เหตุใด DFT ถือว่าสัญญาณที่แปลงเป็นระยะ?

10

ในหนังสือประมวลผลสัญญาณหลายเล่มอ้างว่า DFT ถือว่าสัญญาณที่แปลงเป็นระยะ (และนี่คือเหตุผลว่าทำไมการรั่วไหลของสเปกตรัมเช่นอาจเกิดขึ้นได้)

ทีนี้ถ้าคุณดูนิยามของ DFT ก็ไม่มีข้อสันนิษฐานแบบนั้น อย่างไรก็ตามในบทความ Wikipediaเกี่ยวกับการแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง (DTFT) มีการระบุไว้ว่า

เมื่อมีการป้อนข้อมูลตามลำดับ $x[n]$ คือ $N$ -periodic, Eq.2 สามารถลดลงเป็นการแปลงฟูริเยร์โดยสิ้นเชิง (DFT)

ดังนั้นสมมติฐานนี้เกิดขึ้นจาก DTFT หรือไม่
ที่จริงแล้วเมื่อคำนวณ DFT ฉันจริง ๆ แล้วทำการคำนวณ DTFT ด้วยการสันนิษฐานว่าสัญญาณเป็นระยะ?

discrete-signals signal-analysis dft

— user10839
แหล่งที่มา

เนื่องจาก DFT X [k] ของ x [n] เป็นช่วงแรกของ Discrete Fourier Series (DFS) ของสัญญาณคาบ xp [n] ซึ่งมีคาบแรกเป็น x [n]

— Fat32

1

ดูเหมือนว่าฉันจะต้องเขียนคำตอบที่ไม่เห็นด้วยกับเรื่องนี้ DFT ถือว่าสัญญาณที่แปลงเป็นคาบเพราะมันเป็นชุดของฟังก์ชั่นพื้นฐานที่เหมาะสมกับสัญญาณที่ถูกแปลงซึ่งทั้งหมดนั้นเป็นคาบ

— robert bristow-johnson

1

DFT เป็นเพียงการแสดงออกอย่างง่ายของ DFS ดังนั้นจึงมีสมมติฐานเป็นระยะ ๆ

— lxg

12

มีคำตอบที่ดีอยู่แล้ว แต่ฉันยังรู้สึกอยากเพิ่มอีกคำอธิบายเพราะฉันคิดว่าหัวข้อนี้สำคัญอย่างยิ่งสำหรับความเข้าใจในการประมวลผลสัญญาณดิจิตอลในหลาย ๆ ด้าน

ก่อนอื่นสิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่า DFT ไม่ได้ 'สันนิษฐาน' เป็นระยะของสัญญาณที่จะถูกแปลง DFT นั้นใช้กับสัญญาณที่มีความยาว จำกัด $N$ และค่าสัมประสิทธิ์ DFT ที่สอดคล้องกันถูกกำหนดโดย

\begin{matrix} (1) & X [k] = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j 2 π n k / N}, k = 0, 1, \dots, N - 1 \end{matrix}

$X[k]=\sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j2\pi nk/N},\quad k=0,1,\ldots,N-1\tag{1}$

จาก (1) เป็นที่ชัดเจนว่ามีเพียงตัวอย่างของ $x[n]$ ในช่วงเวลา $[0,N-1]$ ได้รับการพิจารณาจึงไม่มีการสันนิษฐานเป็นระยะ ในทางกลับกันค่าสัมประสิทธิ์ $X[k]$ สามารถตีความได้ว่าเป็นค่าสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ของความต่อเนื่องเป็นระยะของสัญญาณ $x[n]$ . สามารถเห็นได้จากการแปลงผกผัน

\begin{matrix} (2) & x [n] = \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] e^{j 2 π n k / N} \end{matrix}

$x[n]=\sum_{k=0}^{N-1}X[k]e^{j2\pi nk/N}\tag{2}$

ซึ่งคำนวณ $x[n]$ อย่างถูกต้องในช่วงเวลา $[0,N-1]$ แต่มันยังคำนวณความต่อเนื่องเป็นระยะนอกช่วงเวลานี้เนื่องจากด้านขวามือของ (2) เป็นคาบที่มีคาบ $N$ . คุณสมบัตินี้มีอยู่ในคำจำกัดความของ DFT แต่ไม่จำเป็นต้องรบกวนเราเพราะโดยปกติเราสนใจเฉพาะช่วงเวลาเท่านั้น $[0,N-1]$ .

