ความแตกต่างระหว่างความล่าช้าเฟสและความล่าช้าของกลุ่มคืออะไร?

41

ฉันกำลังศึกษา DSP บางอย่างและฉันมีปัญหาในการทำความเข้าใจความแตกต่างระหว่างความล่าช้าขั้นตอนและความล่าช้ากลุ่ม

ดูเหมือนว่าพวกเขาทั้งคู่จะวัดเวลาหน่วงของไซนัสที่ส่งผ่านตัวกรอง

ฉันถูกต้องในการคิดสิ่งนี้หรือไม่?
ถ้าเป็นเช่นนั้นการวัดทั้งสองจะแตกต่างกันอย่างไร
ใครช่วยยกตัวอย่างสถานการณ์ที่การวัดหนึ่งจะมีประโยชน์มากกว่าอีกสถานการณ์หนึ่ง?

UPDATE

อ่านหนังสือไปข้างหน้าในจูเลียสมิ ธรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับตัวกรองดิจิตอลฉันได้พบสถานการณ์ที่ทั้งสองวัดอย่างน้อยให้ผลที่แตกต่างกัน: ฟิลเตอร์เลียนแบบเฟส นั่นเป็นคำตอบบางส่วนสำหรับคำถามของฉันฉันเดา

— เดซิเบล'
แหล่งที่มา

คุณอาจพบว่าหน้านี้มีประโยชน์ มันอธิบายความล่าช้าของกลุ่มและผลกระทบของมันโดยไม่ต้องใช้คณิตศาสตร์ใด ๆ

— user5108_Dan

หน้าวิกิพีเดียสะกดคำจำกัดความและความแตกต่างทางคณิตศาสตร์ หากคุณมีตัวกรองเฟสเชิงเส้นการหน่วงเวลากลุ่มและการหน่วงเวลาเฟสเป็นค่าเดียวกันและเป็นเพียงความล่าช้าปริมาณงานของตัวกรอง สำหรับการใด ๆ กรองทั่วไปที่มีบางส่วนกำไรที่ดีซี (คือไม่ได้เป็น HPF มิได้ BPF กับ dB ที่ DC) และไม่มีการพลิกกลับขั้วที่ดีซีกลุ่มเวลาและล่าช้าเฟสมีค่าเดียวกันที่ใกล้กับซี .

- \infty

$-\infty$

— robert bristow-johnson

19

ก่อนอื่นคำจำกัดความต่างกัน:

การหน่วงเวลา: (ลบ) เฟสหารด้วยความถี่
ความล่าช้าของกลุ่ม: (ลบ) อนุพันธ์อันดับแรกของเฟส vs ความถี่

ในคำที่หมายถึง:

ระยะหน่วงเวลา: มุมเฟส ณ จุดนี้ความถี่
ความล่าช้าของกลุ่ม: อัตราการเปลี่ยนแปลงของเฟสรอบ ๆ จุดนี้ในความถี่

เมื่อใดที่จะใช้อย่างใดอย่างหนึ่งขึ้นอยู่กับใบสมัครของคุณ แอปพลิเคชั่นแบบคลาสสิกสำหรับการล่าช้าของกลุ่มคือมอดูเลตคลื่นไซน์เช่นวิทยุ AM เวลาที่ใช้ในการมอดูเลตสัญญาณผ่านระบบจะถูกกำหนดโดยการหน่วงเวลากลุ่มไม่ใช่โดยการหน่วงเวลาเฟส ตัวอย่างเสียงอีกตัวอย่างหนึ่งอาจเป็นลูกกลองเตะ: นี่เป็นคลื่นไซน์ที่ได้รับการดัดแปลงเป็นส่วนใหญ่ดังนั้นหากคุณต้องการตรวจสอบว่ากลองลูกเตะจะล่าช้าเท่าไร

— Hilmar
แหล่งที่มา

"เฟสสัมบูรณ์ ณ ความถี่นี้" จะไม่ถูกเรียกว่า "เฟส" หรือไม่

— endolith

ฉันหมายถึง "แน่นอน" เมื่อเทียบกับ "ญาติ" แต่ฉันเห็นว่าสิ่งนี้อาจสับสนกับ "ค่าสัมบูรณ์" ฉันจะแก้ไข

