การคำนวณ PDF ของรูปคลื่นจากตัวอย่าง

เมื่อไม่นานมานี้ฉันได้ลองวิธีต่างๆในการวาดรูปคลื่นดิจิตอลและหนึ่งในสิ่งที่ฉันได้ลองก็คือแทนที่จะเป็นภาพเงามาตรฐานของซองขนาดแอมพลิจูดเพื่อแสดงมันเหมือนออสซิลโลสโคป นี่คือลักษณะของไซน์และคลื่นสแควร์:

วิธีที่ไร้เดียงสาในการทำเช่นนี้คือ:

1. แบ่งไฟล์เสียงเป็นก้อนเดียวต่อพิกเซลแนวนอนในภาพออก
2. คำนวณฮิสโตแกรมของแอมพลิจูดของตัวอย่างสำหรับแต่ละอัน
3. พล็อตฮิสโตแกรมโดยความสว่างเป็นคอลัมน์ของพิกเซล

มันสร้างบางสิ่งเช่นนี้

วิธีนี้ใช้งานได้ดีหากมีตัวอย่างจำนวนมากต่อชิ้นและความถี่ของสัญญาณไม่เกี่ยวข้องกับความถี่ในการสุ่มตัวอย่าง แต่ไม่เช่นนั้น หากความถี่สัญญาณเป็นตัวอย่างที่แน่นอนของความถี่การสุ่มตัวอย่างตัวอย่างจะเกิดขึ้นที่แอมพลิจูดเดียวกันในแต่ละรอบและฮิสโทแกรมจะมีเพียงไม่กี่จุดแม้ว่าสัญญาณที่สร้างขึ้นจริงจะอยู่ระหว่างจุดเหล่านี้ ชีพจรไซน์นี้ควรราบเรียบเท่าที่อยู่ด้านบนซ้าย แต่ไม่ใช่เพราะมันคือ 1 kHz และตัวอย่างจะเกิดขึ้นรอบ ๆ จุดเดียวกันเสมอ:

ฉันพยายามอัปแซมปลิงเพื่อเพิ่มจำนวนคะแนน แต่มันไม่สามารถแก้ปัญหาได้เพียงช่วยให้สิ่งต่าง ๆ ราบรื่นในบางกรณี

สิ่งที่ฉันชอบคือวิธีการคำนวณPDF ที่แท้จริง(ความน่าจะเป็นเทียบกับแอมพลิจูด) ของสัญญาณที่สร้างใหม่อย่างต่อเนื่องจากตัวอย่างดิจิทัล (แอมพลิจูดเทียบกับเวลา) ฉันไม่รู้ว่าจะใช้อัลกอริธึมอะไรสำหรับเรื่องนี้ โดยทั่วไปรูปแบบไฟล์ PDF ของฟังก์ชั่นเป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผัน

PDF ของ sin (x): $\frac{d}{dx} \arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

แต่ฉันไม่ทราบวิธีคำนวณสิ่งนี้สำหรับคลื่นที่อินเวอร์สเป็นฟังก์ชันหลายค่าหรือวิธีที่รวดเร็ว แยกมันออกเป็นกิ่งไม้และคำนวณค่าผกผันของแต่ละตัวนำอนุพันธ์มารวมกัน แต่มันค่อนข้างซับซ้อนและอาจเป็นวิธีที่ง่ายกว่า

"PDF ของข้อมูลที่ถูกสอดแทรก" นี้ยังใช้กับความพยายามที่ฉันทำเพื่อประมาณความหนาแน่นของเคอร์เนลของแทร็ก GPS มันควรจะเป็นรูปวงแหวน แต่เนื่องจากมันเป็นเพียงการดูตัวอย่างและไม่พิจารณาจุดแทรกระหว่างตัวอย่าง KDE จึงดูคล้ายกับโคกมากกว่าวงแหวน หากตัวอย่างเป็นสิ่งที่เรารู้แล้วนี่คือสิ่งที่ดีที่สุดที่เราสามารถทำได้ แต่ตัวอย่างไม่ใช่สิ่งที่เรารู้ เรารู้ด้วยว่ามันมีเส้นทางระหว่างตัวอย่าง สำหรับ GPS นั้นไม่มีการสร้าง Nyquist ใหม่ที่สมบูรณ์แบบเหมือนมีสัญญาณเสียงแบบไม่ จำกัด band แต่ยังมีแนวคิดพื้นฐานที่ใช้กับการคาดเดาในฟังก์ชั่นการแก้ไข

