การทำความเข้าใจพื้นฐานการกรองหลายระดับ

ฉันมีปัญหาในการเข้าใจแนวคิดพื้นฐานบางอย่างของการกรองหลายระดับ ฉันเห็นจากแหล่งต่าง ๆ ที่ว่าการสร้างพื้นฐานของตัวกรองหลายระดับคือการวิเคราะห์แบบ dyadic และการสังเคราะห์

คำถามที่ 1 :

โครงสร้างบล็อกการวิเคราะห์มีลักษณะดังต่อไปนี้โดยที่สัญญาณวงกว้างถูกแบ่งออกเป็นแถบความถี่ต่ำและแถบความถี่สูงแต่ละเส้นมีการตัด FS / 4 (Nyquist / 2) แต่ละวงจะถูกทำลายโดยปัจจัย 2

คุณจะแสดงสัญญาณอย่างถูกต้องในย่านความถี่สูงได้อย่างไรเมื่อมีข้อมูลความถี่สูงกว่าขีด จำกัด Nyquist ของอัตราตัวอย่างใหม่ที่ถูกทำลาย
คำถามที่ 2 :

โครงสร้างบล็อกการวิเคราะห์มีลักษณะดังต่อไปนี้โดยที่สัญญาณย่อยแบนด์ถูกกรองและกรองอีกครั้ง

วัตถุประสงค์ของการกรองที่สองคืออะไร?

filter-bank

— learnvst
แหล่งที่มา

ทฤษฎีบท Nyquist ทั่วไปคือ "คุณต้องมีอย่างน้อยสองตัวอย่างต่อ Hz ของแบนด์วิดท์" หากสัญญาณของคุณไปจาก 999000Hz ถึง 1001000 Hz อัตราตัวอย่างที่ต้องการจะมีเพียง 4kHz แม้ว่าความถี่ทั้งหมดที่เกี่ยวข้องจะสูงกว่ามาก

— ฮิล

ตอนนี้ฉันเห็นว่า "ต่อแบนด์วิดธ์ Hz" เป็นกุญแจสำคัญที่ฉันหายไป

— เรียนรู้

ฉันจะตอบคำถาม 2 ก่อนและหวังว่าจะช่วยอธิบายสิ่งที่เกิดขึ้นกับคำถาม 1

เมื่อคุณสุ่มตัวอย่างสัญญาณเบสแบนด์จะมีชื่อแทนโดยนัยของสัญญาณเบสแบนด์ที่ทวีคูณทวีคูณทั้งหมดของความถี่การสุ่มตัวอย่างดังแสดงในภาพด้านล่าง สัญญาณเบสแบนด์ที่มีสมนาม ภาพที่เป็นของแข็งเป็นสัญญาณเบสแบนด์ต้นฉบับและนามแฝงจะถูกแสดงโดยภาพที่ประ ฉันเลือกสัญญาณ assymetric (เช่นซับซ้อน) เพื่อช่วยสาธิตการผกผันที่เกิดขึ้นที่ทวีคูณของความถี่การสุ่มตัวอย่าง

คุณอาจถามว่า "นามแฝงมีอยู่จริงหรือไม่?" มันเป็นคำถามเชิงปรัชญา ใช่พวกเขามีอยู่ในแง่คณิตศาสตร์เพราะนามแฝงทั้งหมด (รวมถึงสัญญาณเบสแบนด์) แยกไม่ออกจากกัน

เมื่อคุณสุ่มตัวอย่างโดยใส่ค่าศูนย์ระหว่างตัวอย่างดั้งเดิมคุณกำลังเพิ่มอัตราการสุ่มตัวอย่างอย่างมีประสิทธิภาพด้วยอัตราการสุ่มตัวอย่าง ดังนั้นหากคุณสุ่มตัวอย่างเป็นสองเท่า (ใส่หนึ่งศูนย์ระหว่างแต่ละตัวอย่าง) คุณจะเพิ่มอัตราการสุ่มตัวอย่างและอัตรา Nyquist ด้วยปัจจัย 2 ทำให้ภาพด้านล่าง สัญญาณเบสแบนด์แบบ Assymetric ที่ไม่สมบูรณ์

อย่างที่คุณเห็นนามแฝงนัยหนึ่งในรูปภาพก่อนหน้านี้กลายเป็นชัดเจน หากคุณ FFT ตัวอย่างมันจะปรากฏขึ้น หลักฐานที่ไม่เข้มงวดที่การแปลง DFT ไม่ได้เปลี่ยนพื้นฐานให้ไว้ด้านล่าง

ตอนนี้คุณมีนามแฝงที่ชัดเจนสองรายการหากคุณต้องการนามแฝงเบสแบนด์จากนั้นคุณต้องกรองตัวกรองความถี่ต่ำเพื่อกำจัดนามแฝงอื่น ๆ อย่างไรก็ตามบางครั้งผู้คนใช้นามแฝงอื่น ๆ เพื่อทำการมอดูเลตสำหรับพวกเขา ในกรณีนี้คุณจะกรอง high-pass เพื่อกำจัดสัญญาณเบสแบนด์ ฉันหวังว่าจะตอบคำถาม 2

