เหตุใดตัวกรอง FIR จึงยังคงเสถียรแม้ว่าจะมีขั้วอยู่

15

ทำไมตัวกรอง FIR จึงมีความเสถียรอยู่เสมอ
เนื่องจากมีเสาพวกเขาไม่ควรได้รับผลกระทบจากปัญหาความมั่นคงมากกว่าคนอื่น ๆ หรือไม่

filters finite-impulse-response

FIR มีความเสถียรหากศูนย์ทั้งหมดตั้งอยู่ในวงกลมหน่วย

— dato datuashvili

2

ไม่เป็นความจริง: FIR มีความเสถียรเสมอและศูนย์สามารถอยู่ได้ทุกที่ที่ต้องการรวมถึงอยู่นอกวงกลมหน่วย ตัวอย่าง: ตัวกรอง [1 -6 11 -6] มีค่าศูนย์ที่ z = 1, 2 และ 3

— Hilmar

อีกครั้ง @Hilmar ขึ้นอยู่กับการใช้งาน FIR FIR ที่ใช้เป็น Truncated IIR (TIIR) อาจไม่เสถียรภายใน นำมาใช้เป็นตัวกรอง FIR ตามขวางอย่างง่ายใช่ว่าเสถียรเสมอ มีความเสถียรแม้ว่าจะมีการใช้งานโดยใช้ "การแปลงอย่างรวดเร็ว" (ใช้ FFT และ "การทับซ้อนเพิ่ม" หรือ "การทับซ้อนการบันทึก") และบางครั้งเมื่อนำมาใช้เป็นตัวกรอง TIIR ก็มีเสถียรภาพ (ถ้า IIR ภายในมีเสถียรภาพ) แต่ FIR ที่นำมาใช้เป็น TIIR อาจไม่เสถียรภายใน

— เบิร์ตบริสโต - จอห์นสัน

8

ตัวกรอง FIR มีค่าเป็นศูนย์เท่านั้นและไม่มีเสา ถ้าตัวกรองประกอบด้วยเสามันเป็น IIR ตัวกรอง IIR ได้รับผลกระทบจากปัญหาความมั่นคงและต้องได้รับการจัดการด้วยความระมัดระวัง

แก้ไข:

หลังจากความคิดเพิ่มเติมและการเขียนลวก ๆ และ google-ing ฉันคิดว่าฉันมีคำตอบสำหรับคำถามของเสา FIR นี้ซึ่งหวังว่าจะเป็นที่พอใจของผู้มีส่วนได้เสีย

เริ่มต้นด้วยการแปลง Z ของตัวกรอง FIR ที่ดูเหมือนไม่มีตัวตน: ตามที่ปรากฏในคำตอบของ RBJ เสา FIR จะถูกเปิดเผยโดยการคูณเศษและส่วนของโดย : ดังนั้นเราจึงให้ขั้วของเราที่จุดกำเนิดของตัวกรอง FIR ทั่วไป

H (Z) = \frac{ข_{0} + ข_{1} Z^{- 1} + ข_{2} Z^{- 2} + \dots + ข_{ยังไม่มีข้อความ} Z^{- ยังไม่มีข้อความ}}{1}

$H(z) = \frac{b_0 + b_1 z^{-1} + b_2 z^{-2} + \cdots + b_N z^{-N}}{1}$

H (z)

$H(z)$

z^{N}

$z^{N}$

H (Z) = \frac{ข_{0} Z^{ยังไม่มีข้อความ} + ข_{1} Z^{ยังไม่มีข้อความ - 1} + ข_{2} Z^{ยังไม่มีข้อความ - 2} + \dots + ข_{ยังไม่มีข้อความ}}{Z^{ยังไม่มีข้อความ}}

$H(z) = \frac{b_0 z^{N} + b_1 z^{N-1} + b_2 z^{N-2} + \cdots + b_N }{z^{N}}$

N

$N$

อย่างไรก็ตามเพื่อที่จะแสดงสิ่งนี้ข้อสันนิษฐานของเวรกรรมจะถูกวางไว้บนตัวกรอง หากเราพิจารณาตัวกรอง FIR ทั่วไปโดยที่ไม่ถือว่าค่านิยม: จำนวนขั้วปรากฏที่จุดกำเนิด:

G (Z) = \frac{ข_{0} Z^{k} + ข_{1} Z^{k - 1} + ข_{2} Z^{k - 2} + \dots + ข_{ยังไม่มีข้อความ} Z^{k - ยังไม่มีข้อความ}}{1}

$G(z) = \frac{b_0 z^{k} + b_1 z^{k-1} + b_2 z^{k-2} + \cdots + b_N z^{k-N}}{1}$

(N - k)

$(N-k)$

G (Z) = \frac{ข_{0} Z^{ยังไม่มีข้อความ} + ข_{1} Z^{ยังไม่มีข้อความ - 1} + ข_{2} Z^{ยังไม่มีข้อความ - 2} + \dots + ข_{ยังไม่มีข้อความ}}{Z^{ยังไม่มีข้อความ - k}}

$G(z) = \frac{b_0 z^{N} + b_1 z^{N-1} + b_2 z^{N-2} + \cdots + b_N }{z^{N-k}}$

ดังนั้นฉันสรุปได้ดังต่อไปนี้:

(ตอบคำถามเดิม) โดยทั่วไปตัวกรอง FIR จะมีเสาแม้ว่าจะอยู่ที่จุดกำเนิดของเครื่องบิน Z เสมอ เนื่องจากพวกมันไม่เคยอยู่เหนือวงกลมหน่วยพวกมันจึงไม่เป็นภัยคุกคามต่อความเสถียรของระบบ FIR
จำนวนของเสาของสัญญาณที่สอดคล้องกับการสั่งซื้อ FIR กรองและ "ปริญญา" ของ acausality kดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะสร้างตัวกรอง FIR ที่ไม่มีเสา แต่ตัวกรองเหล่านี้จะถูกทำให้หยุดลงชั่วคราว - นั่นคือพวกมันไม่สามารถประมวลผลแบบเรียลไทม์ได้ สำหรับกรองเพื่อ FIR ซึ่งเป็นสิ่งที่เป็นสาเหตุมีเสาที่จุดกำเนิด $N$ $k$ $N^{th}$ $(k=0)$ $N$
บางทีวิธีที่ง่ายที่สุดในการตั้งเสาที่จุดกำเนิดคือองค์ประกอบการหน่วงเวลาแบบง่าย: ตัวกรอง FIR ทั่วไปสามารถดูได้ว่าเป็นตัวกรองแบบแอกซึ่ง ตามมาด้วยองค์ประกอบความล่าช้าเพียงพอที่จะทำให้พวกเขาเป็นสาเหตุ $H (Z) = Z^{- 1} = \frac{1}{Z}$ $H(z) = z^{-1} = \frac{1}{z}$

— Kenneide
แหล่งที่มา

2

ตัวกรอง IIR นั้นไม่อันตรายจริงๆ

— user7358

19

$z=0$

เนื่องจากเสาทั้งหมดตั้งอยู่ภายในวงกลมหน่วยตัวกรอง FIR นั้นมีความเสถียรอย่างเห็นได้ชัด

นี่อาจไม่ใช่ตัวกรอง FIR ที่ OP คิด แต่มีคลาสของตัวกรอง FIR ที่เรียกว่าตัวกรอง Truncated IIR (TIIR) ซึ่งอาจมีขั้วบนหรือนอกวงกลมหน่วยที่ถูกยกเลิกโดยศูนย์ที่ตำแหน่งเดียวกัน ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของเรื่องนี้คือผลรวมการย้ายหรือตัวกรองค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ แต่จากมุมมองของ I / O ตัวกรอง TIIR เหล่านี้คือ FIR

แต่ฉันจะไม่รับประกันความ "เสถียร" อย่างไร้เดียงสา การใช้ภาษาของระบบควบคุมตัวกรอง TIIR ไม่ใช่ "สามารถสังเกตได้อย่างสมบูรณ์" และอาจมีเสถียรภาพเนื่องจากการตอบสนองแบบอิมพัลส์ของมันมีความยาว จำกัด แต่ภายในตัวกรองสถานะอาจตกนรกและด้วยความแม่นยำเชิงตัวเลข แสดงที่เอาต์พุต