สอดแทรกอัตราเดิมหลายเท่า (เช่น 8x เกินพิกัด) วิธีนี้ช่วยให้คุณสามารถรับสัญญาณเชิงเส้นเป็นเส้นตรง สัญญาณนี้จะมีข้อผิดพลาดน้อยมากเมื่อเทียบกับความละเอียดที่ไม่มีที่สิ้นสุดบาปต่อเนื่อง (x) / x การแก้ไขของรูปคลื่น

สมมติว่าทุกคู่ของค่าที่เกินตัวอย่างมีเส้นต่อเนื่องจากค่าหนึ่งไปยังอีก ใช้ค่าทั้งหมดระหว่าง สิ่งนี้จะช่วยให้คุณสามารถแบ่งแนวนอนบาง ๆ ชิ้นจาก y1 ถึง y2 เพื่อรวบรวมเป็นความละเอียด PDF โดยพลการ ความน่าจะเป็นแต่ละชิ้นสี่เหลี่ยมจะต้องถูกปรับอัตราส่วนเป็นพื้นที่ 1 / nsamples

การใช้เส้นแบ่งระหว่างกลุ่มตัวอย่างมากกว่ากลุ่มตัวอย่างเองจะป้องกัน PDF "spikey" แม้ในกรณีที่มีความสัมพันธ์พื้นฐานระหว่างช่วงการสุ่มตัวอย่างและรูปแบบของคลื่น

สิ่งที่ฉันจะไปด้วยก็คือ "ตัวส่งสัญญาณสุ่มแบบสุ่ม" ของเจอาร์ R ซึ่งในทางกลับกันก็คือการใช้งานสัญญาณตามตัวอย่างของการสุ่มสุ่มแบบสุ่ม

ฉันใช้การประมาณลูกบาศก์แบบง่าย ๆ กับจุดสุ่มหนึ่งจุดระหว่างแต่ละตัวอย่าง สำหรับเสียง synth แบบดั้งเดิม (การสลายตัวจากสัญญาณแบบสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ไม่มีความอิ่มตัวเชิงซ้อน + แม้แต่เสียงประสานไปยังไซน์) ดูเหมือนว่า:

ลองเปรียบเทียบกับเวอร์ชั่นที่สูงกว่าตัวอย่าง

และสิ่งแปลกประหลาดที่มีกลุ่มตัวอย่างเดียวกัน แต่ไม่มีการแก้ไข

สิ่งประดิษฐ์ที่โดดเด่นของวิธีนี้คือ overhoot ในโดเมนแบบสแควร์ แต่นี่คือสิ่งที่ PDF ของสัญญาณ sinc-filtered (อย่างที่ฉันบอกว่าสัญญาณของฉันไม่ band band ไม่ จำกัด ) จะมีลักษณะและแสดงถึงความดังที่รับรู้ได้ดีขึ้นมาก กว่ายอดเขาถ้านี่เป็นสัญญาณเสียง

รหัส (Haskell):

cubInterpolate vll vl v vr vrr vrrr x
    = v*lSpline x + vr*rSpline x
      + ((vr-vl) - (vrr-vll)/4)*ldSpline x
      + ((vrr-v) - (vrrr-vl)/4)*rdSpline x
     where lSpline x = rSpline (1-x)
           rSpline x = x*x * (3-2*x)
           ldSpline x = x * (1 + x*(x-2))
           rdSpline x = -ldSpline (1-x)

                   --  rand list   IN samples  OUT samples
stochasticAntiAlias :: [Double] -> [Double] -> [Double]
stochasticAntiAlias rs (lsll:lsl:lsc:lsr:lsrr:[]) = []
stochasticAntiAlias (r:rLst) (lsll:lsl:lsc:lsr:lsrr:lsrrr:t)
    = ( cubInterpolate lsll lsl lsc lsr lsrr lsrrr r )
          : stochasticAntiAlias rLst (lsll:lsl:lsc:lsr:lsrr:lsrrr:t)

rand list เป็นรายการของตัวแปรสุ่มในช่วง [0,1]

ในขณะที่วิธีการของคุณถูกต้องตามหลักวิชา (และจำเป็นต้องได้รับการแก้ไขเล็กน้อยสำหรับฟังก์ชันที่ไม่ใช่แบบโมโนโทนิก) มันเป็นเรื่องยากอย่างยิ่งในการคำนวณค่าผกผันของฟังก์ชันทั่วไป อย่างที่คุณพูดคุณจะต้องจัดการกับคะแนนสาขาและการตัดสาขาซึ่งทำได้ แต่คุณไม่ต้องการอย่างจริงจัง

