การสุ่มตัวอย่างก่อนขึ้นความสัมพันธ์ข้ามไร้ประโยชน์หรือไม่

พิจารณากรณีง่าย ๆ ที่สัญญาณสองตัวจากเซ็นเซอร์ที่แตกต่างกันสองตัวมีความสัมพันธ์ข้ามกันและการหน่วงเวลาของการมาถึงคำนวณจาก absissa ของจุดสูงสุดของฟังก์ชั่นความสัมพันธ์ข้าม

ตอนนี้ให้เราสมมติต่อไปว่าเนื่องจากข้อ จำกัด ด้านมิติของทั้งเสาอากาศและข้อ จำกัด ของอัตราการสุ่มตัวอย่างสูงสุดที่เป็นไปได้การหน่วงเวลาที่สามารถบรรลุได้สูงสุดคือซึ่งสอดคล้องกับ 10 ตัวอย่าง$D$

ปัญหา:

เนื่องจากข้อ จำกัด เหล่านั้นล่าช้าคำนวณของคุณอาจแตกต่างกันไปจากจำนวนเต็มค่าระหว่าง 0 ถึง 10 ตัวอย่างที่:10 นี่เป็นปัญหาเนื่องจากสิ่งที่ฉันต้องการจริง ๆ คือการเลือกปฏิบัติความล่าช้าเล็กน้อยระหว่างสัญญาณทั้งสองที่ส่งผลต่อเสาอากาศของฉันและการเปลี่ยนขนาดหรืออัตราการสุ่มตัวอย่างไม่ใช่ตัวเลือก$0 \le D \le 10$

ความคิดบางอย่าง:

• สิ่งแรกที่ฉันคิดในกรณีนี้คือการอัปเกรดสัญญาณก่อนที่จะทำการเชื่อมโยงข้ามกัน อย่างไรก็ตามฉันคิดว่านี่เป็น 'การโกง' อย่างใดเพราะฉันไม่ได้เพิ่มข้อมูลใหม่ใด ๆ ลงในระบบ

• ฉันไม่เข้าใจว่าการยกตัวอย่างไม่ได้เป็น 'การโกง' ในแง่หนึ่ง ใช่เรากำลังสร้างสัญญาณของเราใหม่โดยใช้ข้อมูลความถี่ที่สังเกตได้ในปัจจุบัน แต่สิ่งนี้ให้ความรู้หนึ่งที่สัญญาณเริ่มต้นอย่างแท้จริงระหว่างพูดและอย่างไร ข้อมูลนี้มีอยู่ที่ไหนในสัญญาณดั้งเดิมที่พิจารณาว่าการเริ่มต้นสัญญาณล่าช้าแบบเศษส่วนจริง ๆ นั้นอยู่ที่ ?D = 8 D = $D=7$$D=8$$D=7.751$

คำถาม):

• นี่คือ 'การโกง' อย่างแท้จริงหรือไม่?

  • ถ้าไม่เช่นนั้นข้อมูลใหม่นี้มาจากไหน
  • ถ้าใช่มีตัวเลือกอื่นใดอีกบ้างที่ใช้ในการประมาณเวลาเศษส่วนแบบล่าช้า

• ฉันรับรู้ถึงการยกตัวอย่างผลลัพธ์ของ cross-correlation ซึ่งเป็นความพยายามที่จะรวบรวมคำตอบของกลุ่มตัวอย่างที่ล่าช้า แต่นี่ไม่ใช่รูปแบบของ 'การโกง' หรือไม่ ทำไมมันถึงแตกต่างจากการสุ่มตัวอย่างก่อนที่จะมีความสัมพันธ์ข้าม?

หากเป็นกรณีที่การสุ่มตัวอย่างไม่ได้เป็น 'การโกง' แล้วทำไมเราต้องเพิ่มอัตราการสุ่มตัวอย่างของเรา? (การไม่มีอัตราการสุ่มตัวอย่างที่สูงกว่าจะดีกว่าการแก้ไขสัญญาณตัวอย่างต่ำเสมอหรือไม่)

ดูเหมือนว่าเราจะสามารถสุ่มตัวอย่างในอัตราที่ต่ำมากและแก้ไขได้มากเท่าที่เราต้องการ สิ่งนี้จะไม่เพิ่มอัตราตัวอย่าง 'ไร้ประโยชน์' ในแง่ของการแค่สอดแทรกสัญญาณตามความต้องการของหัวใจของเราหรือไม่? ฉันรู้ว่าการแก้ไขต้องใช้เวลาในการคำนวณและเริ่มต้นด้วยอัตราตัวอย่างที่สูงกว่าจะไม่ แต่นั่นก็เป็นเพียงเหตุผลเดียวใช่ไหม