คำถามที่ 1 นั้นเป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับคำถามที่ 2 สมมติว่าคุณอยู่ในสถานการณ์ที่แสดงในภาพที่สองแล้ว มีสองวิธีในการรับสัญญาณเบสแบนด์ที่คุณต้องการ วิธีแรกคือตัวกรอง low-pass (ดังนั้นการกำจัดนามแฝงที่สูงกว่า) และจากนั้น decimating โดยปัจจัยที่สอง นั่นทำให้คุณนึกภาพ # 1

วิธีที่สองคือฟิลเตอร์กรองความถี่สูง (กำจัดนามแฝงเบสแบนด์) แล้วกำจัดโดยใช้สองปัจจัย เหตุผลที่ใช้งานได้คือคุณกำลังทำให้นามแฝงสัญญาณเข้าสู่เบสแบนด์อย่างตั้งใจอีกครั้งเพื่อให้คุณได้ภาพ # 1

ทำไมคุณต้องการที่จะทำอย่างนั้น? เพราะในสถานการณ์ส่วนใหญ่สัญญาณจะไม่เหมือนกันดังนั้นคุณสามารถเลือกสัญญาณที่คุณต้องการหรือทำทั้งสองอย่างแยกกัน

หากคุณกำลังศึกษาการประมวลผลแบบหลายอัตราฉันขอแนะนำอย่างยิ่งให้รับ "การประมวลผลสัญญาณหลายระดับสำหรับระบบสื่อสาร" โดย Frederic Harris เขาทำงานได้ดีมากในการอธิบายทฤษฎีโดยไม่ละเลยคณิตศาสตร์และให้คำแนะนำเชิงปฏิบัติมากมาย

แก้ไข: จงใจสุ่มตัวอย่างสัญญาณที่น้อยกว่าอัตรา Nyquist เรียกว่าundersampling ต่อไปนี้เป็นความพยายามของฉันในการอธิบายทางคณิตศาสตร์ว่าทำไม FFT จะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อคุณยกตัวอย่าง "x [n]" เป็นชุดตัวอย่างดั้งเดิม "u" คือปัจจัยการยกตัวอย่างและ "x '[n]" เป็นชุดตัวอย่างที่ยกตัวอย่าง

\begin{array}{rcl} X [k] & = & \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- i 2 π k n / N} \\ X^{'} [k] & = & \sum_{n = 0}^{u N - 1} x^{'} [n] e^{- i 2 π k n / u N}, { & x & ^{'} [n] = 0, n \neq m u, m \in (0.. N - 1) \\ x & ^{'} [n] = x [n / u], n = m u \\ = & \sum_{n = 0}^{N - 1} x^{'} [u n] e^{- i 2 π k u n / u N} \\ = & \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- i 2 π k n / N} \\ = & X [k] \end{array}

$\begin{eqnarray*} X[k] &=& \sum_{n=0}^{N-1} x[n]e^{-i2\pi kn/N}\\ X'[k] &=& \sum_{n=0}^{uN-1} x'[n]e^{-i2\pi kn/uN} , \{ &x&'[n] = 0, n \neq mu, m \in (0..N-1)\\ &x&'[n] = x[n/u], n = mu\\ &=& \sum_{n=0}^{N-1} x'[un]e^{-i2\pi kun/uN}\\ &=& \sum_{n=0}^{N-1} x[n]e^{-i2\pi kn/N}\\ &=&X[k] \end{eqnarray*}$

ขออภัยในการจัดรูปแบบที่น่าเกลียด ฉันเป็น LaTex noob

แก้ไข 2: ฉันควรจะชี้ให้เห็นว่า DFT ของ x [n] และ x '[n] ไม่เหมือนกันอย่างแท้จริง อัตราตัวอย่างสูงกว่าซึ่งตามที่ฉันอธิบายไว้ในส่วนก่อนหน้าของคำตอบทำให้นามแฝง "ถูกเปิดเผย" ฉันพยายามที่จะชี้ให้เห็นในลักษณะที่ไม่ใช่นักคณิตศาสตร์ของฉันที่ DFT เป็นนอกเหนือจากอัตราตัวอย่างเดียวกัน

— จิมนวล
แหล่งที่มา

นี่คือคำตอบที่ยอดเยี่ยม ขอบคุณ. ชัดเจนมากอย่างแน่นอน

— Learnvst

U

$U$

@ JasonR ฉันเชื่อว่าการแก้ไขนั้นถูกต้องโดยทั่วไปแม้ว่าฉันจะไม่ได้ชี้ให้เห็นว่าการเปลี่ยนแปลงของอัตราตัวอย่างซึ่งเป็นการเปลี่ยนแปลงที่สำคัญ ฉันเชื่อว่าสิ่งที่เราแตกต่างคือคุณกำลังคิดเกี่ยวกับมันจากมุมมองปกติซึ่งทำให้สิ่งที่เกิดขึ้นดูเหมือน "การบีบอัด" และ "การทำซ้ำ" ในขณะที่ฉันพยายามอธิบายในส่วนเริ่มต้นของคำตอบของฉันแม้ว่าจะมีวิธีอื่นที่จะมองว่าเราแค่เพิ่มอัตราตัวอย่างซึ่งทำให้นามแฝงอื่น ๆ ถูกเปิดเผย

— Jim Clay

@ JasonR หากฉันทำผิดในสมการโปรดชี้ไปที่ฉันและฉันยินดีที่จะแก้ไข ขอบคุณ

— Jim Clay