เราจะต้องแก้ไขให้พ้นจากตัวเองจากความคิดที่ว่า"ฟิลเตอร์ FIR ไม่มีเสา" ไม่จริง

— โรเบิร์ตบริสโต - จอห์นสัน
แหล่งที่มา

คุณสามารถแสดงทางคณิตศาสตร์ได้ไหมว่าตัวกรอง FIR มีขั้วเพราะฉันไม่เห็น

— Jim Clay

ตัวอย่างที่ดีที่สุดของ FIR พร้อมเสาคือตัวกรอง Cascaded Integrated-Comb (CIC) มันเริ่มต้นด้วยตัวกรองค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่อย่างง่าย (ค่าสัมประสิทธิ์เช่น 1, 1, 1, 1) และเขียนซ้ำซ้ำ - จึงแนะนำขั้ว ดูการเชื่อมโยง สิ่งเหล่านี้มักถูกนำไปใช้ใน FPGAs เป็นขั้นตอนแรกในการแปลงลงเพราะในรูปแบบเวียนเกิดของพวกเขาพวกเขาค่อนข้างถูกที่จะใช้คอมพิวเตอร์ ดูเอกสารประกอบ Graychip เป็นตัวอย่าง พวกเขามักจะดำเนินการในจุดคงที่เพื่อรักษาเสถียรภาพ

— David

1

ฉันคิดว่าเราจะต้องเห็นด้วยที่จะไม่เห็นด้วย - บทคัดย่อจากกระดาษต้นฉบับของโฮเก็นเนอร์อ่านว่า "ชั้นเรียนของตัวกรองเฟสตอบสนองต่อแรงกระตุ้น จำกัด (FIR) สำหรับการกำจัด (ลดอัตราการสุ่มตัวอย่าง) และการประมาณ (เพิ่มอัตราการสุ่มตัวอย่าง)"

— เดวิด

4

N^{t h}

$N^{th}$

N

$N$

2

@JimClay ตัวกรองการเคลื่อนไหวของผลรวมหรือค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ CIC แน่นอนที่สุดคือตัวกรอง FIR IR ของมันคือ F. ปกติแล้วมันไม่ได้ถูกนำไปใช้เป็นตัวกรอง FIR ตามขวาง แต่ก็อาจเป็นได้ถ้าคุณต้องการจ่ายด้วย MIPS

— เบิร์ตบริสโต - จอห์นสัน

14

"คุณสามารถแสดงทางคณิตศาสตร์ได้ไหมว่าตัวกรอง FIR มีขั้วเพราะฉันไม่เห็น" - จิมนวล

เราสามารถสมมติว่า FIR นี้เป็นสาเหตุได้หรือไม่

$N$ $N+1$

การตอบสนองต่อแรงกระตุ้น จำกัด : $\quad h[n] = 0 \quad \forall \quad n>N, \ n<0$

ฟังก์ชั่นการถ่ายโอนของ FIR:

\begin{aligned} H (Z) & = Σ_{n = - \infty}^{+ \infty} ชั่วโมง [n] Z^{- n} \\ = Σ_{n = 0}^{ยังไม่มีข้อความ} ชั่วโมง [n] Z^{- n} \\ = Σ_{n = 0}^{ยังไม่มีข้อความ} Z^{- ยังไม่มีข้อความ} ชั่วโมง [n] Z^{ยังไม่มีข้อความ - n} \\ = Z^{- ยังไม่มีข้อความ} Σ_{n = 0}^{ยังไม่มีข้อความ} ชั่วโมง [ยังไม่มีข้อความ - n] Z^{n} \\ = \frac{Σ_{n = 0}^{ยังไม่มีข้อความ} ชั่วโมง [ยังไม่มีข้อความ - n] Z^{n}}{Z^{ยังไม่มีข้อความ}} \\ = \frac{ชั่วโมง [ยังไม่มีข้อความ] + ชั่วโมง [ยังไม่มีข้อความ - 1] Z + ชั่วโมง [ยังไม่มีข้อความ - 2] Z^{2} + \dots + ชั่วโมง [1] Z^{ยังไม่มีข้อความ - 1} + ชั่วโมง [0] Z^{ยังไม่มีข้อความ}}{(Z - 0)^{ยังไม่มีข้อความ}} \end{aligned}