พิจารณา DTFT ของ $x[n]$

\begin{matrix} (3) & X (ω) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] e^{- j n ω} \end{matrix}

$X(\omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-jn\omega}\tag{3}$

เราสามารถดูได้โดยเปรียบเทียบ (3) กับ (1) ว่าถ้า $x[n]$ เป็นลำดับที่แน่นอนในช่วงเวลา $[0,N-1]$ ค่าสัมประสิทธิ์ DFT $X[k]$ เป็นตัวอย่างของ DTFT $X(\omega)$ :

\begin{matrix} (4) & X [k] = X (2 π k / N) \end{matrix}

$X[k]=X(2\pi k/N)\tag{4}$

ดังนั้นการใช้ DFT หนึ่งครั้ง (แต่ไม่แน่นอนเพียงอันเดียว) คือการคำนวณตัวอย่างของ DTFT แต่งานนี้เฉพาะในกรณีที่สัญญาณที่จะวิเคราะห์เป็นระยะเวลา จำกัด โดยปกติแล้วสัญญาณความยาวอัน จำกัด นี้จะถูกสร้างโดยการเปิดสัญญาณที่ยาว และเป็นหน้าต่างที่ทำให้เกิดการรั่วไหลของสเปกตรัม

เป็นคำพูดสุดท้ายโปรดทราบว่า DTFT ของความต่อเนื่องเป็นระยะ $\tilde{x}[n]$ ของลำดับที่แน่นอน $x[n]$ สามารถแสดงในรูปของสัมประสิทธิ์ DFT ของ $x[n]$ :

\begin{matrix} (5) & \tilde{x} [n] = \sum_{k = - \infty}^{\infty} x [n - k N] \end{matrix}

$\tilde{x}[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[n-kN]\tag{5}$

\begin{matrix} (6) & \tilde{X} (ω) = \frac{2 π}{N} \sum_{k = - \infty}^{\infty} X [k] δ (ω - 2 π k / N) \end{matrix}

$\tilde{X}(\omega)=\frac{2\pi}{N}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X[k]\delta(\omega-2\pi k/N)\tag{6}$

แก้ไข:ความจริงที่ว่า $\tilde{x}[n]$ และ $\tilde{X}(\omega)$ ที่ระบุข้างต้นเป็นคู่แปลง DTFT สามารถแสดงได้ดังนี้ สิ่งแรกที่ทราบว่า DTFT ของหวีแรงกระตุ้นเวลาไม่ต่อเนื่องเป็นหวี Dirac:

\begin{matrix} (7) & \sum_{k = - \infty}^{\infty} δ [n - k N] ⟺ \frac{2 π}{N} \sum_{k = - \infty}^{\infty} δ (ω - 2 π k / N) \end{matrix}

$\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta[n-kN]\Longleftrightarrow\frac{2\pi}{N}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-2\pi k/N)\tag{7}$

เป็นลำดับ $\tilde{x}[n]$ สามารถเขียนได้ตามความเชื่อของ $x[n]$ ด้วยหวีแรงกระตุ้น:

\begin{matrix} (8) & \tilde{x} [n] = x [n] ⋆ \sum_{k = - \infty}^{\infty} δ [n - k N] \end{matrix}

$\tilde{x}[n]=x[n]\star \sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta[n-kN]\tag{8}$

เนื่องจากการแปลงสอดคล้องกับการคูณในโดเมน DTFT, DTFT $\tilde{X}(\omega)$ ของ $\tilde{x}[n]$ ได้รับจากการคูณของ $X(\omega)$ ด้วยหวี Dirac:

\begin{matrix} (9) & \begin{aligned} \tilde{X} (ω) & = X (ω) \cdot \frac{2 π}{N} \sum_{k = - \infty}^{\infty} δ (ω - 2 π k / N) \\ = \frac{2 π}{N} \sum_{k = - \infty}^{\infty} X (2 π k / N) δ (ω - 2 π k / N) \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align}\tilde{X}(\omega)&=X(\omega)\cdot\frac{2\pi}{N}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-2\pi k/N)\\&=\frac{2\pi}{N}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X(2\pi k/N)\delta(\omega-2\pi k/N)\end{align}\tag{9}$

รวม $(9)$ กับ $(4)$ สร้างผลลัพธ์ $(6)$ .

