วิธีการตอบสนองที่ซับซ้อนเฉลี่ย (และเหตุผล)?

ฉันกำลังพัฒนาซอฟต์แวร์ที่คำนวณการตอบสนองของระบบโดยการเปรียบเทียบ FFT ของสัญญาณอินพุตและเอาต์พุต สัญญาณอินพุทและสัญญาณเอาท์พุตนั้นแบ่งออกเป็น windows และสำหรับแต่ละหน้าต่างสัญญาณจะถูกลบและแบ่งโดยฟังก์ชันฮันน์ การตอบสนองของอุปกรณ์สำหรับหน้าต่างนั้นจะเป็นอัตราส่วนของ FFT ของข้อมูลที่ประมวลผล

ฉันเชื่อว่าข้างต้นเป็นขั้นตอนมาตรฐานแม้ว่าฉันอาจจะอธิบายได้ไม่ดี ปัญหาของฉันมาในวิธีการรวมการตอบสนองจากหน้าต่างหลายบาน

เท่าที่ฉันเห็นวิธีการที่ถูกต้องคือการหาค่าเฉลี่ยที่ซับซ้อนในทุกหน้าต่าง การตอบสนองของแอมพลิจูดและเฟสนั้นจะเป็นแอมพลิจูดและเฟสของค่าเฉลี่ยค่าเชิงซ้อนที่แต่ละความถี่:

av_response = sum_windows(response) / n
av_amplitude = sqrt(real(av_response)**2 + imag(av_response)**2)
av_phase = atan2(imag(av_response), real(av_response))

ด้วยการวนซ้ำโดยอ้อมผ่านช่องเก็บความถี่

แต่ฉันถูกขอให้เปลี่ยนสิ่งนี้เพื่อคำนวณแอมพลิจูดและเฟสในแต่ละหน้าต่างก่อนจากนั้นจึงเฉลี่ยแอมพลิจูดและเฟสในหน้าต่างทั้งหมด:

amplitude = sqrt(real(response)**2 + imag(response)**2)
av_amplitude = sum_windows(amplitude) / n
phase = atan2(imag(response), real(response))
av_phase = sum_windows(phase) / n

ฉันได้แย้งว่าสิ่งนี้ไม่ถูกต้องเนื่องจากมุมเฉลี่ย "ผิด" - ค่าเฉลี่ยของ 0 และ 360 องศาเท่ากับ 180 ตัวอย่างเช่น แต่คนที่ฉันทำงานด้วยตอบด้วยการพูดว่า "ตกลงเราจะแสดงแอมพลิจูดเท่านั้น"

ดังนั้นคำถามของฉันคือ:

ฉันถูกต้องหรือไม่ที่คิดว่าวิธีที่สองนั้นไม่ถูกต้องสำหรับแอมพลิจูดด้วยหรือไม่
ถ้าเป็นเช่นนั้นมีข้อยกเว้นใด ๆ ที่อาจเกี่ยวข้องและอาจอธิบายได้ว่าทำไมคนที่ฉันทำงานด้วยชอบวิธีที่สอง ตัวอย่างเช่นดูเหมือนว่าทั้งสองวิธีจะตกลงกันเมื่อเสียงรบกวนมีขนาดเล็กดังนั้นนี่อาจเป็นการประมาณที่ยอมรับได้สำหรับสัญญาณรบกวนต่ำ
หากวิธีที่สองไม่ถูกต้องมีการอ้างอิงที่น่าเชื่อถือและเชื่อถือได้ที่ฉันสามารถใช้เพื่อแสดงสิ่งนี้หรือไม่
หากวิธีที่สองไม่ถูกต้องมีตัวอย่างที่ดีและง่ายต่อการเข้าใจที่แสดงสิ่งนี้สำหรับแอมพลิจูด (ตามค่าเฉลี่ยของ 0 และ 360 องศาสำหรับเฟส) หรือไม่
อีกวิธีหนึ่งถ้าฉันไม่ถูกต้องหนังสือเล่มไหนที่ฉันจะรู้ได้ดีกว่า

ฉันพยายามยืนยันว่าค่าเฉลี่ยของ -1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 ควรเป็นศูนย์แทนที่จะเป็น 1 แต่นั่นก็ไม่น่าเชื่อถือ และในขณะที่ฉันคิดว่าฉันสามารถสร้างข้อโต้แย้งขึ้นอยู่กับการประเมินความเป็นไปได้สูงสุดตามรูปแบบของเสียงโดยเฉพาะ แต่ก็ไม่ใช่เหตุผลที่คนที่ฉันทำงานด้วยจะฟัง ดังนั้นหากฉันไม่ผิดฉันจำเป็นต้องมีการโต้แย้งที่มีประสิทธิภาพจากผู้มีอำนาจหรือการสาธิต "ชัดเจน"

[ฉันพยายามเพิ่มแท็กเพิ่มเติม แต่ไม่พบแท็กที่เกี่ยวข้องและไม่สามารถกำหนดแท็กใหม่เป็นผู้ใช้ใหม่ - ขออภัย]

fft statistics frequency-response

— แอนดรู Cooke
แหล่งที่มา

พวกเขาให้เหตุผลอะไรกับการไม่ชอบวิธีการของคุณ?

