ่มการทับซ้อน / บันทึกทับซ้อนสำหรับการกรองด้วยการแปลงฟูริเยร์ในช่วงเวลาสั้น ๆ นั้นโดยทั่วไปแล้วฟังก์ชันพื้นฐานที่เกี่ยวข้องกับสัมประสิทธิ์ที่คุณได้รับนั้นจะถูกกำหนดในช่วงเวลาหนึ่ง การแปลงฟูริเยร์ที่คุณใช้ในการคำนวณค่าสัมประสิทธิ์การขยายตัวยังดำเนินการสังวัตนาในโดเมนวงกลมที่กำหนดโดยความยาวกรอบสัญญาณของคุณ นั่นหมายความว่าจุดสิ้นสุดสองจุดของเฟรมจะถูกระบุและปิดเป็นวงกลมจริงๆ นั่นคือเหตุผลที่คุณต้องตรวจสอบให้แน่ใจว่าฟังก์ชั่นพื้นฐานของสัมประสิทธิ์ที่คุณแก้ไขนั้นไม่มีผลกระทบต่อทั้งสองด้านของเฟรมโดยการพัน

เวฟเล็ตไม่ใช่การแปลเวลาหรือการคำนวณโดยใช้การบิดแบบวงกลม ซึ่งหมายความว่าคุณไม่จำเป็นต้องเพิ่มหรือบันทึกทับซ้อนหรือวิธีอื่นใดที่จัดการกับผลข้างเคียงของการวนแบบวงกลม เวกเตอร์พื้นฐานของเวฟเล็ตเป็นเพียงพื้นฐานที่เป็นไปได้ในการอธิบายสัญญาณของคุณ การแปลงเวฟเล็ต (สมบูรณ์ไม่ต่อเนื่องอาจเป็นมุมฉาก) จึงไม่มีอะไรนอกจากการเปลี่ยนแปลงพื้นฐานจากพื้นฐานโดเมนเวลาเป็นพื้นฐานโดเมนเวฟเล็ต การเปลี่ยนแปลงพื้นฐานสามารถกลับด้านได้ (โดยใช้การผกผันของเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลงพื้นฐานที่นำมาให้คุณที่นั่น) และคุณสามารถเปลี่ยนกลับเป็นโดเมนเวลาได้

พารามิเตอร์ที่คุณให้เป็นขนาดของหน้าต่างการทับซ้อนอัตราการสุ่มตัวอย่างทั้งหมดไม่สามารถใช้ได้กับการแปลงเวฟเล็ต สิ่งเดียวที่คุณต้องการคือเวฟเล็ตแม่ หากคุณต้องการเปรียบเทียบผลลัพธ์กับเอาต์พุต STFT ของคุณคุณสามารถเลือกเวกเตอร์พื้นฐาน STFT ใด ๆ (เช่นหน้าต่างของคุณคูณด้วยตัวส่งสัญญาณเอ็กซ์โปเนนเชียลที่ซับซ้อน) เป็นต้นแบบเวฟเล็ต จากนั้นคุณใช้การแปลงเวฟเล็ตอย่างรวดเร็วซึ่งจะสลายสัญญาณของคุณให้เป็นต้นไม้ที่มีสัญญาณกรองและทำลายความถี่ต่ำและสูงซึ่งจะกลายเป็นค่าสัมประสิทธิ์ของคุณในที่สุด สัมประสิทธิ์แต่ละตัวจะสัมพันธ์กับเวกเตอร์พื้นฐานเวฟเล็ตและพารามิเตอร์ (มาตราส่วน, เวลา) หรือ (ความถี่, เวลา) คุณสามารถจัดการค่าสัมประสิทธิ์แล้วใช้การแปลงเวฟเล็ตโดยสิ้นเชิงผกผัน มันจะใช้ค่าสัมประสิทธิ์ของคุณและเรียกใช้ผ่านธนาคารตัวกรองการสังเคราะห์ใหม่เพื่อสร้างสัญญาณอีกครั้ง