ตามที่คุณได้กล่าวไปแล้วการสุ่มตัวอย่างเป็นประจำจะเป็นชุดเดียวกันและมีความเสี่ยงสูงต่อการประมาณการที่ไม่ดีในภูมิภาคที่ไม่ได้ทำการสุ่มตัวอย่าง (แม้ว่าเกณฑ์ของ Nyquist จะเป็นที่พอใจ) ในกรณีนี้การสุ่มตัวอย่างเป็นระยะเวลานานจะไม่ช่วยได้เช่นกัน

โดยทั่วไปเมื่อจัดการกับฟังก์ชั่นความหนาแน่นของความน่าจะเป็นและฮิสโทแกรมความคิดที่ดีกว่าคือคิดในแง่ของการสุ่มตัวอย่างสุ่มมากกว่าการสุ่มตัวอย่างปกติ (ดูคำตอบที่เชื่อมโยงสำหรับการแนะนำ) คุณสามารถมั่นใจได้ว่าทุกจุดมีความน่าจะเป็นเท่ากับ "การเข้าชม" และเป็นวิธีที่ดีกว่าในการประมาณค่า pdf

$f(x)=\sin(20\pi x) + \sin(100\pi x)$$f_s=1000$$f_N=100$$1000$ ตัวอย่าง (การกระจายเครื่องแบบ) ต่อวินาที (ฉันไม่ได้ใช้ Hz ที่นี่เพราะนั่นหมายถึงความหมายที่แตกต่างกัน) เป็นเวลา 30 วินาทีให้พล็อตทางด้านขวา (binning เดียวกัน)

คุณสามารถเห็นได้อย่างง่ายดายว่าถึงแม้จะมีเสียงดัง แต่เป็นการประมาณที่ดีกว่า PDF จริงมากกว่าทางด้านขวาซึ่งแสดงค่าศูนย์ในช่วงเวลาต่าง ๆ และข้อผิดพลาดขนาดใหญ่ในอีกหลาย ๆ เมื่อใช้เวลาในการสังเกตนานขึ้นคุณจะสามารถลดความแปรปรวนของสิ่งที่อยู่ทางขวาลงและในที่สุดก็มาบรรจบกับ PDF ที่ถูกต้อง (เส้นประสีดำ) ในขีด จำกัด ของการสังเกตขนาดใหญ่

การประมาณความหนาแน่นของเคอร์เนล

วิธีหนึ่งในการประเมินรูปแบบไฟล์ PDF ของรูปแบบของคลื่นคือการใช้ประมาณการความหนาแน่นเคอร์เนล

$x(n)$$K(\mathrm{x})$$\delta(\mathrm{x} - x(n))$$\hat{P}$

อัปเดต: ข้อมูลเพิ่มเติมที่น่าสนใจ

$x(n)$$n= 0,1,...,N-1$$X(k)$

$X(k)$$e^{\jmath 2\pi n k /N}$

ดังนั้นการคาดเดาสิ่งที่คุณกำลังจะทำให้ PDF ทั้งหมดของส่วนประกอบฟูริเยร์เข้าด้วยกัน:

$X(k)$$x(n)$

ต้องการความคิดมากกว่านี้!

ดังที่คุณระบุไว้ในหนึ่งในความคิดเห็นของคุณมันเป็นเรื่องน่าสนใจที่จะสามารถคำนวณฮิสโตแกรมของสัญญาณที่สร้างขึ้นใหม่โดยใช้ตัวอย่างและ PDF ของฟังก์ชัน sinc ซึ่งทำการแก้ไขสัญญาณ band Band แบบไม่ จำกัด น่าเสียดายที่ฉันไม่คิดว่ามันเป็นไปได้เพราะฮิสโตแกรมของ sinc ไม่มีข้อมูลทั้งหมดที่สัญญาณมีอยู่ ข้อมูลทั้งหมดเกี่ยวกับตำแหน่งโดเมนเวลาที่ค่าแต่ละค่าหายไป สิ่งนี้ทำให้เป็นไปไม่ได้ที่จะทำแบบจำลองว่า sinc รุ่นที่ปรับขนาดและล่าช้านั้นจะรวมเข้าด้วยกันซึ่งเป็นสิ่งที่คุณต้องการเพื่อคำนวณฮิสโตแกรมของสัญญาณ "ต่อเนื่อง" หรือรุ่นที่สุ่มตัวอย่างโดยไม่ต้องทำ ขึ้นการสุ่มตัวอย่าง

