การแปลงฟูเรียร์โดยสิ้นเชิงจริง

ฉันพยายามที่จะเข้าใจDFT จริงและ DFT และทำไมจึงมีความแตกต่าง

จากสิ่งที่ฉันรู้จนถึงตอนนี้ DFT ใช้สำหรับเวกเตอร์พื้นฐานและให้การแทนผลรวมถูกเขียนจากถึงด้วยเหตุผลทางประวัติศาสตร์ฉันคิดว่าแทนที่จะเขียนในลักษณะที่คล้ายคลึงกับชุดฟูริเยร์โดยผลรวมจะมาจากถึง : สิ่งนี้ขึ้นอยู่กับความผิดปกติที่แปลกประหลาดของ DFT ที่ความถี่สูงเป็นเช่นเดียวกับความถี่ลบ:n} $e^{i2\pi kn/N}$

x [n] = \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] e^{i 2 π k n / N}

$x[n]=\sum_{k=0}^{N-1}X[k]e^{i2\pi kn/N}$

k = 0

$k=0$

N - 1

$N-1$

k = - N / 2

$k=-N/2$

N / 2 - 1

$N/2-1$

x [n] = \sum_{k = - N / 2}^{N / 2 - 1} X [k] e^{i 2 π k n / N}

$x[n]=\sum_{k=-N/2}^{N/2-1}X[k]e^{i2\pi kn/N}$

e^{i 2 π k n / N} = e^{i 2 π (k - N) n / N}

$e^{i2\pi kn/N}=e^{i2\pi (k-N)n/N}$

การเปรียบเทียบความต่อเนื่องกับอนุกรมฟูริเยร์ DFT จริงจะให้การแสดง สามารถดูได้ว่าเป็นการจับคู่พร้อมในการเป็นตัวแทน DFT ที่ช่วงผลรวมจากเพื่อNนี่เป็นเหมือนการจับคู่ซึ่งเชื่อมต่อการเป็นตัวแทนทั้งสองของ a ซีรี่ส์ฟูริเยร์:

x [n] = \sum_{k = 0}^{N / 2} (X_{R} [k] \cos (\frac{2 π k n}{N}) - X_{I} [k] \sin (\frac{2 π k n}{N}))

$x[n]=\sum_{k=0}^{N/2}\left(X_R[k]\cos\left(\frac{2\pi kn}{N}\right)-X_I[k]\sin\left(\frac{2\pi kn}{N}\right)\right)$

e^{i 2 π k n / N}

$e^{i2\pi kn/N}$

e^{- i 2 π k n / N}

$e^{-i2\pi kn/N}$

k = - N / 2

$k=-N/2$

N / 2 - 1

$N/2-1$

c_{n} e^{i n θ} + c_{- n} e^{- i n θ} = a_{n} \cos n θ + b_{n} \sin n θ

$c_n e^{in\theta}+c_{-n}e^{-in\theta}=a_n \cos n\theta + b_n \sin n\theta$

\sum_{- \infty}^{\infty} c_{n} e^{i n θ} = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{1}^{\infty} (a_{n} \cos n θ + b_{n} \sin n θ)

$\sum_{-\infty}^\infty c_n e^{in\theta}= \frac{a_0}{2} + \sum_1^{\infty}(a_n \cos n\theta + b_n \sin n\theta)$

คำถามของฉันแล้วทำไม DFT ถึงแพร่หลายมากกว่า DFT จริงมากนัก ใครจะคาดหวังว่าเนื่องจาก DFT ที่แท้จริงนั้นใช้ไซน์ที่มีคุณค่าและโคไซน์ที่มีคุณค่าเป็นพื้นฐานและเป็นตัวแทนของภาพเรขาคณิตที่ดีกว่าที่ผู้คนจะชอบมากขึ้น ฉันสามารถเห็นได้ว่าทำไม DFT และการแปลงฟูริเยร์ต่อเนื่องจึงเป็นที่ต้องการในทางทฤษฎีเนื่องจากพีชคณิตของเอ็กซ์โปเนนเชียลนั้นง่ายกว่า แต่การเพิกเฉยพีชคณิตที่ง่ายกว่าจากมุมมองที่ใช้ในการคำนวณจริงแล้วทำไม DFT ถึงมีประโยชน์มากกว่านี้? ทำไมการแทนสัญญาณของคุณด้วยเลขชี้กำลังเชิงซ้อนนั้นมีประโยชน์มากกว่าในแอปพลิเคชั่นด้านฟิสิกส์คำพูดรูปภาพ ฯลฯ ที่หลากหลายกว่าการแยกสัญญาณของคุณออกเป็นไซน์และโคไซน์ นอกจากนี้หากมีสิ่งใดที่ละเอียดอ่อนฉันขาดหายไปในการแสดงออกข้างต้นของฉันฉันอยากจะรู้ว่า: ฉัน '