$\begin{align} H(z) & = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} h[n] z^{-n} \\ & = \sum_{n=0}^{N} h[n] z^{-n} \\ & = \sum_{n=0}^{N} z^{-N} h[n] z^{N-n} \\ & = z^{-N} \sum_{n=0}^{N} h[N-n] z^n \\ & = \frac{\sum_{n=0}^{N} h[N-n] z^{n}}{z^N} \\ & = \frac{h[N] + h[N-1]z + h[N-2]z^2 + \cdots + h[1]z^{N-1} + h[0]z^N}{(z-0)^N} \\ \end{align}$

สิ่งที่คุณต้องทำคือใส่ตัวเศษและคุณจะรู้ว่าศูนย์อยู่ตรงไหน แต่มันก็ค่อนข้างชัดเจนว่าเสาทั้งหมดสำหรับตัวกรอง FIR และมีเสาจำนวนมากเท่าที่เป็นไปตามลำดับของตัวกรอง FIR โปรดทราบว่าเสาเหล่านี้ไม่มีผลต่อการตอบสนองความถี่ ยกเว้นช่วง

— โรเบิร์ตบริสโต - จอห์นสัน
แหล่งที่มา

6

ฉันยืนแก้ไขแล้ว ขอบคุณสำหรับคำอธิบาย

— Jim Clay

1

ค่อนข้างตามคำนิยามจริง ๆ แล้ว เนื่องจากคุณป้อนพลังงาน จำกัด และตัวกรองจะส่งพลังงานเข้าได้หลายค่าสูงสุดเท่านั้น (การตอบสนองแบบอิมพัลส์มีพลังงาน จำกัด ) สัญญาณที่ได้จึงจะมีพลังงานป้อนเข้ามากที่สุด มันไม่สามารถสะท้อนและทำให้บานปลายเนื่องจากตัวกรอง IIR สามารถ นี่คือเบื้องหลังคำตอบของ Kenneides เช่นกัน

— user7358
แหล่งที่มา

ใช่และมันก็เป็นเท็จเหมือนคำตอบของ Kenneide

— robert bristow-johnson

2

H (z) = 1

$H(z)=1$

2

H (z) = 1 = \frac{z}{z}

$H(z) = 1 = \frac{z}{z}$

H (z) = z

$H(z)=z$

1

H (z) = z^{- 1}

$H(z) = z^{-1}$

z = 0

$z=0$

1

ไม่มีใครแตะต้องจริงๆว่าทำไมขั้วของตัวกรอง FIR จึงสามารถถอดออกได้ดังนั้นฉันจึงพยายามตอบคำถามด้านล่างนี้

ตัวกรอง FIR จะมีเสาแบบถอดได้ที่จุดเริ่มต้นเนื่องจากขอบเขตของการตอบสนองต่อแรงกระตุ้นของพวกเขาต้องการสิ่งนี้ ที่อยู่รอบ ๆ เสามันเป็นไปได้ที่จะกำหนดฟังก์ชั่นเพื่อให้มันยังคงเป็น holomorphic (สามารถเปลี่ยนแปลงได้ในทุกจุดของโดเมน)

มันเป็นทฤษฎีบทของ Riemann ว่าถ้าสัญญาณมีความแตกต่างกันในทุกจุดของโดเมน (ยกเว้นสำหรับจุดที่มีจำนวน จำกัด ) จากนั้นก็มีย่านใกล้เคียงรอบจุดพิเศษเหล่านี้ที่ฟังก์ชันถูก จำกัด ขอบเขต ความหมายเป็นสองทางในทฤษฎีบทนี้ดังนั้นเนื่องจากตัวกรอง FIR จำเป็นต้องมีการตอบสนองต่อแรงกระตุ้นที่มีขอบเขตดังนั้นการตอบสนองต่อแรงกระตุ้นจะต้องเปลี่ยนแปลงได้ในทุกจุดภายในวงกลมหน่วย ดังนั้นสัญญาณที่สามารถขยายได้ในลักษณะที่สอดคล้องกันเพื่อให้ไม่มีความเป็นเอกเทศ (เช่นเสาที่ถอดออกได้)

$z$

— Tom Kealy
แหล่งที่มา

1

z

$z$

z

$z$

z

$z$

z^{- 1}

$z^{-1}$