— Hilmar

ความแตกต่างที่สำคัญอย่างหนึ่งครั้งล่าสุด: การหน่วงเฟสที่ความถี่บางคือการหน่วงเวลาของเฟสของสัญญาณกึ่งเสมือน - ไซน์ของความถี่ผ่านตัวกรอง การหน่วงเวลากลุ่มคือการหน่วงเวลาของซองจดหมายหรือ " กลุ่ม " ของ quasi-sinusoid

f

$f$

f

$f$

— robert bristow-johnson

16

พวกเขาทั้งสองไม่ได้วัดว่าไซน์อยด์ล่าช้าเท่าไร การหน่วงเวลาของมาตรการนั้นแน่นอน ความล่าช้าของกลุ่มค่อนข้างซับซ้อนกว่าเล็กน้อย ลองนึกภาพคลื่นไซน์สั้น ๆ พร้อมซองแอมพลิจูดเพื่อให้มันจางหายไปและจางหายไปพูดว่าเกาส์เซียนคูณด้วยไซนัส ซองจดหมายนี้มีรูปทรงและโดยเฉพาะอย่างยิ่งมันมีจุดสูงสุดที่แสดงถึงจุดกึ่งกลางของ "แพ็กเก็ต" การหน่วงเวลากลุ่มจะบอกให้คุณทราบว่าซองจดหมายของแอมพลิจูดนั้นจะล่าช้าเพียงใดโดยเฉพาะอย่างยิ่งจำนวนสูงสุดของแพ็คเก็ตนั้นจะเคลื่อนที่ไป

ฉันชอบคิดเกี่ยวกับสิ่งนี้โดยกลับไปที่คำจำกัดความของความล่าช้าของกลุ่ม: มันคืออนุพันธ์ของเฟส อนุพันธ์ทำให้คุณมีการตอบสนองเชิงเส้นของการตอบสนองเฟส ณ จุดนั้น กล่าวอีกนัยหนึ่งที่ความถี่บางกลุ่มการหน่วงเวลาจะบอกคุณโดยประมาณว่าการตอบสนองเฟสของความถี่ใกล้เคียงเกี่ยวข้องกับการตอบสนองเฟสที่จุดนั้นอย่างไร ตอนนี้จำได้ว่าเราใช้ไซน์อยด์แบบแอมพลิจูดที่ปรับความกว้างได้อย่างไร การปรับแอมพลิจูดจะใช้จุดสูงสุดของไซน์อยด์และแนะนำแถบด้านข้างที่ความถี่ใกล้เคียง ดังนั้นในทางหนึ่งความล่าช้าของกลุ่มคือการให้ข้อมูลเกี่ยวกับวิธีการที่แถบด้านข้างจะล่าช้าเมื่อเทียบกับความถี่พาหะนั้น

สิ่งที่บ้า? ตัวกรองเชิงสาเหตุอาจมีความล่าช้าของกลุ่มติดลบ! พาเกาส์ของคุณคูณด้วยไซน์: คุณสามารถสร้างวงจรอะนาล็อกได้เช่นเมื่อคุณส่งสัญญาณผ่านจุดสูงสุดของซองจดหมายจะปรากฏในเอาต์พุตก่อนอินพุต ดูเหมือนว่าจะขัดแย้งกันเพราะมันจะปรากฏว่าตัวกรองจะต้อง "เห็น" ในอนาคต มันแปลกจริง ๆ แต่วิธีคิดคือว่าเนื่องจากซองจดหมายมีรูปร่างที่สามารถคาดเดาได้มากตัวกรองจึงมีข้อมูลเพียงพอที่จะคาดการณ์ว่าจะเกิดอะไรขึ้น หากเข็มถูกแทรกกลางสัญญาณกรองจะไม่คาดหวังว่า นี่เป็นบทความที่น่าสนใจเกี่ยวกับเรื่องนี้: http://www.dsprelated.com/showarticle/54.php

— schnarf
แหล่งที่มา

เมื่อคุณพูดว่า "picture a ... " รูปภาพจริงจะมีประโยชน์มากที่นี่

— Gabriel Staples

9

สำหรับผู้ที่ยังคงไม่สามารถชอล์กความแตกต่างที่นี่เป็นตัวอย่างง่ายๆ

ใช้สายส่งยาวที่มีสัญญาณไซน์อย่างง่ายพร้อมซองขนาดแอมพลิจูดที่อินพุต $v(t)$

v (t) \cdot \sin (ω t)

$v(t) \cdot \sin(\omega t)$

หากคุณวัดสัญญาณนี้ที่ปลายสายส่งสัญญาณอาจมาที่ใดที่หนึ่งเช่นนี้:

v (t - τ_{g}) \cdot \sin (ω t + ϕ) = v (t - τ_{g}) \cdot \sin (ω (t - τ_{ϕ}))

$v(t-\tau_g) \cdot \sin(\omega t + \phi)\\ = v(t-\tau_g) \cdot \sin(\omega (t - \tau_\phi))$

