วิธีที่รวดเร็ว / มีประสิทธิภาพในการแยกค่าสัมประสิทธิ์ตัวกรอง 2D จำนวนเต็มแยกได้

ฉันต้องการที่จะสามารถตรวจสอบได้อย่างรวดเร็วว่าเคอร์เนล 2 มิติของค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มแบ่งออกเป็นสอง 1D เมล็ดที่มีสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม เช่น

 2   3   2
 4   6   4
 2   3   2

สามารถแยกออกเป็น

 2   3   2

และ

 1
 2
 1

การทดสอบความสามารถแยกได้จริงดูเหมือนจะค่อนข้างตรงไปตรงมาโดยใช้เลขคณิตจำนวนเต็ม แต่การแยกย่อยเป็นฟิลเตอร์ 1D ที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มกำลังพิสูจน์ว่าเป็นปัญหาที่ยากขึ้น ความยากลำบากดูเหมือนจะอยู่ในความจริงที่ว่าอัตราส่วนระหว่างแถวหรือคอลัมน์อาจไม่ใช่จำนวนเต็ม (เศษส่วนที่มีเหตุผล) เช่นในตัวอย่างข้างต้นเรามีอัตราส่วน 2, 1/2, 3/2 และ 2/3

ฉันไม่ต้องการใช้วิธีการที่หนักเช่น SVD เพราะ (ก) มันค่อนข้างแพงสำหรับความต้องการของฉันและ (b) มันก็ไม่ได้ช่วยในการกำหนดสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม

ความคิดใด ๆ

ข้อมูลเพิ่มเติม

ค่าสัมประสิทธิ์อาจเป็นค่าบวกลบหรือเป็นศูนย์และอาจมีกรณีทางพยาธิวิทยาที่ผลรวมของเวกเตอร์ 1D หรือทั้งคู่เป็นศูนย์เช่น

-1   2  -1
 0   0   0
 1  -2   1

สามารถแยกออกเป็น

 1  -2   1

และ

-1
 0
 1

ฉันได้@Phononรับคำตอบและแก้ไขมันบ้างเพื่อที่จะใช้วิธี GCD ในคอลัมน์ด้านบนและคอลัมน์ซ้ายแทนที่จะเป็นผลรวมของแถว / คอลัมน์ ดูเหมือนว่าจะจัดการกับกรณีทางพยาธิวิทยาได้ดีขึ้นเล็กน้อย มันยังคงล้มเหลวหากแถวบนสุดหรือคอลัมน์ซ้ายเป็นศูนย์ทั้งหมด แต่กรณีเหล่านี้สามารถตรวจสอบได้ก่อนที่จะใช้วิธีนี้

function [X, Y, valid] = separate(M)    % separate 2D kernel M into X and Y vectors 
  X = M(1, :);                          % init X = top row of M
  Y = M(:, 1);                          % init Y = left column of M
  nx = numel(X);                        % nx = no of columns in M
  ny = numel(Y);                        % ny = no of rows in M
  gx = X(1);                            % gx = GCD of top row
  for i = 2:nx
    gx = gcd(gx, X(i));
  end
  gy = Y(1);                            % gy = GCD of left column
  for i = 2:ny
    gy = gcd(gy, Y(i));
  end
  X = X / gx;                           % scale X by GCD of X
  Y = Y / gy;                           % scale Y by GCD of Y
  scale = M(1, 1) / (X(1) * Y(1));      % calculate scale factor
  X = X * scale;                        % apply scale factor to X
  valid = all(all((M == Y * X)));       % result valid if we get back our original M
end

ขอบคุณมาก@Phononและ@Jason Rสำหรับแนวคิดดั้งเดิมสำหรับสิ่งนี้

เข้าใจแล้ว! โพสต์รหัส MATLAB จะโพสต์คำอธิบายในคืนนี้หรือพรุ่งนี้

% Two original arrays
N = 3;
range = 800;
a = round( range*(rand(N,1)-0.5) )
b = round( range*(rand(1,N)-0.5) )

% Create a matrix;
M = a*b;
N = size(M,1);

% Sanity check
disp([num2str(rank(M)) ' <- this should be 1!']);

% Sum across rows and columns
Sa = M * ones(N,1);
Sb = ones(1,N) * M;

% Get rid of zeros
SSa = Sa( Sa~=0 );
SSb = Sb( Sb~=0 );

if isempty(SSa) | isempty(SSb)
    break;
end

% Sizes of array without zeros
Na = numel(SSa);
Nb = numel(SSb);

% Find Greatest Common Divisor of Sa and Sb.
Ga = SSa(1);
Gb = SSb(1);

for l=2:Na
    Ga = gcd(Ga,SSa(l));
end

for l=2:Nb
    Gb = gcd(Gb,SSb(l));
end

%Divide by the greatest common divisor
Sa = Sa / Ga;
Sb = Sb / Gb;

%Scale one of the vectors
MM = Sa * Sb;
Sa = Sa * (MM(1) / M(1));

disp('Two arrays found:')
Sa
Sb
disp('Sa * Sb = ');
Sa*Sb
disp('Original = ');
M

บางทีฉันอาจจะทำให้ปัญหาเล็กน้อย แต่ดูเหมือนว่าคุณจะทำได้:

• $N$$M$$\mathbf{A}$$\mathbf{a_i}$$i = 0, 1, \ldots , N-1$

• $j > 0$

  • $\mathbf{a_j}$$\mathbf{a_0}$$j$$\mathbf{r_j}$
  • $\mathbf{r_j}$
  • $\mathbf{r_j}$$\mathbf{a_j}$$\mathbf{a_0}$$j$$0$$\mathbf{x}$
  • $\mathbf{a_j}$$\mathbf{a_0}$

• $\mathbf{x}$

• $\mathbf{x_{norm}}$ $$\mathbf{x_{scaled}} = K\mathbf{x_{norm}}, K = 1, 2, \ldots, M$$ $K$$M$

ไม่ใช่วิธีที่สง่างามที่สุดและเป็นไปได้ว่ามันมีวิธีที่ดีกว่า แต่ควรใช้งานได้ค่อนข้างง่ายในการติดตั้งและควรมีความรวดเร็วสำหรับเมทริกซ์ขนาดปานกลาง

$x \otimes y \otimes z$$A$$|A - x \otimes y \otimes z|$
$x\ y\ z$
$y$$z$$x$$x\ y\ z\ x\ y\ z\ ...$ ในทางกลับกัน

(จากการประมาณ -a -convolution-as-a-sum-of-convolutions แยกกันได้บน math.stackexchange)