— แมตต์แอล
แหล่งที่มา

ลูกศรลงคำตอบนี้ด้วยเหตุผลเดียวกันฉันมีคำตอบล่าสุดของ @ hotpaw2 ในคำสั่งนี้: "จาก (1) เป็นที่ชัดเจนว่ามีเพียงตัวอย่างของ $x[n]$ ในช่วงเวลา $[0,N−1]$ ได้รับการพิจารณาดังนั้นจึงไม่มีการสันนิษฐานระยะเวลา "ข้อสรุปไม่ได้ติดตามจากสถานที่ตั้ง

— robert bristow-johnson

4

@ robertbristow-johnson: ใช่ ให้ฉัน

N

$N$ ตัวอย่างต่อเนื่องและฉันให้ DFT กับคุณ ฉันไม่จำเป็นต้องคิดอะไรเกี่ยวกับสัญญาณนอกช่วง

[0, N - 1]

$[0,N-1]$ ไม่แม้แต่มีอยู่จริง นี่เป็นสิ่งเดียวที่ฉันอ้างในประโยคนั้นและมันเป็นความจริงอย่างชัดเจน สำหรับการคำนวณ DFT ฉันไม่จำเป็นต้องรู้อะไรนอกจากค่าในช่วงเวลา

[0, N - 1]

$[0,N-1]$ . ไม่แน่ใจว่าคุณจะเข้าใจผิดหรืออ่านคำสั่งของฉันผิดได้อย่างไร หากเป็นปัญหาการกำหนดสูตรฉันยินดีที่จะชี้แจงประโยคของฉัน แต่เนื้อหาที่ชาญฉลาดมันเป็นเรื่องเล็กน้อย

— Matt L.

4

อ่านคำตอบอื่น ๆ ด้านล่างและคำตอบของฉันที่หัวข้ออื่น มันไม่เกี่ยวกับสิ่งที่คุณคิด

x [n]

$x[n]$ ด้านนอกของ

0 \leq n \leq N - 1

$0 \le n \le N-1$ . มันเกี่ยวกับการแปลง "สมมติ" (ถ้าเราอนุญาตให้มนุษย์เปลี่ยนรูปเล็กน้อย) เกี่ยวกับ

x [n]

$x[n]$ ด้านนอกของ

0 \leq n \leq N - 1

$0 \le n \le N-1$ . เราสามารถทราบได้ว่าการแปลงรูปแบบใดเมื่อเราเรียกใช้การดำเนินการในโดเมนหนึ่งที่เปลี่ยนโดเมนอื่นด้วยจำนวนเต็ม

— robert bristow-johnson

@MattL (9) ควรอ่าน

= \frac{2 π}{N} \sum_{k = - \infty}^{\infty} X [k] \cdot δ (ω - 2 π k / N)

$=\dfrac{2\pi}{N} \sum_{k=-\infty}^{\infty}X[k]\cdot \delta\left(\omega-2\pi k /N\right)$ แทน

= \frac{2 π}{N} \sum_{k = - \infty}^{\infty} X (2 π k / N) \cdot δ (ω - 2 π k / N)

$=\dfrac{2\pi}{N} \sum_{k=-\infty}^{\infty}X(2\pi k/ N)\cdot \delta\left(\omega-2\pi k /N\right)$

— jomegaA

@jomegaA: ไม่มีทั้งสองกรณี ตามที่ระบุไว้ในประโยคสุดท้ายของคำตอบของฉันผลลัพธ์สุดท้าย (6) สรุปได้จากการรวม (9) กับ (4) ดังนั้นแน่นอน

X [k] = X (2 π k / N)

$X[k]=X(2\pi k/N)$ แต่ใน (9) มันมาจาก DTFT

X (ω)

$X(\omega)$ . และเกี่ยวกับปัจจัยการปรับ

2 π / N

$2\pi/N$ แน่นอนมันต้องอยู่ที่นั่น อย่าสับสนนิพจน์ที่ใช้

ω

$\omega$ และ

f

$f$ พวกเขามีปัจจัยที่แตกต่างกัน

— Matt L.