โดยที่คือความแตกต่างของเฟสจากอินพุตไปยังเอาต์พุต $\phi$

หากคุณต้องการเวลาเท่าไหร่ในการจะใช้เวลาขั้นตอนของ sinusoid ที่การส่งผ่านจากการป้อนข้อมูลที่จะจบแล้วคือคำตอบของคุณในไม่กี่วินาที $\sin(\omega t)$ $\tau_\phi = -\tfrac{\phi}{\omega}$

หากคุณต้องการใช้เวลานานเท่าใดในการส่งซองจดหมาย , , ของการส่งสัญญาณไซนัสจากอินพุตไปยังจุดสิ้นสุดคือคำตอบของคุณ วินาที $v(t)$ $\tau_g = -\tfrac{d\,\phi}{d\,\omega}$

การหน่วงเฟสเป็นเพียงการเดินทางสำหรับความถี่เดียวในขณะที่การหน่วงเวลากลุ่มเป็นการวัดการบิดเบือนของแอมพลิจูดหากใช้อาร์เรย์หลายความถี่

— Swapnil Parihar
แหล่งที่มา

3

ความล่าช้าเฟสของตัวกรองใด ๆ คือระยะเวลาที่ล่าช้าในแต่ละองค์ประกอบความถี่ที่ได้รับความเดือดร้อนในการผ่านตัวกรอง (หากสัญญาณประกอบด้วยความถี่หลายความถี่)

การหน่วงเวลากลุ่มคือการหน่วงเวลาเฉลี่ยของสัญญาณคอมโพสิตที่แต่ละส่วนของความถี่ประสบ

— อีด
แหล่งที่มา

1

ฉันรู้ว่านี่เป็นคำถามที่ค่อนข้างเก่า แต่ฉันได้รับการมองหาที่มาของการแสดงออกของความล่าช้ากลุ่มและเฟสล่าช้าบนอินเทอร์เน็ต มีการสืบทอดอยู่มากมายบนอินเทอร์เน็ตดังนั้นฉันคิดว่าฉันจะแบ่งปันสิ่งที่ฉันพบ นอกจากนี้โปรดทราบว่าคำตอบนี้เป็นคำอธิบายทางคณิตศาสตร์มากกว่าคำตอบที่เข้าใจง่าย สำหรับคำอธิบายที่เข้าใจง่ายโปรดดูคำตอบข้างต้น ดังนั้นที่นี่ไป:

ลองพิจารณาสัญญาณ และส่งผ่านระบบ LTI พร้อมการตอบสนองความถี่ เราได้พิจารณาแล้ว กำไรของระบบที่จะเป็นเอกภาพเพราะเรามีความสนใจในการวิเคราะห์ว่าระบบเปลี่ยนแปลงเฟสของสัญญาณอินพุทมากกว่าที่จะได้รับ ตอนนี้เนื่องจากการคูณในโดเมนเวลาสอดคล้องกับการแปลงความถี่ในโดเมนการแปลงฟูริเยร์ของสัญญาณอินพุตจะได้รับจาก ซึ่งมีจำนวน ดังนั้นผลลัพธ์ของระบบจึงมีคลื่นความถี่ที่กำหนดโดย

a (t) = x (t) c o s (ω_{0} t)

$a(t) = x(t)cos(\omega_0 t)$

H (j ω) = e^{j ϕ (ω)}

$H(j\omega) = e^{j\phi(\omega)}$

A (j ω) = \frac{1}{2 π} X (j ω) * (π δ (ω - ω_{0}) + π δ (ω + ω_{0}))

$A(j\omega) = {1 \over 2\pi}X(j\omega) * (\pi\delta(\omega - \omega_0) + \pi\delta(\omega + \omega_0))$

A (j ω) = \frac{X (j (ω - ω_{0})) + X (j (ω + ω_{0}))}{2}

$A(j\omega) = {X(j(\omega-\omega_0))+X(j(\omega+\omega_0)) \over 2}$

B (j ω) = \frac{e^{j ϕ (ω)}}{2} (X (j (ω - ω_{0})) + X (j (ω + ω_{0})))

$B(j\omega) = {e^{j\phi(\omega)} \over 2} (X(j(\omega-\omega_0))+X(j(\omega+\omega_0)))$ ตอนนี้ หาสิ่งที่ผกผันแปลงฟูเรียในการแสดงออกดังกล่าวข้างต้นที่เราต้องรู้รูปแบบการวิเคราะห์ที่แน่นอนสำหรับomega) ดังนั้นเพื่อลดความซับซ้อนของเรื่องที่เราคิดว่าเนื้อหาความถี่ของมีเพียงความถี่เหล่านั้นซึ่งมีนัยสำคัญต่ำกว่าผู้ให้บริการความถี่\ในสถานการณ์นี้สัญญาณสามารถดูได้เป็นสัญญาณมอดูเลตแอมพลิจูดโดยที่แทนซองจดหมายของสัญญาณโคไซน์ความถี่สูง ในโดเมนความถี่ตอนนี้มีความถี่แคบสองแถบที่กึ่งกลางที่และ

