“ ช่วงเวลาแห่งสเปกตรัม” มีความหมายอย่างไร?

10

ฉันได้ปรึกษาออราเคิลอันยิ่งใหญ่ของ google และ wiki แต่ฉันไม่สามารถหาคำจำกัดความของวลี "ช่วงเวลาแห่งสเปกตรัม" ได้

ข้อความงานแบบดั้งเดิมที่ฉันกำลังอ่านใช้ในลักษณะต่อไปนี้โดยกำหนดจำนวนการข้ามศูนย์ต่อเวลาหนึ่งหน่วยดังต่อไปนี้:

N_{0} = \frac{1}{π} {(\frac{m_{2}}{m_{0}})}^{1 / 2}

$N_0 = \frac1{\pi} \left(\frac{m_2}{m_0}\right)^{1/2}$

จากนั้นจะดำเนินการเพื่อกำหนดจำนวน extrema ต่อหน่วยเวลาตามที่กำหนดโดย:

N_{e} = \frac{1}{π} {(\frac{m_{4}}{m_{2}})}^{1 / 2}

$N_e = \frac{1}{\pi}\left(\frac{m_4}{m_2}\right)^{1/2}$

ในที่สุดมันก็บอกว่า "คือช่วงเวลาที่อยู่ในสเปกตรัม" $m_i$ $i$

ทุกคนเผชิญหน้าครั้งนี้มาก่อนหรือไม่ "โมเมนต์" ของสเปกตรัมคืออะไร? ฉันไม่เคยได้ยินเรื่องนี้มาก่อนในวรรณคดี DSP

frequency-spectrum

— สเปซีย์
แหล่งที่มา

กล่าวถึงการคำนวณที่มีประสิทธิภาพในช่วงเวลาที่สเปกตรัมสำหรับความมุ่งมั่นของสถิติการตอบสนองแบบสุ่มสำหรับช่วงเวลาสเปกตรัม: "ช่วงเวลาที่ผีจะถูกคำนวณจาก PSD ด้านเดียว"

— Laurent Duval

1

ฉันคิดว่าช่วงเวลาที่น่าตื่นเต้นเป็นสิ่งที่เกิดขึ้นในภาพยนตร์ Ghostbusters! :-)

— Peter K.

9

ถือว่าสัญญาณต่ำผ่านตลอด

เนื่องจากมักจะมีค่าเชิงซ้อนการใช้ power spectrum อาจเป็นความคิดที่ดีกว่าโดยเฉพาะถ้าคุณต้องการรากที่สองเป็นต้นหลังจากนั้น ดังนั้นถูกกำหนดเป็น หมายเหตุโดยเฉพาะอย่างยิ่งว่าคือพลังงานในสัญญาณและ ทีนี้แบนด์วิดท์ Gaborของสัญญาณนั้นได้รับจาก ในการใส่มุมมองที่แตกต่างออกไปเล็กน้อย $X(f)$ $|X(f)|^2$ $m_k$

m_{k} = \int_{- \infty}^{\infty} f^{k} | X (f) |^{2} d f .

$m_k = \int_{-\infty}^\infty f^k |X(f)|^2 \mathrm df.$

m_{0}

$m_0$

m_{1} = 0

$m_1 = 0$

G

$G$

G = \sqrt{\frac{\int_{- \infty}^{\infty} f^{2} | X (f) |^{2} d f}{\int_{- \infty}^{\infty} | X (f) |^{2} d f}} = \sqrt{\frac{m_{2}}{m_{0}}} .

$G = \sqrt{\frac{\displaystyle \int_{-\infty}^\infty f^2 |X(f)|^2 \mathrm df}{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty |X(f)|^2 \mathrm df}} = \sqrt{\frac{m_2}{m_0}}.$

| X (f) |^{2}

$|X(f)|^2$ เป็นฟังก์ชั่นที่ไม่ติดลบและ "พื้นที่ใต้เส้นโค้ง ," ได้แก่ คือพลังในสัญญาณ ดังนั้นเป็นฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นที่มีประสิทธิภาพของตัวแปรสุ่มที่มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์ซึ่งความแปรปรวนคือ 2

| X (f) |^{2}

$|X(f)|^2$

m_{0}

$m_0$

| X (f) |^{2} / m_{0}

$|X(f)|^2/m_0$

σ^{2} = \int_{- \infty}^{\infty} f^{2} \frac{| X (f) |^{2}}{m_{0}} d f = \frac{\int_{- \infty}^{\infty} f^{2} | X (f) |^{2} d f}{\int_{- \infty}^{\infty} | X (f) |^{2} d f} = G^{2}