— nibot

การตอบสนองจะดูราบรื่นขึ้นเมื่อทำการพล็อตด้วยวิธีที่สอง ฉันคิดว่าเป็นเพราะในกรณีที่ดูไม่มีสัญญาณสำคัญ (ที่ f สูง) ในขณะที่วิธีที่สองบังคับให้สัญญาณ "ปรากฏ" จากเสียง นอกจากนี้ยังมีปัญหาทางการเมือง / การสื่อสารต่าง ๆ ตามที่คุณคาดเดา

— andrew cooke

คุณลองเสนอกรณีทดสอบบ้างไหม? ใช้ข้อมูลสุ่มและกรองผ่านตัวกรองบางตัวพร้อมการตอบสนองความถี่ที่ทราบ ตรวจสอบว่าการประมาณการฟังก์ชั่นการถ่ายโอนมาบรรจบกับฟังก์ชั่นการถ่ายโอนที่รู้จัก

— nibot

ไม่ ฉันไม่ได้ นั่นเป็นคำแนะนำที่ดี ขอบคุณ หากนำเสนอได้ดีฉันจะเห็นว่ามีความน่าเชื่อถือ

— andrew cooke

คำตอบ:

การประมาณฟังก์ชั่นการถ่ายโอนมักจะนำไปใช้แตกต่างจากวิธีที่คุณอธิบายเล็กน้อย

วิธีการของคุณคำนวณ

⟨ \frac{F [y]}{F [x]} ⟩

$\left\langle \frac{\mathcal{F}[y]}{\mathcal{F}[x]} \right\rangle$

โดยที่วงเล็บเหลี่ยมแสดงค่าเฉลี่ยที่นำมาใช้กับส่วนข้อมูลและฟังก์ชั่นหน้าต่างถูกนำไปใช้กับแต่ละส่วนข้อมูลก่อนที่จะทำการแปลงฟูริเยร์ ( ) $\langle$ $\rangle$ $\mathcal{F}$

การใช้งานทั่วไปมากขึ้นจะคำนวณความหนาแน่นสเปกตรัมกากบาทของ x และ y หารด้วยความหนาแน่นสเปกตรัมพลังงานของ x:

\frac{⟨ F [y] \cdot F [x]^{*} ⟩}{⟨ | F [x] |^{2} ⟩} = \frac{⟨ F [y] \cdot F [x]^{*} ⟩}{⟨ F [x] \cdot F [x]^{*} ⟩}

$\frac{\langle \mathcal{F}[y] \cdot \mathcal{F}[x]^* \rangle}{\langle|\mathcal{F}[x]|^2\rangle} = \frac{\langle \mathcal{F}[y] \cdot \mathcal{F}[x]^* \rangle}{\langle\mathcal{F}[x]\cdot\mathcal{F}[x]^*\rangle}$

โดยที่แสดงถึงผลิตภัณฑ์ที่มีจุดเป็นจุดศูนย์กลางและคอนจูเกตที่ซับซ้อน $\cdot$ $*$

ฉันเชื่อว่านี่คือการลดผลกระทบของกลุ่มข้อมูลที่ถังขยะของมีขนาดเล็กเกินไป $\mathcal{F}[x]$

การประมาณแบบต่อเนื่อง

นายจ้างของคุณแนะนำให้คุณประเมินฟังก์ชั่นการโอนโดยใช้

\frac{| ⟨ F [y] | ⟩}{⟨ | F [x] | ⟩}

$\frac{|\langle \mathcal{F}[y]|\rangle}{\langle |\mathcal{F}[x]|\rangle}$

สิ่งนี้จะได้ผลแต่มีข้อเสียใหญ่สองประการ:

คุณไม่ได้รับข้อมูลเฟสใด ๆ
หากการวัดอินพุตและเอาต์พุตมีสัญญาณรบกวนเพิ่มเติมการประมาณฟังก์ชั่นการถ่ายโอนจะไม่ถูกต้อง $x$ $y$

วิธีการและวิธีการของคุณฉันอธิบายหลีกเลี่ยงปัญหาเหล่านี้โดยใช้ค่าเฉลี่ยที่สอดคล้องกัน

