นอกจากนี้คุณยังสามารถใกล้เคียงกับฟังก์ชั่นรากที่สองโดยใช้วิธีของนิวตัน วิธีการของนิวตันเป็นวิธีการประมาณที่รากของฟังก์ชั่นอยู่ นอกจากนี้ยังเป็นวิธีการวนซ้ำที่ใช้ผลลัพธ์จากการวนซ้ำก่อนหน้านี้ในการทำซ้ำครั้งถัดไปจนกว่าการบรรจบกัน สมการสำหรับวิธีการของนิวตันในการเดาว่ารูตนั้นเป็นฟังก์ชันให้เดาเริ่มต้นจะถูกกำหนดเป็น:f(x)x0
x1=x0−f(x0)f′(x0)
x1เป็นการคาดเดาครั้งแรกว่ามีที่ใดที่เป็นรูต เราทำการรีไซเคิลสมการและใช้ผลลัพธ์จากการทำซ้ำก่อนหน้านี้จนกว่าคำตอบจะไม่เปลี่ยนแปลง โดยทั่วไปในการพิจารณาการเดาของรูทที่การวนซ้ำให้การทายที่การวนซ้ำถูกกำหนดเป็น:(n+1)n
xn+1=xn−f(xn)f′(xn)
จะใช้วิธีการของนิวตันที่ใกล้เคียงสำหรับรากสมมติว่าเราจะได้รับหมายเลข เช่นการคำนวณรากที่เราต้องคำนวณ เป็นเช่นนี้เราพยายามที่จะหาคำตอบดังกล่าวว่า{a} ตารางทั้งสองฝ่ายและการเคลื่อนย้ายไปทางด้านอื่น ๆ ของอัตราผลตอบแทนสมการ0 ดังนั้นคำตอบของสมการนี้คือและเป็นรากของฟังก์ชัน เช่นนี้ให้เป็นสมการที่เราต้องการหารากของ ด้วยการแทนที่สิ่งนี้ด้วยวิธีของนิวตันและดังนั้น:aa−−√x=a−−√ax2−a=0a−−√f(x)=x2−af′(x)=2x
xn+1=xn−x2n−a2xn
xn+1=12(xn+axn)
ดังนั้นในการคำนวณสแควร์รูทของเราเพียงแค่ต้องคำนวณวิธีการของนิวตันจนกว่าเราจะมาบรรจบกัน อย่างไรก็ตามตามที่ระบุไว้โดย @ robertbristow-johnson การแบ่งเป็นการดำเนินการที่มีราคาแพงมากโดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับไมโครคอนโทรลเลอร์ / DSP ที่มีทรัพยากร จำกัด นอกจากนี้อาจมีกรณีที่การเดาอาจเป็น 0 ซึ่งจะส่งผลให้เกิดข้อผิดพลาดหารด้วย 0 เนื่องจากการดำเนินการหาร เป็นเช่นนี้สิ่งที่เราสามารถทำได้คือการใช้วิธีของนิวตันและแก้ปัญหาสำหรับซึ่งกันและกันฟังก์ชั่นแทนคือ{a} สิ่งนี้จะหลีกเลี่ยงการแบ่งใด ๆ ตามที่เราจะเห็นในภายหลัง กู้หน้าทั้งสองฝ่ายและการเคลื่อนย้ายไปทางด้านซ้ายมือจึงให้0 ดังนั้นทางแก้ปัญหานี้ก็จะเป็นa1x=a−−√a−−√1x2−a=01a√{a}} โดยการคูณด้วยเราจะได้ผลลัพธ์ที่ต้องการ อีกครั้งโดยใช้วิธีของนิวตันเราจึงมี:a
xn+1=xn−f(xn)f′(xn)
xn+1=xn−1(xn)2−a−2(xn)3
xn+1=12(3xn−(xn)3a)
อย่างไรก็ตามมีคำเตือนว่าเราควรพิจารณาเมื่อดูสมการข้างต้น สำหรับรากที่สองการแก้ปัญหาควรเป็นค่าบวกดังนั้นเพื่อให้การวนซ้ำ (และผลลัพธ์) เป็นค่าบวกต้องปฏิบัติตามเงื่อนไขต่อไปนี้:
3xn−(xn)3a>0
3xn>(xn)3a
(xn)2a<3
ดังนั้น:
(x0)2a<3