กระบวนการเหล่านี้ไม่สำคัญและอาจย่อยยากสำหรับผู้เริ่มต้น แต่คุณควรจะสามารถค้นหาไลบรารี่ / กล่องเครื่องมือสำหรับแพลตฟอร์มที่คุณเลือกซึ่งใช้การแปลงเวฟเล็ตที่รวดเร็วและผกผันของมัน อย่างไรก็ตามหากคุณต้องการที่จะเข้าใจพื้นฐานเวฟเล็ตของคุณเองคุณจะต้องได้รับสัมประสิทธิ์ตัวกรองสำหรับการแยกตัวและการสังเคราะห์ตัวกรองธนาคาร นั่นต้องมีทฤษฎีที่ลึกซึ้งและคุณอาจต้องศึกษาก่อน

มีรสชาติอื่น ๆ ของการแปลงเวฟเล็ตคือการแปลงเวฟเล็ตอย่างต่อเนื่องซึ่งทำงานร่วมกับพื้นฐานที่ไม่สมบูรณ์ การคำนวณและการสลับกลับทำได้ช้ากว่ามากดังนั้นจึงยังไม่มีตัวเลือกสำหรับสิ่งที่คุณต้องการทำ

— Jazzmaniac
แหล่งที่มา

ขอบคุณสำหรับคำตอบ. เหตุผลหลักที่ฉันพยายามที่จะมีกรอบรหัสคือฉันได้สังเกตเห็นเสมอ (ตั้งแต่วัยเด็กของฉันถึงไม่กี่ปีที่ผ่านมาเมื่อฉันจบปริญญาเอกของฉัน (ไม่เกี่ยวข้องกับ DSP แน่นอนถ้าฉันจะไม่ถาม ดังนั้นคำถามเกี่ยวกับมือใหม่ที่นี่!)) คือการจัดการเนื้อหาในชีวิตจริง (ตัวอย่างเช่นสัญญาณเสียงใน DSP) ช่วยให้เข้าใจทฤษฎีที่ลึกซึ้งได้อย่างมาก Audio sound -> Wavelet transform -> (do something on the array) -> Inversion -> Audio outputสิ่งที่ผมอยากจะรหัสคือ: ด้วยจำนวนมาก (ทำบางอย่างในอาร์เรย์) ฉันแน่ใจว่าฉันจะเข้าใจอีกเล็กน้อยเกี่ยวกับวิธีการทำงานของเวฟเล็ต

— Basj

@Basj แล้วทำตามที่ฉันพูด ค้นหาห้องสมุดไพ ธ อนที่รองรับทั้งการแปลงเวฟเล็ตอย่างรวดเร็วและผกผันของมันแล้วเล่นกับทรีสัมประสิทธิ์ที่สร้างขึ้น ขอให้โชคดีและสนุก!

— Jazzmaniac

"ไม่สามารถใช้ได้กับการแปลงเวฟเล็ต" มันใช้ได้กับ CWT ใช่มั้ย

— endolith

การกำหนดเวฟเล็ตมีหลายวิธี โดยทั่วไปเวฟเล็ตจะมีลักษณะดังนี้:

w_{x_{0}, k_{0}} (x) = A \exp (i k_{0} x) e (k_{0} (x - x_{0}))

$w_{x_0,k_0}(x) = A\exp(ik_0x)e(k_0(x-x_0))$

$x_0$ $k_0$ $e$ $A$ $k$

$(x_0,k_0)$ $(x_0,k_0)$

เนื่องจากขนาดของข้อมูลที่แปลงแล้วมีค่ามากกว่าของสัญญาณพื้นฐานของเวฟเล็ตจึงไม่เป็นแบบออโธเทนนิมอล เช่นต่อไปนี้จะเป็นเท็จ:

⟨ w_{k_{0}, x_{0}} | w_{k_{0}^{'}, x_{0}^{'}} ⟩ = δ (x_{0}, x_{0}^{'}) δ (k_{0}, k_{0}^{'})

$\left\langle w_{k_0, x_0} | w_{k_0',x_0'} \right\rangle = \delta(x_0,x_0')\delta(k_0,k_0')$

$A$ $w$

\sum_{x_{0}, k_{0}} | w_{x_{0}, k_{0}} ⟩ \frac{1}{\sqrt{k_{0}}} ⟨ w_{x_{0}, k_{0}} | = identity

$\sum_{x_0,k_0} \left| w_{x_0,k_0} \right\rangle \frac{1}{\sqrt{k_0}} \left\langle w_{x_0,k_0} \right| = \text{identity}$

กล่าวอีกนัยหนึ่งคุณสามารถสร้างสัญญาณใหม่ได้อย่างสมบูรณ์แบบเพียงแค่เพิ่มองค์ประกอบเวฟเล็ต