อ้างอิง

แนวคิดทั่วไปของการใช้ซ้อนทับส่วนเฉลี่ยเพื่อคำนวณกำลังความหนาแน่นสเปกตรัมเป็นที่รู้จักกันเป็นวิธีการของเวลช์ ฉันเชื่อว่าส่วนขยายของการใช้สิ่งนี้เพื่อประเมินฟังก์ชั่นการถ่ายโอนนั้นมักเรียกกันว่าวิธีการของ Welch แม้ว่าฉันจะไม่แน่ใจว่ามีการกล่าวถึงในเอกสารของ Welch หรือไม่ การมองหากระดาษของ Welch อาจเป็นทรัพยากรที่มีค่า เอกสารที่มีประโยชน์ในเรื่องที่เป็น Bendat และหนังสือ Piersol ของสุ่มข้อมูล: การวิเคราะห์และการวัดขั้นตอน

การตรวจสอบ

เพื่อตรวจสอบซอฟแวร์ของคุณฉันขอแนะนำให้ใช้กรณีทดสอบหลายกรณีที่คุณสร้างเสียงรบกวนแบบเกาส์เซียนสีขาวและป้อนผ่านตัวกรองดิจิตอลที่มีฟังก์ชั่นการถ่ายโอนที่รู้จัก ป้อนอินพุตและเอาต์พุตลงในรูทีนการประเมินฟังก์ชั่นการถ่ายโอนของคุณและตรวจสอบว่าค่าประมาณนั้นมาบรรจบกับค่าที่ทราบของฟังก์ชันถ่ายโอน

— nibot
แหล่งที่มา

อา! ขอบคุณ. ฉันจะตรวจสอบ / ลองนี้

— andrew cooke

@nibot อะไรคือความยาวที่แน่นอนของ FFT ที่นี่

— Spacey

คุณสามารถใช้ความยาวใด ๆ ความยาวเป็นตัวกำหนดความละเอียดและจำนวนข้อมูลเฉลี่ยที่กำหนดโดยปริยาย อีกต่อไป fft = ความละเอียดที่ดีขึ้น แต่ยังมีข้อผิดพลาดที่ใหญ่กว่าเนื่องจากมีค่าเฉลี่ยน้อยลง

— nibot

ตกลงความแตกต่างอีกอย่างก็คือคุณมี <F (y) F * (x)> / <F (x) F * (x)> ในขณะที่ Phonon มี <F (y)> <F * (x)> / (< F (x)> <F * (x)>) afaict: o (

— andrew cooke

ไม่มีจุดในการคำนวณ <F (y)> <F * (x)> / (<F (x)> <F * (x)>) เนื่องจากตั้งแต่ <F * (x)> จะถูกยกเลิกทันที ฉันคิดว่ามันถูกต้องตามที่ฉันเขียน

— nibot

ยินดีต้อนรับสู่การประมวลผลสัญญาณ!

คุณพูดถูก คุณไม่สามารถเฉลี่ยขนาดและขั้นตอน DFT แยกกันโดยเฉพาะขั้นตอนโดยเฉพาะ นี่คือตัวอย่างง่ายๆ:

$z = a+bi$ $|z|$ $\angle z$ $z$

| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$

∠ z = \tan^{- 1} (\frac{b}{a})

$\angle z = \tan ^{-1} \left( \frac{b}{a} \right)$

$z$ $z_1$ $z_2$

z = \frac{z_{1} + z_{2}}{2} = \frac{a_{1} + b_{1} i + a_{2} + b_{2} i}{2} = \frac{(a_{1} + a_{2}) + (b_{1} + b_{2}) i}{2}

$z = \frac{ z_1 + z_2 } {2} = \frac{ a_1+b_1i + a_2 + b_2i } {2} = \frac{ (a_1+a_2) + (b_1 + b_2)i } {2}$

ในกรณีนี้,

| z | = \sqrt{\frac{(a_{1} + a_{2})^{2}}{4} + \frac{(b_{1} + b_{2})^{2}}{4}} = \frac{1}{2} \sqrt{(a_{1} + a_{2})^{2} + (b_{1} + b_{2})^{2}} \neq \frac{\sqrt{a_{1}^{2} + b_{1}^{2}} + \sqrt{a_{2}^{2} + b_{2}^{2}}}{2}

$|z| = \sqrt{\frac{(a_1+a_2)^2}{4} + \frac{(b_1+b_2)^2}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt{(a_1+a_2)^2 + (b_1+b_2)^2}\neq \frac{\sqrt{a_1^2 + b_1^2}+\sqrt{a_2^2 + b_2^2}}{2}$