ขอบคุณ

มันไม่ได้โกงและมันก็ไม่ได้เพิ่มข้อมูลใหม่ สิ่งที่คุณกำลังทำคือสิ่งเดียวกันกับที่การอัปเดต LPF ใด ๆ กำลังทำอยู่ - เพิ่มศูนย์แล้วสร้างรูปคลื่นใหม่ด้วยข้อมูลความถี่ที่ทราบแล้ว ดังนั้นจึงไม่มีข้อมูลใหม่ แต่ก็ยังมีการแก้ไขเวลาที่ดีกว่า

การยกตัวอย่างใหม่ผลลัพธ์คล้ายคลึงกัน - ไม่มีข้อมูลใหม่ แต่การแก้ไขเวลาที่ละเอียดกว่า คุณสามารถทำบางสิ่งบางอย่างที่คล้ายกันมากผ่านการแก้ไขสมการกำลังสอง

วิธีการทั้งหมดเหล่านี้ - การสุ่มตัวอย่างและการประมาณค่าพหุนาม - รับข้อมูลของพวกเขาว่าส่วนใดของยอดเขามาจากยอดเขาเองและเพื่อนบ้าน ตัวอย่างภาพย่อ

เส้นสีฟ้าในภาพด้านบนคือข้อมูลครอส - สหสัมพันธ์แบบจำลองของฉัน (แม้ว่ามันอาจเป็นผลลัพธ์ใด ๆ ก็ได้ มันคือสิ่งที่ฉันเรียกว่ายอด "สมดุล" เพราะเพื่อนบ้านนั้นสมมาตร อย่างที่คุณคาดไว้การประมาณกำลังสองที่เกิดขึ้น (เส้นสีแดง) บ่งชี้ว่าค่าสูงสุดจริงเป็นศูนย์

ในขณะที่ภาพด้านล่างจะแสดงจุดสูงสุดที่ไม่สมดุล โปรดทราบว่าไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลงในผลลัพธ์ยกเว้นค่าของสองประเทศเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุด อย่างไรก็ตามนี่เป็นสาเหตุที่ผู้แก้ไขทำการปรับเปลี่ยนค่าประมาณของค่ายอดเศษส่วน

ข้อดีข้างเคียงที่ดีของวิธีการเหล่านี้ (การประมาณค่าแบบโพลิโนเมียลและการยกตัวอย่าง) คือมันช่วยให้คุณประมาณค่าสูงสุดที่แท้จริงแม้ว่าเรามักจะสนใจสถานที่มากกว่า

หากเป็นกรณีที่การสุ่มตัวอย่างไม่ได้เป็น 'การโกง' แล้วทำไมเราต้องเพิ่มอัตราการสุ่มตัวอย่างของเรา?

เพื่อให้เป็นไปตามเกณฑ์ของ Nyquist

การมีอัตราการสุ่มตัวอย่างที่สูงกว่าจะดีกว่าการประมาณสัญญาณตัวอย่างต่ำหรือไม่

ไม่จากมุมมองเชิงทฤษฎีตราบใดที่เกณฑ์ Nyquist เป็นที่พอใจมันไม่สำคัญว่าอัตราตัวอย่างจะเป็นเท่าไหร่ จากมุมมองที่ใช้งานได้จริงคุณมักจะมีอัตราตัวอย่างน้อยที่สุดเท่าที่จะทำได้เพื่อลดความต้องการพื้นที่เก็บข้อมูลและภาระการคำนวณซึ่งจะช่วยลดทรัพยากรที่จำเป็นและการใช้พลังงาน

สัญญาณ bandlimited ใด ๆ สามารถแก้ไขได้ ข้อมูลเพิ่มเติม "ระหว่างกลุ่มตัวอย่าง" มีอยู่ในกลุ่มตัวอย่างที่อยู่ติดกันบวกกับความจริงที่ว่าสัญญาณเป็นแบนด์ จำกัด ก่อนการสุ่มตัวอย่าง (ซึ่งมีแนวโน้มที่จะกระจายข้อมูลระหว่างกลุ่มตัวอย่างที่อยู่ติดกัน) หากสัญญาณสองสัญญาณนั้นไม่ จำกัด band จะมีค่าสหสัมพันธ์ข้ามกันดังนั้นการข้ามสหสัมพันธ์จึงสามารถสอดแทรกได้เช่นกัน Upsampling เป็นเพียงรูปแบบหนึ่งของการแก้ไขอีกรูปแบบหนึ่งของการแก้ไขที่แม่นยำมากสำหรับสัญญาณ bandlimited; แต่คุณสามารถใช้การแก้ไขแบบ Sinc ได้เช่นกัน (ทั้งสองแบบนั้นมีความแม่นยำมากกว่าการประมาณกำลังสองหรือพาราโบลา)