"การปรับเปลี่ยน" ของคุณสามารถแทรกในผลรวมข้างต้น:

my_filter = \sum_{x_{0}, k_{0}} | w_{x_{0}, k_{0}} ⟩ f (x_{0}, k_{0}) ⟨ w_{x_{0}, k_{0}} |

$\text{my_filter} = \sum_{x_0,k_0} \left| w_{x_0,k_0} \right\rangle f(x_0,k_0) \left\langle w_{x_0,k_0} \right|$

อัปเดต 2013-11-19: การเพิ่มรายละเอียดการใช้งานด้านล่างตามที่ร้องขอ

$f(x)$

c_{x_{0}, k_{0}} = ⟨ w_{x_{0}, k_{0}} | f ⟩

$c_{x_0,k_0} = \left\langle w_{x_0,k_0} | f \right\rangle$

$k_0$ $c{x_0,k_0}$ $x_0$ $f$ $f$ $w_{0,k_0}$ $c_{x_0,k_0}$

$f$ $\hat f$
- $\hat f$ $\hat w_{0,k_0}$
- $[k_l,k_r)$ $\hat w_{0,k_0}$
- ใช้การแปลงฟูริเยร์ผกผันกับสิ่งนั้น
- $exp(ix\frac{k_l+k_r}{2})$ $c_{x_0,k_0}$ $x_0$

$k_0$ $x_0$ $w_{0,k_0}$ $k_0$ $k_0$

$c_{x_0,k_0}$ $k_0$

การตัดทอนสเปกตรัมในบางครั้งจะนำปัญหาการทำให้เป็นมาตรฐานกลับคืนมาขึ้นอยู่กับการกำหนด FFT ของคุณอย่างแม่นยำ ฉันจะไม่พยายามปกปิดความเป็นไปได้ทั้งหมดที่นี่ การทำให้เป็นมาตรฐานนั้นเป็นปัญหาที่ง่าย ;-)

$\hat w_{x_0,k_0}(k)$ $w_{x_0,k_0}(x)$

{\hat{w}}_{x 0, k 0} = A e x p (- i (k - k_{0}) x_{0}) e x p (- (Q l o g (k / k_{0}))^{2})

$\hat w_{x0,k0} = A exp(-i(k-k_0)x_0) exp(-(Q log(k/k_0))^2)$

$Q$ $A$ $k_0$

— apt1002
แหล่งที่มา

ขอบคุณสำหรับการระลึกถึงประเด็นสำคัญเหล่านี้เกี่ยวกับทฤษฎีเวฟเล็ตซึ่งจำเป็นอย่างยิ่งที่จะต้องเข้าใจว่ามันทำงานอย่างไร แต่ที่นี่คำถามจะเพิ่มเติมเกี่ยวกับการสร้างรหัสกรอบงานที่จะทำงานกับสัญญาณเสียงเช่น คำถามคือ: วิธีการจัดการกับผลรวมอนันต์เหล่านี้, วิธีเลือก windows (หรือเวฟเล็ตแม่ ), วิธีการใช้ pyWavelets ใน Python (หรือภาษาอื่นเทียบเท่า, ฉันจะแปลเป็น Python แล้ว), วิธีการ เลือกพารามิเตอร์ (เหมือนในตัวอย่างของฉันสำหรับเสียง: อัตราการสุ่มตัวอย่าง = 44100 หน้าต่าง FFT = 4096 ทับซ้อน = 4 ฯลฯ )

— Basj

a_{k}

$a_k$

\sum_{k} | k ⟩ a_{k} ⟨ k | = I d

$\sum_k \left| k \rangle a_k \langle k \right| = \mathrm{Id}$

K

$K$

a_{k}

$a_k$

a_{k}

$a_k$

f

$f$

วิธีที่ดีที่สุดในการดูว่ามันใช้งานได้หรือไม่จะให้ตัวอย่างรหัสที่น้อยที่สุด (ด้วย pyWavelet เช่นควรเป็นไปได้ในไม่กี่บรรทัดที่ฉันจินตนาการ) (ฉันจะทำมันได้ดีเมื่อฉันเข้าใจฉันคิดว่าฉัน ต้องการอีกสองสามวันในการอ่านเกี่ยวกับเวฟเล็ต!)

— Basj