จะเข้าใจ Kalman ได้อย่างไรโดยสังหรณ์?

ขั้นตอนวิธีการกรองคาลมาทำงานดังนี้

เริ่มต้นx 0 | 0และ0}$\hat{\textbf{x}}_{0|0}$$\textbf{P}_{0|0}$

ในแต่ละการวนซ้ำ$k=1,\dots,n$

ทำนาย

ที่คาดการณ์ไว้ (เป็นนิรนัย) สถานะการคาดการณ์ ทำนายความแปรปรวนร่วม (เบื้องต้น)อัปเดตPk| k-1=FkPk-1| k-1F T k +Q

$$\hat{\textbf{x}}_{k|k-1} = \textbf{F}_{k}\hat{\textbf{x}}_{k-1|k-1} + \textbf{B}_{k} \textbf{u}_{k}$$ $$\textbf{P}_{k|k-1} = \textbf{F}_{k} \textbf{P}_{k-1|k-1} \textbf{F}_{k}^{\text{T}} + \textbf{Q}_{k}$$

นวัตกรรมหรือการวัดส่วนที่เหลือ นวัตกรรม (หรือส่วนที่เหลือ) ความแปรปรวน Optimal Kalman ได้ Updated (ก posteriori) ประมาณการรัฐ อัปเดตแล้ว (ผู้หลัง) ประมาณความแปรปรวน \ textbf {P} _ {k | k} = (I - \ textbf {K} _k \ textbf {H} _k) \ textbf {P} _ {k | k-1}Sk=HkPk| k-1H T k +R

$$\tilde{\textbf{y}}_k = \textbf{z}_k - \textbf{H}_k\hat{\textbf{x}}_{k|k-1}$$ $$\textbf{S}_k = \textbf{H}_k \textbf{P}_{k|k-1} \textbf{H}_k^\text{T} + \textbf{R}_k$$ x k | k = x k | k - 1 + K k ˜ y k P k | k =(I- K k H k ) P k | k - $$\textbf{K}_k = \textbf{P}_{k|k-1}\textbf{H}_k^\text{T}\textbf{S}_k^{-1}$$ $$\hat{\textbf{x}}_{k|k} = \hat{\textbf{x}}_{k|k-1} + \textbf{K}_k\tilde{\textbf{y}}_k$$ $$\textbf{P}_{k|k} = (I - \textbf{K}_k \textbf{H}_k) \textbf{P}_{k|k-1}$$

คาลมานกำไรแสดงให้เห็นถึงความสำคัญของข้อผิดพลาดด้วยความเคารพกับการคาดการณ์ก่อนK-1}~ Y k x k | k - $K_k$$\tilde{\textbf{y}}_k$$\hat{\textbf{x}}_{k|k-1}$

ฉันสงสัยว่าจะเข้าใจสูตรของ Kalman ที่ได้รับได้อย่างไรอย่างสังหรณ์ใจ ? พิจารณากรณีที่รัฐและเอาท์พุทเป็นเซนต์คิตส์และเนวิสทำไมที่ใหญ่กว่าเมื่อ$K_k$

• $\textbf{P}_{k|k-1}$ใหญ่กว่า

• $\textbf{H}_k$ใหญ่กว่า

• $\textbf{S}_k$เล็กลงหรือไม่

ขอบคุณและขอแสดงความนับถือ!

ผมพบว่าวิธีที่ดีของการคิดอย่างสังหรณ์ใจของคาลมานกําไรKถ้าคุณเขียนด้วยวิธีนี้$K$$K$

$\displaystyle \quad\ \bf{K_k} = \bf{P_k^-\, H_k^{\rm T} (H_k P_k^-\, H_k^{\rm T} + R_k)^{-1}} = \bf{\frac {P_k^-\, H_k^{\rm T}}{H_k P_k^-\, H_k^{\rm T} + R_k}}$

คุณจะรู้ว่าขนาดสัมพัทธ์ของเมทริกซ์ ( ) และ ( ) ควบคุมความสัมพันธ์ระหว่างการใช้ตัวกรองของการประมาณค่าสถานะที่คาดการณ์ ( ) และการวัด ( )$R_k$$P_k$$x_{k}⁻$$ỹ_k$

$\displaystyle \quad\ \lim\limits_{\bf{R_k \to 0}} \bf{{P_k^-\, H_k^{\rm T}} \over\ {H_k P_k^-\, H_k^{\rm T} + R_k}}\ = \bf{H_k^{-1}}$

$\displaystyle \quad\ \lim\limits_{\bf{P_k \to 0}} \bf{{P_k^-\, H_k^{\rm T}} \over\ {H_k P_k^-\, H_k^{\rm T} + R_k}}\ = \bf 0$

การแทนที่ขีด จำกัด แรกลงในสมการการปรับปรุงการวัด

$\displaystyle \quad\ \bf{\hat x_k} = \bf{x_k^-} + \bf{K_k}(\bf{\tilde y_k}-\bf{H_k}\bf{x_k^-})$

แสดงให้เห็นว่าเมื่อขนาดของมีขนาดเล็กหมายความว่าการวัดมีความแม่นยำการประมาณสถานะขึ้นอยู่กับการวัดเป็นส่วนใหญ่$R$

เมื่อทราบสถานะอย่างแม่นยำนั้นมีขนาดเล็กเมื่อเทียบกับและตัวกรองส่วนใหญ่จะไม่สนใจการวัดที่ใช้แทนการคาดการณ์ที่ได้มาจากสถานะก่อนหน้า ( )$H P^⁻ H^T$$R$$x_k⁻$

กำไรจากคาลมานจะบอกคุณว่าฉันต้องการเปลี่ยนแปลงการประมาณการของฉันมากเพียงใดโดยการวัด

${\bf S}_k$${\bf z}_k$${\bf S}_k$

${\bf P}_k$${\bf x}_k$${\bf P}_k$

${\bf P}_k$${\bf P}_k \rightarrow 0$$K\rightarrow 0$

$\bf{K_k}$

$\displaystyle \quad\ \bf{K_k} = \bf{P_k^-\, H_k^{\rm T} (H_k P_k^-\, H_k^{\rm T} + R_k)^{-1}} = \bf{H_k^-\frac {H_kP_k^-\, H_k^{\rm T}}{H_k P_k^-\, H_k^{\rm T} + R_k}}$

$\bf{R_k}$

$\bf{H_k^-}$

$\bf{K_k}$

$\displaystyle \quad\ \bf{\hat x_k} = \bf{x_k^-} + \bf{K_k}(\bf{\tilde y_k}-\bf{H_k}\bf{x_k^-})$

ฉันกำลังทำงานกับอัลกอริทึม Kalman Filter (KF) ฉันสังเกตเห็นว่าคาลมานเกี่ยวข้องกับการลู่เข้าของอัลกอริทึมกับเวลานั่นคืออัลกอริธึมที่ถูกต้องแก้ไขและลดส่วนที่เหลือให้เร็วที่สุด

การเข้าสู่สมการเลือกค่าการได้รับคาลมานเริ่มต้นและเปลี่ยนแปลงจากต่ำไปสูงที่สามารถให้ค่าประมาณได้