dft

— user782220
แหล่งที่มา

ฟูเรียร์การแยกแบบไม่ต่อเนื่องที่แท้จริงนั้นมีความสำคัญสำหรับเหตุผลที่การใช้ DFT ตามปกติกับผลลัพธ์จริงในความซ้ำซ้อนบางประการสำหรับความยาวลำดับจริงสอดคล้องกับการแปลง , ลำดับเป็นรูปแบบที่ซับซ้อนของการผันคำกริยาลำดับ2-1} เหตุผลก็คือว่าต้องการเพียงรายการที่สอดคล้องกับความถี่ในเชิงบวกของการแปลง หนึ่งจะพบการแปลง Hartley ที่เรียกว่าในบริบทนี้ มีการใช้ทั้งสองวิธี

N

$N$

x_{0}, x_{1}, \dots, x_{N - 1}

$x_0,x_1,\dots,x_{N-1}$

X_{0}, X_{1}, \dots, X_{N - 1}

$X_0,X_1,\dots,X_{N-1}$

X_{N - 1}, X_{N - 2}, \dots, X_{N / 2 + 1}

$X_{N-1},X_{N-2},\cdots,X_{N/2+1}$

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{N / 2 - 1}

$X_1,X_2,\dots,X_{N/2-1}$

BTW: ผมขอแนะนำให้อ่านเหล่านี้สอง เอกสารทั้งฟูริเยร์จริงเปลี่ยนและสมุนเปลี่ยน; พวกเขาทำงานได้ดีในการอธิบายความสนใจในวิธีการเหล่านี้นอกเหนือจาก DFT เอง

เป็นความจริงหรือไม่ที่เมทริกซ์ของ RDFT และเมทริกซ์ของ DFT นั้นเกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนแปลงพื้นฐาน? และการเปลี่ยนแปลงของพื้นฐานเป็นภาพสะท้อนที่คล้ายคลึงกันว่าชุดฟูริเยร์สามารถแสดงได้สองวิธีด้วยค่าสัมประสิทธิ์ที่เกี่ยวข้องโดยn และประเด็นสำคัญในบริบทของ DFT คือความถี่สูงสุดควรเป็นความถี่ลบเพื่อให้สามารถทำการจับคู่เพื่อรับไซน์และโคไซน์ในซีรี่ส์ฟูริเยร์ให้ค่า RDFT

c_{n} e^{i n θ} + c_{- n} e^{- i n θ} = a_{n} \cos n θ + b_{n} \sin n θ

$c_n e^{in\theta}+c_{-n}e^{-in\theta}=a_n \cos n\theta + b_n \sin n\theta$

c_{n} e^{i n θ} + c_{- n} e^{- i n θ}

$c_n e^{in\theta}+c_{-n}e^{-in\theta}$

— user782220

หนึ่งในบทใน Van Loan ตอบคำถามของคุณอย่างละเอียด นั่นคือท่วงท่าทักษะบางอย่างกับการจัดการผลิตภัณฑ์ของ Kronecker

อย่างน้อยที่สุดคุณควรมีคำถามน้อยลงกว่าตอนนี้

ข้อดีของ DFT ที่ซับซ้อนหรือการแปลงฟูริเยร์แบบซับซ้อนหรืออนุกรมฟูริเยร์ที่ซับซ้อนคือ ระบบเชิงเส้นมีคุณสมบัติที่ดีที่การตอบสนองต่อคือ . (ที่นี่อาจเป็นค่าคงที่ซับซ้อน) ดังนั้นเอาต์พุตจึงเป็นเพียงสเกลาร์หลายตัวของอินพุต ที่สำคัญกว่านั้นถ้าเรามีการแทนค่าอินพุตเป็นผลรวมถ่วงน้ำหนักของเลขชี้กำลังเชิงซ้อนเอาต์พุตจะเป็นผลรวมถ่วงน้ำหนักอีกครั้งของเลขชี้กำลังเดียวกัน น้ำหนักที่แตกต่างกัน แต่ชุดเดียวกันของ exponentials นอกจากนี้ยังสามารถรับน้ำหนักใหม่แต่ละรายการด้วยการคูณน้ำหนักเก่าด้วยตัวเลขที่เหมาะสม $A\exp(j\omega t)$ $H(\omega)A\exp(j\omega t)$ $A$