ϕ (ω)

$\phi(\omega)$

x (t)

$x(t)$

ω_{0}

$\omega_0$

a (t)

$a(t)$

x (t)

$x(t)$

B (j ω)

$B(j\omega)$

ω_{0}

$\omega_0$

- ω_{0}

$-\omega_0$ (อ้างถึงสมการข้างต้น) ซึ่งหมายความว่าเราสามารถใช้การขยายตัวชุดสั่งซื้อครั้งแรกเทย์เลอร์omega) โดยที่ เราสามารถคำนวณได้ การแปลงฟูริเยร์ในช่วงครึ่งแรกของขณะที่ แทนสำหรับนี่จะกลายเป็น

ϕ (ω)

$\phi(\omega)$

ϕ (ω) = ϕ (ω_{0}) + \frac{d ϕ}{d ω} (ω_{0}) (ω - ω_{0}) = α + β ω

$\phi(\omega) = \phi(\omega_0) + \frac{d\phi}{d\omega}(\omega_0)(\omega - \omega_0) = \alpha + \beta\omega$

α = ϕ (ω_{0}) - ω_{0} \frac{d ϕ}{d ω} (ω_{0})

$\alpha = \phi(\omega_0) - \omega_0\frac{d\phi}{d\omega}(\omega_0)$

β = \frac{d ϕ}{d ω} (ω_{0})

$\beta = \frac{d\phi}{d\omega}(\omega_0)$

B (j ω)

$B(j\omega)$

\frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{2} X (j (ω - ω_{0})) e^{j (ω t + α + β ω)} d ω

$\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2} X(j(\omega - \omega_0)) e^{j(\omega t + \alpha + \beta\omega)} d\omega$

ω - ω_{0}

$\omega - \omega_0$

ω^{'}

$\omega'$

\frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{2} X (j (ω^{'})) e^{j ((ω^{'} + ω_{0}) (t + β) + α)} d ω^{'}

$\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2} X(j(\omega')) e^{j((\omega' + \omega_0) (t + \beta) + \alpha)} d\omega'$ ซึ่งทำให้ เสียบนิพจน์สำหรับและสิ่งนี้จะกลายเป็น ในทำนองเดียวกันอีกครึ่งหนึ่ง ของผกผันแปลงฟูเรียของสามารถรับได้โดยการแทนที่โดย-สังเกตว่าสำหรับสัญญาณจริงเป็นฟังก์ชันแปลกนี่จะกลายเป็น

x (t + β) \frac{e^{j (ω_{0} t + ω_{0} β + α)}}{2}

$x(t + \beta)\frac{e^{j(\omega_0 t + \omega_0\beta + \alpha)}}{2}$

α

$\alpha$

β

$\beta$

x (t + β) \frac{e^{j (ω_{0} t + ϕ (ω_{0}))}}{2}

$x(t + \beta)\frac{e^{j(\omega_0 t + \phi(\omega_0))}}{2}$

B (j ω)

$B(j\omega)$

ω_{0}

$\omega_0$

- ω_{0}

$-\omega_0$

ϕ (ω)

$\phi(\omega)$

x (t + β) \frac{e^{- j (ω_{0} t + ϕ (ω_{0}))}}{2}

$x(t + \beta)\frac{e^{-j(\omega_0 t + \phi(\omega_0))}}{2}$ ดังนั้นเมื่อเพิ่มทั้งสองเข้าด้วยกันเราจะได้ สังเกตความล่าช้าในซองจดหมายและสัญญาณโคไซน์โคไซน์ Group ล่าช้าสอดคล้องกับความล่าช้าในซองจดหมายในขณะที่เฟสล่าช้าสอดคล้องกับความล่าช้าในผู้ให้บริการ ดังนั้น

b (t) = x (t + \frac{d ϕ}{d ω} (ω_{0})) c o s (ω_{0} (t + \frac{ϕ (ω_{0})}{ω_{0}}))

$b(t) = x(t + \frac{d\phi}{d\omega}(\omega_0))cos(\omega_0(t + \frac{\phi(\omega_0)}{\omega_0}))$

x (t)

$x(t)$

(τ_{g})

$(\tau_g)$

(τ_{p})

$(\tau_p)$

τ_{g} = - \frac{d ϕ}{d ω} (ω_{0})

$\tau_g = -\frac{d\phi}{d\omega}(\omega_0)$

τ_{p} = - \frac{ϕ (ω_{0})}{ω_{0}}

$\tau_p = -\frac{\phi(\omega_0)}{\omega_0}$

— Arkonaire
แหล่งที่มา