ดังนั้นด้วยจำนวนที่เราต้องการคำนวณสแควร์รูทของการเดาเริ่มต้นต้องเป็นไปตามเงื่อนไขข้างต้น ในที่สุดสิ่งนี้จะถูกวางไว้บนไมโครคอนโทรลเลอร์เราสามารถเริ่มต้นด้วยค่าใด ๆ ของ (พูด 1) จากนั้นวนซ้ำและลดค่าของจนกว่าเงื่อนไขข้างต้นจะเป็นที่พอใจ โปรดทราบว่าฉันหลีกเลี่ยงการทำการหารเพื่อคำนวณค่าโดยตรงx0x0x0ควรเป็นส่วนที่เป็นการดำเนินการที่มีราคาแพง เมื่อเรามีการคาดเดาเริ่มต้นให้ทำซ้ำตามวิธีของนิวตัน โปรดทราบว่าขึ้นอยู่กับการคาดเดาเริ่มต้นอาจใช้เวลารวมกันสั้นลงหรือนานขึ้น ทุกอย่างขึ้นอยู่กับว่าคุณอยู่ใกล้กับคำตอบจริงมากแค่ไหน คุณสามารถกำหนดจำนวนการวนซ้ำหรือรอจนกว่าความแตกต่างสัมพัทธ์ระหว่างสองรากน้อยกว่าขีด จำกัด บางอย่าง (เช่นหรือมากกว่านั้น)10−6
ในขณะที่แท็กของคุณกำลังมองหาอัลกอริทึมCเราจะเขียนอย่างรวดเร็ว:
#include <stdio.h> // For printf
#include <math.h> // For fabs
void main()
{
float a = 5.0; // Number we want to take the square root of
float x = 1.0; // Initial guess
float xprev; // Root for previous iteration
int count; // Counter for iterations
// Find a better initial guess
// Half at each step until condition is satisfied
while (x*x*a >= 3.0)
x *= 0.5;
printf("Initial guess: %f\n", x);
count = 1;
do {
xprev = x; // Save for previous iteration
printf("Iteration #%d: %f\n", count++, x);
x = 0.5*(3*xprev - (xprev*xprev*xprev)*a); // Find square root of the reciprocal
} while (fabs(x - xprev) > 1e-6);
x *= a; // Actual answer - Multiply by a
printf("Square root is: %f\n", x);
printf("Done!");
}
นี่เป็นการใช้งานขั้นพื้นฐานของวิธีการของนิวตัน โปรดทราบว่าฉันลดการเดาครั้งแรกลงครึ่งหนึ่งจนกว่าเงื่อนไขที่เราพูดถึงก่อนหน้านี้จะพึงพอใจ ฉันพยายามค้นหาสแควร์รูทของ 5 เรารู้ว่านี่เท่ากับ 2.236 หรือประมาณนั้น การใช้โค้ดด้านบนให้ผลลัพธ์ต่อไปนี้:
Initial guess: 0.500000
Iteration #1: 0.500000
Iteration #2: 0.437500
Iteration #3: 0.446899
Iteration #4: 0.447213
Square root is: 2.236068
Done!
โปรดทราบว่าวิธีการของนิวตันคือการหาวิธีการแก้ปัญหาของการแก้ปัญหาซึ่งกันและกันและเราคูณด้วยที่สิ้นสุดจะได้คำตอบสุดท้ายของเรา นอกจากนี้โปรดทราบว่าการเดาเริ่มต้นนั้นเปลี่ยนไปเพื่อให้แน่ใจว่าเกณฑ์ที่ฉันพูดถึงข้างต้นนั้นเป็นที่น่าพอใจ เพื่อความสนุกลองค้นหาสแควร์รูทของ 9876a
Initial guess: 0.015625
Iteration #1: 0.015625
Iteration #2: 0.004601
Iteration #3: 0.006420
Iteration #4: 0.008323
Iteration #5: 0.009638
Iteration #6: 0.010036
Iteration #7: 0.010062
Square root is: 99.378067
Done!
อย่างที่คุณเห็นสิ่งเดียวที่แตกต่างคือต้องมีการคำนวณซ้ำหลายครั้งเพื่อคำนวณสแควร์รูท ยิ่งจำนวนสิ่งที่คุณต้องการคำนวณมากเท่าไหร่ก็จะต้องใช้การทำซ้ำมากขึ้นเท่านั้น
ฉันรู้ว่าวิธีการนี้ได้รับการแนะนำในโพสต์ก่อนหน้านี้ แต่ฉันคิดว่าฉันจะได้รับวิธีการและให้รหัสบางอย่าง!