$\sigma^2 = \int_{-\infty}^\infty f^2 \frac{|X(f)|^2}{m_0} \mathrm df = \frac{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f^2 |X(f)|^2 \mathrm df}{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty |X(f)|^2 \mathrm df} = G^2$

ไซน์ของความถี่ Hz มี ศูนย์ข้ามต่อวินาที เนื่องจากโมฮัมหมัดกำลังอ่านหนังสือมรดกมันอาจจะทำทั้งหมดนี้ในเรเดียนความถี่และถ้าเป็น Gabor แบนด์วิดท์เป็นเรเดียนต่อวินาทีเราต้องหารด้วยให้ $G$ $2G = 2\sqrt{\frac{m_2}{m_0}}$ $\omega$ $G$ $2\pi$

N_{0} = \frac{1}{π} \sqrt{\frac{m_{2}}{m_{0}}} zero crossings per second.

$N_0 = \frac{1}{\pi} \sqrt{\frac{m_2}{m_0}} ~ \text{zero crossings per second.}$

หันไป extrema ที่อนุพันธ์ของมีแปลงฟูริเย และคลื่นไฟฟ้า 2 แบนด์วิธ Gabor ของมันคือ การใช้อากิวเมนต์แบบเดียวกับก่อนหน้านี้ (การข้ามศูนย์สองครั้งของอนุพันธ์ต่องวดเท่ากับสอง extrema ต่อจุด) เรเดียนกับความถี่เฮิรตซ์ $x(t)$ $j2\pi f X(f)$ $|2\pi f X(f)|^2$

\begin{aligned} G^{'} & = \sqrt{\frac{\int_{- \infty}^{\infty} f^{2} | 2 π f X (f) |^{2} d f}{\int_{- \infty}^{\infty} | 2 π f X (f) |^{2} d f}} \\ = \sqrt{\frac{\int_{- \infty}^{\infty} f^{4} | X (f) |^{2} d f}{\int_{- \infty}^{\infty} f^{2} | X (f) |^{2} d f}} \\ = \sqrt{\frac{m_{4}}{m_{2}}} . \end{aligned}

$\begin{align*}G^\prime &= \sqrt{\frac{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f^2 |2\pi f X(f)|^2 \mathrm df}{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty |2\pi f X(f)|^2 \mathrm df}}\\ &= \sqrt{\frac{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f^4 |X(f)|^2 \mathrm df}{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f^2 |X(f)|^2 \mathrm df}}\\ &= \sqrt{\frac{m_4}{m_2}}. \end{align*}$

N_{e} = \frac{1}{π} \sqrt{\frac{m_{4}}{m_{2}}} extrema per second.

$N_e = \frac{1}{\pi} \sqrt{\frac{m_4}{m_2}} ~ \text{extrema per second.}$

— Dilip Sarwate
แหล่งที่มา

คำตอบที่ยอดเยี่ยม Dilip ... แต่ "Gabor Bandwidth"? ... ฉันไม่เคยได้ยินเรื่องนี้มาก่อนและดูเหมือนว่าฉันจะไม่ได้รับข้อมูลใด ๆ จากเว็บ - คุณได้สูตรมาจากไหน และมันควรวัดอะไรกันแน่?

— Spacey

ขอบคุณสำหรับลิงค์ PDF - แม้ว่าฉันไม่เชื่อว่ามันใช้งานได้ คุณช่วยยืนยันได้ไหม

— Spacey

คุณควรระวังถ้าอยู่ใน Hz; ในกรณีนี้ช่วงเวลาสเปกตรัมที่ถูกต้องคือ

f

$f$

m_{k} = \int_{- \infty}^{\infty} (2 π f)^{k} | X (f) |^{2} d f .

