วิธีการประมาณฟังก์ชั่นการถ่ายโอนจากการตอบสนองความถี่ขนาดเท่านั้น?

ให้การตอบสนองความถี่โดยพลการวิธีการประมวลผลสัญญาณใดที่อาจมีอยู่ซึ่งสามารถคาดเดาประเมินหรือกำหนดฟังก์ชั่นการถ่ายโอน (เสาและกลุ่มดาวศูนย์) ซึ่งให้การประมาณ "ดีพอสมควร" (สำหรับเกณฑ์การประเมินคุณภาพที่กำหนด) มีวิธีใดในการประมาณจำนวนของเสาและศูนย์ที่จำเป็นสำหรับฟังก์ชันการถ่ายโอนที่กำหนดบวกกับค่าเผื่อข้อผิดพลาดโดยประมาณที่กำหนด? หรือวิธีหนึ่งสามารถตัดสินว่าข้อ จำกัด เหล่านี้ไม่สามารถทำได้ถ้าเป็นไปได้?

หากการตอบสนองความถี่ที่กำหนดนั้นถูกสร้างขึ้นจริงโดยฟังก์ชั่นการถ่ายโอนที่รู้จักวิธีการใด ๆ เหล่านี้จะมาบรรจบกับฟังก์ชั่นการถ่ายโอนต้นฉบับนั้นหรือไม่ ถ้าการตอบสนองความถี่ที่กำหนดนั้นเป็นไปตามข้อผิดพลาดในการวัด (สมมติว่าเสียน)

สมมติว่าทำงานในระนาบ Z กับสเปกตรัมตัวอย่างแม้ว่าคำตอบโดเมนต่อเนื่องอาจน่าสนใจ

เพิ่มเติม: วิธีการแก้ปัญหาแตกต่างกันหรือไม่หากมีการกำหนดขนาดของการตอบสนองความถี่เท่านั้น (เช่นอนุญาตให้ใช้โซลูชันที่มีการตอบสนองเฟสใด ๆ ) หรือไม่

เพิ่มเติม: ปัญหาหลังคือสิ่งที่ฉันสนใจมากที่สุดเมื่อได้รับการตอบสนองต่อขนาดที่รู้จักรอบวงกลมหน่วย แต่การตอบสนองเฟสที่ไม่ทราบ / ไม่ถูกวัดสามารถประมาณระบบที่วัดได้และหากเป็นเช่นนั้นภายใต้เงื่อนไขใด

transfer-function frequency-response zeros

— hotpaw2
แหล่งที่มา

คุณพยายามประมาณการตอบสนองความถี่โดยพลการในฐานะคลื่นความถี่ที่มีเหตุผลหรือไม่? นั่นคือ (b [0] + b [1] z ^ -1 ... ) / (1 + a [1] z ^ -1 ... )? ถ้าเป็นเช่นนั้นสิ่งนี้จะเรียกโดยทั่วไปว่าการสร้างแบบจำลอง ARMA มันยากกว่าการสร้างแบบจำลอง AR เนื่องจากความสัมพันธ์ของสัญญาณอัตโนมัติมีแนวโน้มที่จะเกี่ยวข้องกับค่าสัมประสิทธิ์การเคลื่อนที่แบบไม่เชิงเส้น (b [] 's หรือค่าศูนย์) หากสมมติฐานของฉันถูกต้องฉันสามารถเขียนคำตอบที่เป็นทางการมากขึ้น

— ไบรอัน

@Bryan: ใช่ ฉันพยายามที่จะบอกเป็นนัยว่าโดยระบุโซลูชัน "pole and zero" (ฟังก์ชั่นการถ่ายโอนแบบมีเหตุผล) มีความเหมาะสม (ดีกว่าเฉพาะถ้าดีกว่าทุกเสา

— hotpaw2

สิ่งที่มีความหมายที่แนบมากับการตอบสนองความถี่ ? บางคนแยกความแตกต่างระหว่างฟังก์ชั่นตอบสนองความถี่

หรือ

และฟังก์ชั่นถ่ายโอน

และบางคนทำไม่ได้ ดูตัวอย่างการสนทนาทำตามคำตอบของคำถามก่อนหน้านี้

H (ω)

$H(\omega)$

H (f)

$H(f)$

H (s)

$H(s)$

— Dilip Sarwate

@Dilip Sarwate: กำหนด H (w) เฉพาะสำหรับหน่วยวงกลม (นั่นคือซ้ำซ้อนหรือไม่) ให้แก้ / ประเมินตัวแทนเครื่องบิน z ที่สมบูรณ์ หวังว่ามันจะสอดคล้องกับคำแถลงเดิมของคำถาม