นอกจากนี้

∠ z = \frac{\tan^{- 1} (\frac{b_{1}}{a_{1}}) + \tan^{- 1} (\frac{b_{2}}{a_{2}})}{2} \neq \tan^{- 1} (\frac{2 (b_{1} + b_{2})}{2 (a_{1} + a_{2})})

$\angle z = \frac{\tan ^{-1} \left( \frac{b_1}{a_1} \right) + \tan ^{-1} \left( \frac{b_2}{a_2} \right)}{2} \neq \tan ^{-1} \left( \frac{2(b_1+b_2)}{2(a_1+a_2)} \right)$

$|z|$ $\angle z$

ตอนนี้เพื่อที่จะทำสิ่งที่คุณพยายามจะทำฉันแนะนำต่อไปนี้ ในทางทฤษฎีคุณสามารถค้นหาการตอบสนองต่อแรงกระตุ้นของระบบโดยแบ่ง DFT ของเอาต์พุตด้วย DFT ของอินพุต อย่างไรก็ตามเมื่อมีสัญญาณรบกวนคุณจะได้รับผลลัพธ์ที่แปลกมาก วิธีที่ดีกว่าเล็กน้อยในการทำเช่นนี้คือใช้การประเมินการตอบสนองต่อแรงกระตุ้น FFT แบบดูอัลแชนแนลซึ่งจะเป็นดังนี้ (ไม่ได้มาที่นี่ แต่คุณสามารถหาได้ทางออนไลน์)

$G_i(f) = \dfrac{ F^1_i(f) + F^2_i(f) + \cdots + F^N_i(f) }{N}$ $F^k_i(f)$ $k$ $k$ $i$ $G_o(f) = \dfrac{ F^1_o(f) + F^2_o(f) + \cdots + F^N_o(f) }{N}$ $G$ $\hat{H}(f)$ $H(f)$

\hat{H} (f) = \frac{G_{o} (f) G_{i}^{*} (f)}{| G_{i} (f) |^{2}}

$\hat{H}(f) = \frac{G_o(f)G_i^*(f)}{|G_i(f)|^2}$

$(\cdot)^*$

— phonon
แหล่งที่มา

ขอบคุณ; ฉันไม่แน่ใจว่าจะลงคะแนนหนึ่งหรือ nibot นี้เป็นคำตอบที่ดีที่สุด - ฉันคิดว่าพวกเขากำลังสนับสนุนกระบวนการเดียวกันดังนั้นไปกับหนังสือแนะนำ แต่ถ้าฉันมีสองคะแนนจะรวมนี้ด้วย ...

— andrew cooke

@ andrewcooke ใช่พวกเขาทั้งสองกำลังสนับสนุนสิ่งเดียวกัน ฉันหวังว่าสิ่งนี้จะช่วยคุณและเพื่อนร่วมงานของคุณ

— Phonon

มันช่วยฉันได้มากมาก (ขอบคุณอีกครั้ง) ในวันจันทร์ฉันจะแนะนำให้ฉัน (1) ใช้วิธีการที่แนะนำและ (2) ทำการเปรียบเทียบกับข้อมูลที่ทราบ (สังเคราะห์) สำหรับทั้งสาม หวังว่าแนวทางที่ดีที่สุดจะชนะ: o)

— andrew cooke

@Phon เราใช้ความยาว FFT ในการคำนวณ FFT อย่างไร length_of_signal + max_length_of_channel + 1?

— Spacey

@ Mohammad ต้องมีความยาวอย่างน้อยสองเท่าของความล่าช้าที่คุณคาดว่าจะพบ นี่เป็นเพราะสมมาตรแบบวงกลมของ DFT ดังนั้นคุณจะได้รับทั้งค่าสาเหตุและสาเหตุที่ไม่ใช่สาเหตุในผลลัพธ์ของคุณ

— Phonon

นี่คือความแตกต่างระหว่างค่าเฉลี่ยของสเปกตรัม FFT ที่ต่อเนื่องและไม่ต่อเนื่องกัน ค่าเฉลี่ยที่สอดคล้องกันมีแนวโน้มที่จะปฏิเสธสัญญาณรบกวนแบบสุ่มในการวิเคราะห์ การเชื่อมโยงกันมีแนวโน้มที่จะเน้นเสียงรบกวนแบบสุ่ม ข้อใดต่อไปนี้สำคัญกับรายงานผลลัพธ์ของคุณ

— hotpaw2
แหล่งที่มา

หากพวกเขาให้ผลลัพธ์ที่แตกต่างฉันเดาว่าฉันต้องการการประเมินที่เป็นกลาง ไม่มีอคติหรือไม่

— andrew cooke