$m_k = \int_{-\infty}^\infty (2\,\pi\,f)^k |X(f)|^2 \mathrm df.$

— jankos

@jankos คุณมีการอ้างอิงสำหรับสิ่งที่คุณอ้างว่าเป็นความหมายที่ถูกต้องของช่วงเวลาสเปกตรัม ?

m_{k}

$m_k$

— Dilip Sarwate

2

ฉันไม่รู้ว่าฉันเคยได้ยินคำนั้นมาก่อน แต่ฉันจะตีความคำว่า "ช่วงเวลา" ว่ามีความหมายคล้ายกับแนวคิดทางกายภาพของจุดศูนย์กลางมวลและช่วงเวลาที่หนึ่งและสองของพื้นที่:

m_{k} = \int_{- \infty}^{\infty} f^{k} X (f) d f

$m_k=\int_{-\infty}^{\infty} f^kX(f)\ df$

นั่นคือเนื้อหาที่ความถี่ทุกความถี่ในสเปกตรัมจะถูกถ่วงน้ำหนักด้วยพลัง -th ของความถี่และผลลัพธ์จะถูกสรุปรวมทั่วทั้งสเปกตรัม ไม่แน่ใจว่านี่คือสิ่งที่คุณต้องการ แต่มันเป็นแนวคิดของช่วงเวลาสำหรับสเปกตรัม (หรือฟังก์ชั่นของตัวแปรเดียวสำหรับเรื่องนั้น) $k$

— เจสันอาร์
แหล่งที่มา

1

อัตราส่วนที่คุณพูดถึงกรณีของช่วงเวลามาตรฐานหรือ -moments ช่วงเวลาในการประมวลสัญญาณมีความคล้ายคลึงกับช่วงเวลาสำหรับฟิสิกส์และช่วงเวลาในสถิติ ในฟิสิกส์ความคิดของช่วงเวลาคือ: $L$

การแสดงออกที่เกี่ยวข้องกับผลิตภัณฑ์ของระยะทางและปริมาณทางกายภาพอื่นและด้วยวิธีนี้มันบัญชีสำหรับวิธีการตั้งหรือจัดเรียงปริมาณทางกายภาพ

มันสามารถเป็นลักษณะทั่วไปของแนวคิดของศูนย์กลางของมวล ค่าเฉลี่ยส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานหรือความเบ้และความโด่งเป็นแนวคิดที่ได้รับและสามารถคำนวณได้ในทุกโดเมนเช่นเวลาหรือความถี่ โดยพื้นฐานแล้ว -moment ของฟังก์ชันบนโดเมน , ประมาณค่า , ถูกกำหนดในรูปแบบอินทิกรัลโดย: $\alpha$ $g$ $D$ $c$

m_{g_{D}} (α, c) = \int_{D} (t - c)^{α} g (t) d t

$m_{g_D}(\alpha,c) = \int_D (t-c)^\alpha g(t)d t$ หรือ เมื่อ จำเป็น คลาสสิกสำหรับสัญญาณจริงเนื่องจากสมมาตรในโดเมนฟูริเยร์ที่มีช่วงเวลาของสเปกตรัมจะถูกกำหนดด้วยความเคารพต่อพลังงานที่ทำให้เป็นมาตรฐานพลังงาน ( )

m_{g_{D}} (α, c) = \int_{D} [t - c |^{α} g (t) d t

$m_{g_D}(\alpha,c) = \int_D [t-c|^\alpha g(t)d t$

x

$x$

X (f)

$X(f)$

g (\cdot) = | X (\cdot) |^{2}

$g(\cdot) = |X(\cdot)|^2$

m_{α} = \int_{f \geq 0} f^{α} \frac{| X (f) |^{2}}{\int_{ν \geq 0} | X (ν) |^{2} d ν} d f

$m_\alpha = \int_{f\ge 0} f^\alpha \frac{|X(f)|^2}{\int_{\nu\ge 0} |X(\nu)|^2d\nu}df$

ดูตัวอย่าง: การคำนวณช่วงเวลาสเปกตรัมอย่างมีประสิทธิภาพสำหรับการพิจารณาสถิติการตอบสนองแบบสุ่มสำหรับช่วงเวลาสเปกตรัม: "ช่วงเวลาสเปกตรัมถูกคำนวณจาก PSD ด้านเดียว"

กลายเป็นอัตราส่วนของ -moments พวกเขาจะกลายเป็นขนาด fre, หุ้นหน่วยฟรีของพฤติกรรมการทำงานรวมถึง extrema ศูนย์ข้ามหรือ sparsity (กับเป็นต้น) $L$ $m_1/m_2$

— Laurent Duval
แหล่งที่มา