แน่นอนว่าไม่มีระบบกายภาพใด ๆ ที่มีสัญญาณที่ซับซ้อนเข้าและออก อย่างน้อยไม่ใช่วันนี้ถึงแม้ว่าใคร ๆ ก็สามารถหวังสิ่งที่ดีกว่าในอนาคตได้เสมอ ในเวลานั้นเรารับสัญญาณที่ซับซ้อนจริง ๆ หรือรับการตอบสนองหรือ ผ่าน linearity และ superposition และการใช้เสรี $\cos(\omega t)$ $\sin(\omega t)$

\begin{aligned} \cos (ω t) & = \frac{\exp (j ω t) + \exp (- j ω t)}{2} \\ \sin (ω t) & = \frac{\exp (j ω t) - \exp (- j ω t)}{2 j} \end{aligned}

$\begin{align*} \cos(\omega t) &= \frac{\exp(j\omega t) + \exp(-j\omega t)}{2}\\ \sin(\omega t) &= \frac{\exp(j\omega t) - \exp(-j\omega t)}{2j} \end{align*}$

ในทางตรงกันข้ามการตอบสนองต่อเป็นรูปแบบ t) ดังนั้นในขณะที่ linearity และ superposition ฯลฯ ทำงานได้ทั้งหมดเอาต์พุตอาจต้องการฟังก์ชันพื้นฐานที่แตกต่างจากอินพุต แน่นอนว่ามีความเกี่ยวข้องกันอย่างใกล้ชิด แต่อาจจะมีความแตกต่างและอาจจำเป็นต้องมีฟังก์ชั่นพื้นฐาน ตัวอย่างเช่นอินพุตแสดงโดยฟังก์ชันพื้นฐานหนึ่งเอาต์พุตโดยฟังก์ชันพื้นฐานสองฟังก์ชัน มันอาจจะเป็นที่ถกเถียงกันอยู่ว่าฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนต้องใช้งานมากเป็นสองเท่าของฟังก์ชั่นจริงและดังนั้นการออมใด ๆ จึงเป็นจินตภาพล้วนๆ $\cos(\omega t)$ $B(\omega)\cos(\omega t) + C(\omega)\sin(\omega t)$ $\cos(\omega t)$ $B(\omega)\cos(\omega t) + C(\omega)\sin(\omega t)$ การรักษาแบบเดียวกันในขณะที่การเป็นตัวแทนบาป / cos ไม่ได้ ด่วน! เมื่อได้รับคำตอบของคือ อะไรคือคำตอบของ ? คุณต้องทำงานให้น้อยคุณอาจต้องเรียกใช้สูตรเช่น และอื่น ๆ ด้วยเลขยกกำลังที่ซับซ้อนชีวิตจึงง่ายขึ้นมาก $\cos(\omega t)$ $B(\omega)\cos(\omega t) + C(\omega)\sin(\omega t)$ $\sin(\omega t)$

\cos (α + β) = \cos (α) \cos (β) - \sin (α) \sin (β)

$\cos (\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta)$

แต่ในชีวิตจริงระยะทางของคุณอาจแตกต่างกันไปและถ้าคุณรู้สึกว่าการเป็นตัวแทนของความบาป / cos เป็นหนทางที่จะไปและควรอธิบายสิ่งที่ซับซ้อนแทนคุณมีอิสระที่จะทำตามหัวใจของคุณ หากคุณมีปัญหาในการสื่อสารความคิดของคุณไปยังเพื่อนร่วมงานผู้บังคับบัญชาลูกค้าหรือที่ปรึกษานั่นจะเป็นการสูญเสียของพวกเขาไม่ใช่ของคุณ

— Dilip Sarwate
แหล่งที่มา