ฉันคิดว่าคุณถูกทิ้งให้อยู่กับการแก้ไขเป็นตัวเลือกที่ดีที่สุด คุณได้ระบุปัญหาสองประการที่ทำให้คุณไม่ต้องการทำสิ่งนี้ซึ่งฉันคิดว่าสามารถแก้ไขได้:

• ค่าใช้จ่ายในการคำนวณ:แน่นอนว่าเป็นเรื่องที่เกี่ยวข้องเสมอขึ้นอยู่กับแอปพลิเคชันเฉพาะที่คุณต้องการใช้ จากลิงก์ที่คุณโพสต์ไว้ที่แกลเลอรีของการเรนเดอร์ที่คุณรวบรวมมาฉันถือว่าคุณต้องการทำสิ่งนี้เพื่อสร้างภาพสัญญาณเสียง ไม่ว่าคุณจะสนใจแอปพลิเคชันแบบเรียลไทม์หรือออฟไลน์ฉันขอแนะนำให้คุณสร้างต้นแบบผู้แก้ไขที่มีประสิทธิภาพและดูว่ามันแพงเกินไปหรือไม่ การเปลี่ยนตัวอย่างโพลีเฟสเป็นวิธีที่ดีในการทำสิ่งนี้ที่มีความยืดหยุ่น

• $\pi$

คุณต้องทำให้ฮิสโตแกรมราบรื่นขึ้น (ซึ่งจะให้ผลลัพธ์ที่คล้ายกันโดยใช้วิธีเคอร์เนล) วิธีการปรับให้เรียบจะต้องมีการทดลอง อาจจะทำได้ด้วยการแก้ไข นอกจากการปรับให้เรียบแล้วเราเชื่อว่าคุณจะได้รับผลลัพธ์ที่ดีขึ้นหากคุณเพิ่มรูปคลื่นของคุณในแบบที่ความถี่การสุ่มตัวอย่างนั้น 'สูงขึ้นอย่างมีนัยสำคัญ' มากกว่าความถี่สูงสุดในการป้อนข้อมูลของคุณ สิ่งนี้จะช่วยในกรณี 'หากิน' ซึ่งคลื่นไซน์เกี่ยวข้องกับความถี่การสุ่มตัวอย่างในลักษณะที่จะมีเพียงไม่กี่ถังขยะในฮิสโตแกรม หากนำไปที่มากอัตราตัวอย่างสูงเพียงพอควรให้แปลงที่ดีโดยไม่ต้องปรับให้เรียบ ดังนั้นการอัปแซมปลิงรวมกับการปรับให้เรียบบางชนิดควรให้แผนการที่ดีกว่า

คุณยกตัวอย่างของเสียง 1kHz โดยที่เนื้อเรื่องไม่เป็นไปตามที่คุณคาดหวัง นี่คือข้อเสนอของฉัน (รหัส Matlab / Octave)

pixels_vertical = 100;
% This needs to be tuned to your configuration and acceptance
upsampling_factor = 16*(pixels_vertical/100); 
fs_original = 48000;
fsine = 1000; % in Hz
fs_up = upsampling_factor*fs_original;
duration = 1; % in seconds
x = sin(2*pi*fsine*[0:duration*fs_up]/fs_up);
period_in_samples = fs_up/fsine;
hist_points = linspace(-1,1,pixels_vertical);
istart = 1;
iend   = period_in_samples;
pixel_values = hist(x(istart:iend), hist_points);
% smooth pixel values
[b,a] = butter(2,0.2);
pixel_values_smooth = filtfilt(b,a,pixel_values);
figure;hold on;
plot(hist_points, pixel_values);
plot(hist_points, pixel_values_smooth,'r');

สำหรับเสียง 1000Hz ของคุณคุณจะได้รับสิ่งนี้

สิ่งที่คุณต้องทำคือการปรับแต่งนิพจน์ upsampling_factor ตามความต้องการของคุณ

ยังไม่แน่ใจ 100% ว่าสิ่งที่คุณต้องการคืออะไร แต่ด้วยหลักการข้างต้นของการยกตัวอย่างและการทำให้ราบรื่นคุณจะได้สิ่งนี้สำหรับเสียง 1kHz (ทำด้วย Matlab) โปรดทราบว่าในฮิสโตแกรมข้อมูลดิบมีถังขยะจำนวนมากที่มีค่าศูนย์ยอด