การแก้ไขอาจแสดงจุดสูงสุดระหว่างตัวอย่าง ดังนั้นอาจไม่ไร้ประโยชน์

หากคุณมีสัญญาณที่มีคลื่นความถี่ที่กว้างขึ้นก็สามารถมีข้อมูลเพิ่มเติม การสุ่มตัวอย่างในอัตราที่สูงกว่าจะให้ข้อมูลเพิ่มเติม แต่จะมีความถี่ต่ำกว่าครึ่งหนึ่งของความถี่ จำกัด ย่านความถี่ใหม่และหากสัญญาณมีเนื้อหาสเปกตรัมความถี่ที่เป็นประโยชน์จริงมากกว่าขีด จำกัด ย่านความถี่แบบเก่าและหากคุณสามารถรับข้อมูลเพิ่มเติมนี้ได้ สเปกตรัมโดยใช้กระบวนการหรือตัวกรองวง จำกัด วงกว้างใหม่แทนการสูญเสียเก่ามากขึ้น การสุ่มตัวอย่างข้อมูลด้วยความถี่ที่สูงกว่ามากของสัญญาณที่ได้ถูก จำกัด ให้เป็นความถี่ต่ำกว่า Fs / 2 ที่ต่ำกว่ามากจะเป็นการซื้อการแก้ไขเท่านั้นไม่ใช่เนื้อหาข้อมูลเพิ่มเติม

หากการสุ่มตัวอย่างเป็นแบบ Quantized การสุ่มตัวอย่างในอัตราที่สูงกว่าอาจซื้อเศษส่วนของข้อมูลเพิ่มเติมของ LSB ให้คุณเนื่องจากการทำ dithering หรือสัญญาณรบกวนของการคลาดเคลื่อนคลาดเคลื่อน แต่สิ่งนี้ขึ้นอยู่กับอัตราส่วน S / N และความแม่นยำของตัวอย่างและกระบวนการ quantization ที่แน่นอนที่ใช้ในการสุ่มตัวอย่าง

หากสัญญาณสองสัญญาณไม่ถูกต้องอย่างไม่ จำกัด วงก่อนการสุ่มตัวอย่างและการสหสัมพันธ์ข้ามกันไม่เพียง แต่ทั้งการอัปแซมปลิงหรือการสอดแทรกซื้อผลขยะให้คุณ แต่อาจเป็นสัญญาณข้ามที่ไม่เกี่ยวข้อง

ฉันคิดว่าคำตอบที่ดีที่สุดที่ฉันสามารถให้คุณได้คือคุณมีทุกวิธีที่จะค้นหาด้วยตัวเอง สร้างตัวอย่าง "ย้อนกลับ" การใช้ Matlab เริ่มต้นด้วยสองสัญญาณที่สุ่มตัวอย่างด้วยช่วงเวลาการสุ่มตัวอย่างที่น้อยมาก คำนวณความสัมพันธ์ข้ามและหาจุดสูงสุด (ถ้านั่นคือสิ่งที่คุณต้องการ) ซึ่งคุณจะสามารถทำได้ด้วยความแม่นยำสูง จากนั้นให้กดสัญญาณทั้งสองแล้วทำซ้ำกระบวนการ เปรียบเทียบที่ตั้งและความสูงของยอดที่สองกับที่หนึ่ง ฉันแน่ใจว่าครั้งที่สองจะแย่กว่านี้ การปรับปรุงจากตัวที่สองเป็นตัวแรกคือสิ่งที่คุณจะได้รับหากคุณเพิ่มขึ้นก่อนที่จะสัมพันธ์กัน

หากต้องการอัพอย่างถูกวิธีสัญญาณทั้งสองจะต้องมีแบนด์ จำกัด และคุณจำเป็นต้องรู้แบนด์วิดท์เหล่านั้น ข้อมูล "ใหม่" ที่คุณพูดถึงในคำถามของคุณนั้นมาจากกลุ่มตัวอย่างที่อยู่ติดกันและความจริงที่ว่าสัญญาณนั้นมี จำกัด

ในการเพิ่มบิตให้กับคำตอบก่อนหน้านี้คุณสามารถรับค่าความสัมพันธ์ข้าม จำกัด แบบ จำกัด วงโดยการทำให้ตัวแปรความสัมพันธ์ของคุณเป็นจำนวนเต็ม

โค้ดต่อไปนี้ (ไพ ธ อน) คำนวณโดยที่ $\tau$

นั่นคือพบว่าค่าข้ามสัมพันธ์สูงสุด

ตัวแปรอินพุตaและbอธิบายและสำหรับและทั้งคู่คาดว่าจะมีวง จำกัด และเป็นระยะ ด้วยจุด (การเลื่อนถูกนำไปใช้ในโดเมนฟูริเยร์แบบแยก) อยู่ในช่วงN-1]$f\left(n\right)$$g\left(n\right)$$n = \{0, 1, ... , N-1\}$$N$$\tau$$[-N+1, N-1]$