8

มันมาจากคำจำกัดความของสัญญาณโดเมนเวลา:

x [n] = \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] e^{\frac{2 π i n k}{N}}

$x \left[ n \right] = \sum_{k = 0}^{N - 1} X \left[ k \right] {e}^{\frac{2 \pi i n k}{N}}$

คุณสามารถดูได้จากนิยามที่ว่า $x \left[ n \right] = x \left[ n + N \right]$ .
ในทางกลับกัน DFT สร้างตัวอย่าง N ของสัญญาณได้อย่างสมบูรณ์แบบ
ดังนั้นคุณสามารถสรุปได้ว่ามันจะมีความต่อเนื่องเป็นระยะ

อีกมุมมองหนึ่งน่าจะมองว่า DFT เป็นอนุกรมฟูเรียร์แบบไม่ต่อเนื่องแบบ จำกัด (อันที่จริงแล้วดูที่Discrete Fourier Series - DFS ) ซึ่งแน่นอนว่าสัญญาณเป็นระยะ (สรุปรวมของสัญญาณที่มีระยะเวลา $T$ เป็นสัญญาณที่มีจุด $T$ )

— Royi
แหล่งที่มา

2

ฉันไม่เห็นว่ามันมาจากคำจำกัดความ

— user10839

1

@ user10839: แค่ประเมิน

x [n + N]

$x[n+N]$ และคุณจะเห็นว่ามันเท่ากับ

x [n]

$x[n]$ . ตามที่ระบุไว้ในคำตอบ DFT เป็นเพียงชุดฟูริเยร์ของสัญญาณโดเมนเวลา ความยาวที่แน่นอนของสัญญาณโดเมนเวลาถือเป็นช่วงเวลาพื้นฐาน

— Matt L.

@ user10839 เพียงแค่เสียบเข้ากับสมการ เลขชี้กำลังสามารถกำหนดได้ด้วยฟังก์ชัน Cosine และ Sine ซึ่งสามารถดูได้ในช่วงเวลา

\frac{n k}{N}

$\frac{nk}{N}$ .

— Royi

1

DFT ไม่ใช่ DFS นี่เป็นเรื่องอวดดี แต่ DFT ให้ค่าสัมประสิทธิ์อนุกรมฟูริเยร์แก่คุณ สิ่งสำคัญคือให้สังเกตว่า DFT นั้นเหมือนกับการแปลงเชิงเส้นอื่น ๆ มันคือการคูณเมทริกซ์ เมทริกซ์เป็นแบบออโธเทนไนซ์ซึ่งทำให้ดี นอกจากนี้ยังสามารถแสดงให้เห็นว่าค่าสัมประสิทธิ์การส่งออกเท่ากันของการขยายตัวอนุกรมฟูริเยร์ที่สอดคล้องกันของข้อมูล แต่การแปลงฟูริเยร์ไม่ได้เป็นอนุกรมฟูริเยร์ (ประเภทไม่ตรงกัน: p)

— Thang

@thang ฉันไม่รู้ว่าคุณหมายถึงอะไร DFT คือ DFS พวกเขาก็เหมือน ๆ กัน. มันง่ายที่จะเห็นว่า ให้ความสนใจนี่คือ Discrete Fourier Series ไม่ใช่ซีรี่ส์ Fourier (พร้อมอินทิกรัล) ดูที่นี่en.wikipedia.org/wiki/Discrete_Fourier_seriesและดูว่าเป็น DFT