— hotpaw2

นอกจากนี้คุณยังเปลี่ยนแปลงสิ่งต่าง ๆ เสาและเลขศูนย์สามารถเปลี่ยนแปลงได้ด้วยการตอบสนองต่อขนาดที่เหลืออยู่เดิม ตัวอย่างที่พบบ่อยที่สุดคือเมื่อมีการออกแบบตัวกรองเฟสขั้นต่ำ โดยทั่วไปเกี่ยวข้องกับการใช้ระบบที่มีอยู่และสะท้อนถึงเสาและศูนย์ภายในวงกลมหน่วย สิ่งนี้เปลี่ยนการตอบสนองเฟสเท่านั้นไม่ใช่การตอบสนองขนาด

— ไบรอัน

คำตอบ:

วิธีการหนึ่งที่จะใช้โดเมนความถี่อย่างน้อยสี่เหลี่ยม (FDLS) วิธีการ ด้วยชุดของตัวอย่าง (ซับซ้อน) ของการตอบสนองความถี่ของระบบที่ไม่ต่อเนื่องและคำสั่งตัวกรองที่เลือกโดยผู้ออกแบบวิธีการ FDLS ใช้การเพิ่มประสิทธิภาพกำลังสองน้อยที่สุดเชิงเส้นเพื่อแก้ปัญหาสำหรับชุดค่าสัมประสิทธิ์ และศูนย์) สำหรับระบบที่การตอบสนองความถี่ตรงกับการตอบสนองที่ต้องการพร้อมข้อผิดพลาดกำลังสองรวมขั้นต่ำ

การตอบสนองความถี่ของระบบเชิงเส้นเวลาไม่ต่อเนื่องเชิงเส้นลำดับที่สามารถเขียนได้เป็น: $N$

H (ω) = H (z) |_{z = e^{j ω}}

$H(\omega) = H(z)|_{z=e^{j\omega}}$

โดยที่เป็นฟังก์ชันถ่ายโอนของระบบในโดเมนโดยทั่วไปแล้วสิ่งนี้จะถูกเขียนในรูปแบบเหตุผลที่ตามมาโดยตรงจากสมการความแตกต่างของระบบ: $H(z)$ $z$

H (z) = \frac{\sum_{k = 0}^{N} b_{k} z^{- k}}{1 + \sum_{k = 1}^{N} a_{k} z^{- k}}

$H(z) = \frac{\sum_{k=0}^{N}b_kz^{-k}}{1 + \sum_{k=1}^{N}a_kz^{-k}}$

การตอบสนองความถี่จึง:

H (ω) = \frac{\sum_{k = 0}^{N} b_{k} e^{- j k ω}}{1 + \sum_{k = 1}^{N} a_{k} e^{- j k ω}}

$H(\omega) = \frac{\sum_{k=0}^{N}b_ke^{-jk\omega}}{1 + \sum_{k=1}^{N}a_ke^{-jk\omega}}$

จัดเรียงข้างต้นใหม่เพื่อรับ:

\sum_{k = 0}^{N} b_{k} e^{- j k ω} - H (ω) (1 + \sum_{k = 1}^{N} a_{k} e^{- j k ω}) = 0

$\sum_{k=0}^{N}b_ke^{-jk\omega} - H(\omega) \left(1 + \sum_{k=1}^{N}a_ke^{-jk\omega}\right) = 0$

สมการนี้เป็นเส้นตรงในค่าสัมประสิทธิ์สมการความแตกต่างที่ไม่รู้จักระบบและkได้รับการตอบสนองความถี่ที่ต้องการเราต้องการที่จะหาค่าสัมประสิทธิ์ที่ตรงตามสมการข้างต้นว่าสำหรับค่าทั้งหมดของωสำหรับกรณีทั่วไปมันยาก ดังนั้นเราจะค้นหาชุดของค่าสัมประสิทธิ์สำหรับระบบที่การตอบสนองความถี่ใกล้เคียงกับการตอบสนองที่ต้องการในชุดความถี่แยก $2N+1$ $b_k$ $a_k$ $H(\omega)$ $\omega$

$\omega_m \in [0, 2\pi), m = 0, 1, \ldots , M-1$ $M > 2N+1$ $M \gg 2N+1)$ $\omega_k$

\sum_{k = 0}^{N} b_{k} e^{- j k ω_{k}} - H (ω_{k}) (1 + \sum_{k = 1}^{N} a_{k} e^{- j k ω_{k}}) = 0

$\sum_{k=0}^{N}b_ke^{-jk\omega_k} - H(\omega_k) \left(1 + \sum_{k=1}^{N}a_ke^{-jk\omega_k}\right) = 0$

$H(\omega_k)$ $\omega_k$ $b_k$ $a_k$ $H(\omega)$

เทคนิคนี้มีข้อดีเล็กน้อย:

การตอบสนองความถี่ใด ๆ ที่ซับซ้อน (ขนาดและเฟส) สามารถใช้เป็นเทมเพลตได้ หากคุณมีข้อ จำกัด ด้านขนาดเพียงแค่คุณสามารถเลือกการตอบสนองเฟสเช่นเฟสเชิงเส้น
$a_k$
เทคนิคนี้ง่ายมากที่จะนำไปใช้และสามารถปรับพารามิเตอร์ได้ง่ายขึ้นอยู่กับลำดับของระบบที่ต้องการ
$N$

คุณสามารถขยายวิธีนี้เล็กน้อยเพื่อใช้การเพิ่มประสิทธิภาพกำลังสองน้อยที่สุดแบบถ่วงน้ำหนักหากจำเป็น สิ่งนี้จะช่วยให้คุณระบุภูมิภาคของการตอบสนองความถี่ที่มีข้อผิดพลาดในการประมาณน้ำหนักมากกว่าคนอื่น สิ่งนี้ช่วยให้คุณสามารถควบคุมพื้นที่ passband / stopband ได้อย่างแน่นหนายิ่งขึ้นในขณะที่ยอมให้ slop มากขึ้นในพื้นที่

— เจสันอาร์
แหล่งที่มา

คำตอบที่ยอดเยี่ยม !! "ศิลปะ" ในการออกแบบตัวกรองที่มีข้อผิดพลาดน้อยที่สุดคือการกำหนดอย่างถูกต้องว่า "ข้อผิดพลาด" คืออะไร สิ่งนี้ถูกควบคุมโดยการเลือกกริดความถี่ที่ถูกต้องปัจจัยถ่วงน้ำหนักที่ความถี่เฉพาะและเพิ่มข้อ จำกัด เพิ่มเติมสำหรับพฤติกรรมนอกแบนด์และเพื่อรักษาเสาของคุณภายในวงกลมหน่วย

— Hilmar

ปัญหาของการแก้ปัญหาที่อาจเกิดขึ้นคือถ้าเฟสไม่ทราบเกี่ยวกับฟังก์ชั่นการถ่ายโอนที่มีอยู่ FDLS อาจมาบรรจบกันในการแก้ปัญหาที่ผิดถ้าสันนิษฐานว่าเฟสผิดไม่ว่าคำสั่งนั้นถูกต้องแม่นยำหรือวัดขนาดการตอบสนอง

— hotpaw2

@ hotpaw2: คาดว่าจะได้ หากคุณไม่รู้อะไรเลยเกี่ยวกับการตอบสนองของเฟสมีวิธีการแก้ปัญหาจำนวนไม่ จำกัด ที่ใช้ได้อย่างเท่าเทียมกัน (เช่นพวกเขาจะมีการตอบสนองต่อขนาดที่ถูกต้อง) คุณจะต้องมีข้อมูลบางอย่างเพื่อนำคุณไปสู่สิ่งที่คุณคิดว่าเป็นทางออกที่เหมาะสมที่สุด

— Jason R

@JasonR: ทางออกที่ถูกต้องเพียงอย่างเดียวคือการเรียงสับเปลี่ยนของเสา / ศูนย์ภายใน / ภายนอกซึ่งเป็นจำนวน จำกัด สำหรับระบบลำดับการ จำกัด ใด ๆ (ที่มีอยู่)

— hotpaw2

เพื่อนร่วมงานของฉันได้ผลลัพธ์ที่ยอดเยี่ยมด้วยการปรับเวกเตอร์ :

การปรับเวกเตอร์เป็นวิธีการเชิงตัวเลขที่มีประสิทธิภาพสำหรับการประมาณด้วยเหตุผลในโดเมนความถี่ อนุญาตให้ระบุแบบจำลองพื้นที่ของรัฐโดยตรงจากการตอบสนองความถี่ที่วัดได้หรือการคำนวณทั้งในระบบอินพุต / เอาท์พุตเดี่ยวหรือหลายระบบ ผลลัพธ์ที่ได้รับประกันเสาที่มั่นคงซึ่งเป็นของจริงหรือมีคู่ที่ซับซ้อน

เราใช้สำหรับการแปลง FIR เป็น IIR

สำหรับการใช้งานที่มีความต้องการน้อยคุณสามารถใช้การปรับกำลังสองน้อยกว่าแบบไม่เชิงเส้นสำหรับจำนวนเสาและศูนย์ได้อย่างแน่นอน นี้จะดำเนินการใน Matlab เป็นและinvfreqsinvfreqz

— nibot
แหล่งที่มา

วิธีอื่น: วางแผนการตอบสนองความถี่และพล็อต Bode ให้พอดีที่สุดเท่าที่จะทำได้ สิ่งนี้สามารถทำได้อย่างรวดเร็วมากสำหรับการแก้ปัญหาโดยประมาณหรือในบางช่องที่มีความละเอียดน้อยที่สุดเพื่อให้เหมาะสมยิ่งขึ้น GTH

— G Heydt
แหล่งที่มา