ความตั้งใจคือการแสดงให้เห็นว่าข้ามความสัมพันธ์สามารถดำเนินการสำหรับที่ไม่ใช่จำนวนเต็มซึ่งจะถูกกำหนดโดยการปิด นี้ใช้อาร์เรย์ซึ่งอธิบายการหมุนของเฟสเซอร์ที่ซับซ้อนในแต่ละความถี่ต่อเนื่องสอดคล้องกับเวลากะ 1 จะทำการปรับขนาดนี้สำหรับการเลื่อนแต่ละครั้ง มันควรจะชัดเจนว่าการรักษาสัญญาณเรียลไทม์, การหมุนของความถี่เชิงลบเป็นเพียงเท่าของการหมุนของความถี่บวก (สำหรับคู่ความถี่ที่สอดคล้องกัน)$\tau$correlate_pointomega$\tau=1$$\tau$$-1$

ความละเอียดอ่อนอย่างหนึ่งคือวิธีที่คุณปฏิบัติกับตัวอย่าง (ความถี่ nyquist) เนื่องจากมีการแชร์ระหว่างแถบบวกและลบ วิธีการแก้ปัญหาที่ใช้ที่นี่คือการสอดแทรกระหว่างเฟสเซอร์หมุนบวกและเฟสเซอร์หมุนเชิงลบ (ซึ่งเป็นภาพสะท้อนบนแกนจริง) ซึ่งเป็นโครงการทั้งหน่วยหมุนเฟสเซอร์บนแกนจริงซึ่งเป็นฟังก์ชั่น cos (คนเป็นเพราะเห็นว่า คือค่าที่สอดคล้องกับความถี่ nyquist) เห็นได้ชัดว่าค่านี้ต้องเป็นจริงเพื่อรักษาสัญญาณโดเมนเรียลไทม์$\frac{N}{2}$piomega

คุณสามารถใช้ในการคำนวณข้ามความสัมพันธ์ใด ๆ ค่าได้อย่างแม่นยำโดยพลการของ\เพียงโทรปิด (ซึ่งสามารถกลับมาเป็น callable) กับสิ่งที่คุ้มค่าของที่คุณจินตนาการ$\tau$$\tau$

import numpy
from numpy import fft
from scipy import optimize

def arg_max_corr(a, b):

    if len(a.shape) > 1:
        raise ValueError('Needs a 1-dimensional array.')

    length = len(a)
    if not length % 2 == 0:
        raise ValueError('Needs an even length array.')

    if not a.shape == b.shape:
        raise ValueError('The 2 arrays need to be the same shape')

    # Start by finding the coarse discretised arg_max
    coarse_max = numpy.argmax(numpy.correlate(a, b, mode='full')) - length+1

    omega = numpy.zeros(length)
    omega[0:length/2] = (2*numpy.pi*numpy.arange(length/2))/length
    omega[length/2+1:] = (2*numpy.pi*
            (numpy.arange(length/2+1, length)-length))/length

    fft_a = fft.fft(a)

    def correlate_point(tau):
        rotate_vec = numpy.exp(1j*tau*omega)
        rotate_vec[length/2] = numpy.cos(numpy.pi*tau)

        return numpy.sum((fft.ifft(fft_a*rotate_vec)).real*b)

    start_arg, end_arg = (float(coarse_max)-1, float(coarse_max)+1)

    max_arg = optimize.fminbound(lambda tau: -correlate_point(tau), 
            start_arg, end_arg)

    return max_arg

มีข้อพิสูจน์ที่เข้าใจง่ายว่าการยกตัวอย่างก่อนข้ามความสัมพันธ์มีค่าเท่ากับการทำในภายหลัง:

การครอสสัมพันธ์มีความสัมพันธ์กับสัญญาณเวลาอื่น ๆ การย้อนกลับเวลาไม่มีผลกับแบนด์วิดท์ Convolution เป็นการคูณในโดเมนความถี่ซึ่งยังไม่เพิ่มแบนด์วิดท์ หากสัญญาณดั้งเดิมมีการ จำกัด วงอย่างถูกต้องถึงครึ่งหนึ่งของความถี่การสุ่มตัวอย่างดังนั้นผลลัพธ์ข้ามความสัมพันธ์จะเป็นเช่นนั้น ไม่มีการใช้นามแฝงเพื่อทำลายผลลัพธ์ การแก้ไขหลังจากนั้นจะบันทึกงาน