— Royi

5

มันเป็นสมมติฐานที่ไม่จำเป็น (และมักจะเป็นเท็จ) DFT เป็นเพียงการแปลงพื้นฐานของเวกเตอร์ จำกัด

เวกเตอร์พื้นฐานของ DFT เพิ่งเกิดขึ้นเป็นเกร็ดเล็กเกร็ดน้อยของฟังก์ชั่นธาตุที่ขยายได้ไม่สิ้นสุด แต่ไม่มีสิ่งใดที่เกี่ยวกับอินพุตหรือผลลัพธ์ DFT เป็นระยะโดยเนื้อแท้เว้นแต่คุณจะขยายเวกเตอร์พื้นฐานนอกรูรับแสง DFT การวิเคราะห์สัญญาณหลายรูปแบบไม่จำเป็นต้องมีส่วนขยายหรือข้อสันนิษฐานใด ๆ นอกหน้าต่างตัวอย่างหรือเวกเตอร์ข้อมูล จำกัด

สิ่งประดิษฐ์ "การรั่วไหล" ใด ๆ ก็สามารถสันนิษฐานได้ว่ามาจากการบิดของหน้าต่างสี่เหลี่ยมเริ่มต้นที่มีสัญญาณที่ไม่ได้เป็นระยะหรือไม่เป็นระยะหรือไม่รู้จัก สิ่งนี้เหมาะสมกว่าเมื่อวิเคราะห์หน้าต่าง FFT ที่ซ้อนทับกันซึ่งการสันนิษฐานของการเป็นระยะ ๆ นอกหน้าต่าง DFT หรือ FFT ใด ๆ อาจขัดแย้งกับข้อมูลในหน้าต่างอื่น ๆ

ช่วงเวลาอาจทำให้คณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับ DFT ไปยัง DTFT เวไนยมากขึ้น แต่ความสัมพันธ์ใด ๆ กับ DTFT อาจหรืออาจไม่จำเป็นเมื่อใช้ FFT จริงสำหรับการประมวลผลสัญญาณ (ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติการแปลงฟูริเยร์ที่จำเป็นสำหรับการวิเคราะห์วิธีการประมวลผลเพิ่มเติม)

— hotpaw2
แหล่งที่มา

ลูกศรลงด้วยเหตุผลเดียวกันกับที่ลูกศรชี้ลงคำตอบล่าสุดของคุณเกี่ยวกับเรื่องนี้

— robert bristow-johnson

5

ตกลงคำตอบของฉันจะค่อนข้างแตกต่างจากคำตอบอื่น ๆ คำตอบของฉันยอมรับหลักฐานของคำถามแทนที่จะปฏิเสธหลักฐานของคำถาม

เหตุผลที่ DFT "ถือว่า" สัญญาณอินพุต (สัญญาณที่จะถูกแปลงสิ่งที่ฉันถือว่า OP หมายถึงโดย "transformed สัญญาณ") เป็นระยะคือเพราะ DFT เหมาะกับการรวบรวมฟังก์ชั่นพื้นฐานของสัญญาณอินพุตซึ่งทั้งหมดนั้น เป็นระยะ ๆ

พิจารณาฟังก์ชั่นพื้นฐานที่แตกต่าง:

g_{k} (u) ≜ u^{k} 0 \leq k < N

$g_k(u) \triangleq u^k \quad \quad 0 \le k < N$

และได้รับ $N$ ตัวอย่างอินพุต:

x [n] 0 \leq n < N

$x[n] \quad \quad 0 \le n < N$

เราสามารถใส่ผลรวมเชิงเส้นของฟังก์ชันพื้นฐานเหล่านี้ $g_k(n)$ ไปยังลำดับการป้อนข้อมูล

\begin{aligned} x [n] & = \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] g_{k} (n) \\ = \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] n^{k} \end{aligned}

$\begin{align} x[n] & = \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] g_k(n) \\ & = \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] n^k \\ \end{align}$

ด้วยการเลือกสัมประสิทธิ์อย่างรอบคอบ $X[k]$ . กำลังคำนวณทั้งหมด $X[k]$ ต้องแก้ $N$ สมการเชิงเส้นด้วย $N$ ราชวงศ์ คุณสามารถใช้การกำจัดแบบเกาส์เพื่อทำมันได้

กับ $N$ ค่าที่ถูกต้องสำหรับ $X[k]$ สำหรับ $0 \le k \le N-1$ เราสามารถตรวจสอบให้แน่ใจว่าผลรวมของการใช้พลังงานเหล่านี้ (ซึ่งก็คือ $(N-1)$ พหุนามลำดับที่สาม) จะประเมินตรงกับ $x[n]$ แต่ละ $n$ ดังนั้น $0 \le n \le N-1$ .

ตอนนี้จะเกิดอะไรขึ้นถ้าคุณใช้การรวมนั้นเพื่อก้าวข้ามช่วงเวลาของ $0 \le n \le N-1$ ? คุณสามารถประเมินมันเพื่ออะไรก็ได้ $n$ . คุณจะสังเกตเห็นว่าพฤติกรรมของฟังก์ชั่นนั้นจะเป็นของ $(N-1)$ พหุนามลำดับที่สามเพราะนั่นคือสิ่งที่มันเป็น สำหรับ $n$ ใหญ่เพียงพอเฉพาะกำลังสูงสุดที่มีค่าสัมประสิทธิ์ไม่เป็นศูนย์เท่านั้นที่จะกำหนดแนวโน้มสำหรับการประมาณค่า $x[n]$ .

ดังนั้นตอนนี้ด้วย DFT เราจึงปรับฟังก์ชั่นพื้นฐานให้เข้ากับลำดับการป้อนข้อมูลของเรา:

g_{k} (u) ≜ \frac{1}{N} e^{+ j 2 π k u / N} 0 \leq k < N

$g_k(u) \triangleq \frac{1}{N} e^{+j 2 \pi k u/N} \quad \quad 0 \le k < N$

\begin{aligned} x [n] & = \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] g_{k} (n) \\ = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] e^{+ j 2 π n k / N} \end{aligned}

$\begin{align} x[n] & = \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] g_k(n) \\ & = \frac{1}{N} \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] e^{+j2\pi n k/N} \\ \end{align}$

และค่าสัมประสิทธิ์ $X[k]$ สามารถแก้ไขได้และเป็น:

X [k] = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j 2 π n k / N}

$X[k] = \sum\limits^{N-1}_{n=0} x[n] \ e^{-j2\pi n k/N}$

ตำแหน่งของที่ $\frac{1}{N}$ เป็นเรื่องของการประชุม ฉันกำลังวางไว้ในที่ที่วรรณกรรมส่วนใหญ่ใส่ $\frac{1}{N}$ ปัจจัย. มันอาจถูกลบออกจาก $x[n]$ สมการและใส่ใน $X[k]$ สมการแทน หรือ "ครึ่ง" ของมัน ( $\sqrt{\frac{1}{N}}$ ) สามารถวางด้วยสมการทั้งสอง มันเป็นเพียงเรื่องของการประชุม

แต่ที่นี่เรามีชุดฟังก์ชั่นพื้นฐานที่มีคาบเป็นระยะ $N$ ไปที่เดิม $x[n]$ . ดังนั้นแม้ว่า $x[n]$ มาจากลำดับที่นานกว่านั้นไม่ได้เป็นระยะ DFT กำลังพิจารณาว่า $x[n]$ คือผลรวมของฟังก์ชันพื้นฐานแต่ละอย่างที่มีคาบเป็นระยะ $N$ . หากคุณรวมฟังก์ชันตามช่วงเวลาจำนวนมากฟังก์ชันทั้งหมดที่มีช่วงเวลาเดียวกันผลรวมต้องเป็นงวดด้วยช่วงเวลาเดียวกัน

— โรเบิร์ตบริสโต - จอห์นสัน
แหล่งที่มา

สำหรับน้อยทะเลาะเพิ่มเติมที่ฉันโต้แย้งความคิดที่ว่าผิวเผินไม่จำเป็นต้องขยายระยะข้อมูลที่ส่งผ่านไปมันโปรดดูคำตอบก่อนหน้านี้จากฉัน ฉันจะไม่ทำซ้ำที่นี่

— robert bristow-johnson

1

DFT ไม่ต่อเนื่อง DTFT เป็นแบบต่อเนื่อง เราสามารถรับ DFT จาก DTFT โดยการสุ่มตัวอย่างด้วยพัลส์รถไฟในช่วงเวลาที่เหมาะสมซึ่งอันที่จริงแล้วเท่ากับการคูณมันด้วยพัลส์รถไฟ การคูณในโดเมนการแปลงเท่ากับการโน้มน้าวใจในโดเมนแบบไม่ต่อเนื่องนี่หมายถึงสัญญาณเป็นระยะ

— ผู้เรียน
แหล่งที่มา

DTFT ต่อเนื่องหรือไม่ มาทำไม

— jojek

2

ผลลัพธ์ของ DTFT นั้นต่อเนื่อง (เป็นความถี่)

— Deve

แน่นอน - คุณควรระบุให้ชัดเจนเพื่อหลีกเลี่ยงความเข้าใจผิดและให้สมการที่เพียงพอ

— jojek

@jojek Thats จริงผมยังคิดว่าคำตอบนี้อาจจะดีขึ้นโดยสมการบาง

— Deve

1

ฉันจะเพิ่มรายละเอียดเพิ่มเติมในไม่ช้า

— ผู้เรียน

0

เฉพาะ DFT เท่านั้นที่ใช้งานได้จริงในโลกดิจิทัลที่ไม่ต่อเนื่องเนื่องจากมีการสันนิษฐานเป็นระยะ ๆ ในทั้งสองโดเมน (ถ้าคุณเรียกมันว่าอย่างนั้น) เพราะสัญญาณที่ไม่เป็นระยะในโดเมนหนึ่งทำให้เกิดสัญญาณต่อเนื่องในอีกโดเมนหนึ่งและคุณสามารถเก็บสัญญาณไม่ต่อเนื่องในหน่วยความจำดิจิตอล ดังนั้นคุณต้องสมมติว่าสัญญาณเป็นระยะ ๆ ในทั้งสองโดเมนเพื่อให้แยกออกจากทั้งสองโดเมน

เมื่อคุณคำนวณ DTFT คุณจะได้รับสัญญาณต่อเนื่องในโดเมนความถี่เป็นเอาท์พุท
ฉันไม่คิดว่าคุณจะใช้ขั้นตอนเดียวกันเมื่อคุณคำนวณ DFT ในทางปฏิบัติ เมื่อคุณคำนวณทั้ง DTFT และ DFT คุณจะเข้าใจว่าการคำนวณการแปลงทั้งสองเป็นเรื่องราวที่แตกต่างกัน

— แซมอยากรู้อยากเห็น
แหล่งที่มา

0

เนื่องจากสัญญาณเป็นระยะสัญญาณเปลี่ยนเวลาจึงไม่เปลี่ยนขนาดที่แน่นอนของโดเมนความถี่

X [k] = \sum_{k = 0}^{N - 1} x [n] e^{\frac{2 π i n k}{N}}

$X \left[ k \right] = \sum_{k = 0}^{N - 1} x \left[ n \right] {e}^{\frac{2 \pi i n k}{N}}$

e^{\frac{- 2 π i D k}{N}} X [k] = \sum_{k = 0}^{N - 1} x [n - D] e^{\frac{2 π i n k}{N}} e^{\frac{- 2 π i D k}{N}}

${e}^{\frac{-2 \pi i D k}{N}}X \left[ k \right] = \sum_{k = 0}^{N - 1} x \left[ n - D \right] {e}^{\frac{2 \pi i n k}{N}}{e}^{\frac{-2 \pi i D k}{N}}$

ยังไงก็ไม่มีอะไรหยุดคุณจากการรับ FFT ของสัญญาณที่ไม่ได้เป็นระยะ ๆ แต่ก็มีการใช้งานได้จริงเพียงเล็กน้อยหากไม่มีการแปลงใด ๆ ทำงาน

— FreedomToWin
แหล่งที่มา