ความสัมพันธ์ระหว่างซิกมาใน Laplacian ของ Gaussian กับซิกมาสทั้งสองในความแตกต่างของเกาส์คืออะไร?

12

ฉันเข้าใจว่าตัวกรอง Laplacian-of-Gaussian สามารถประมาณได้โดยตัวกรอง Difference-of-Gaussians และอัตราส่วนของซิกมาสทั้งสองสำหรับหลังควรเป็น 1: 1.6 สำหรับการประมาณที่ดีที่สุด อย่างไรก็ตามฉันไม่แน่ใจว่า sigmas ทั้งสองในความแตกต่างของ Gaussians เกี่ยวข้องกับ sigma สำหรับ Laplacian ของ Gaussian ได้อย่างไร sigma ที่เล็กกว่าในอดีตเท่ากับ sigma ของยุคหลังหรือไม่? ซิกม่าที่ใหญ่กว่านี้ไหม? หรือความสัมพันธ์เป็นอย่างอื่น?

image-processing gaussian

— ภาพการเคลื่อนไหว
แหล่งที่มา

> ฉันเข้าใจว่าตัวกรอง Laplacian-of-Gaussian สามารถประมาณโดยตัวกรอง Difference-of-Gaussians และอัตราส่วนของซิกมาสทั้งสองสำหรับหลังควรเป็น 1: 1.6 สำหรับการประมาณที่ดีที่สุด ขอโทษด้วยสิ่งที่อ้างอิงคุณรู้เรื่องนี้?

สวัสดีฉันคิดว่าคำถามนี้จะเหมาะกับที่นี่ - area51.stackexchange.com/proposals/86832/ …มันจะให้การสนับสนุนชุมชนด้วย ขอบคุณ.

— Royi

11

ฉันเข้าใจว่าตัวกรอง Laplacian-of-Gaussian สามารถประมาณโดยตัวกรอง Difference-of-Gaussians และอัตราส่วนของซิกมาสทั้งสองสำหรับหลังควรเป็น 1: 1.6 สำหรับการประมาณที่ดีที่สุด

ในทางทฤษฎีอัตราส่วนที่น้อยกว่าระหว่างสองซิกมาสจะเป็นการประมาณที่ดีกว่า ในทางปฏิบัติคุณจะได้รับข้อผิดพลาดเกี่ยวกับตัวเลขในบางจุด แต่ตราบใดที่คุณใช้ตัวเลขจุดลอยตัวค่าที่น้อยกว่า 1.6 จะช่วยให้การประมาณของคุณดีขึ้น

เพื่อแสดงให้เห็นว่าฉันได้พล็อตหน้าตัดของ LoG และ DoG สำหรับค่า k บางส่วนใน Mathematica:

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

อย่างที่คุณเห็น k = 1.6 ไม่ใช่การประมาณอุดมคติ ตัวอย่างเช่น k = 1.1 จะทำให้การประมาณใกล้เคียงกันมากขึ้น

แต่คุณมักจะต้องการคำนวณการประมาณ LoG สำหรับ sigmas (มิฉะนั้นทำไมต้องกังวลกับการประมาณ DoG เลยการคำนวณอิมเมจที่กรองด้วย LoG เดียวนั้นไม่แพงกว่าการคำนวณอิมเมจที่กรอง DoG เดียว) ดังนั้นค่าของ k จึงถูกเลือกเพื่อให้คุณสามารถคำนวณชุดของตัวกรองแบบเกาส์ได้ รูปภาพที่มี sigmas s, s k, s k ^ 2, s * k ^ 3 ... แล้วคำนวณความแตกต่างระหว่าง gaussians ที่อยู่ติดกัน ดังนั้นถ้าคุณเลือก k ที่เล็กกว่าคุณจะต้องคำนวณ "เลเยอร์" ของ gaussians มากขึ้นในช่วงซิกมาเดียวกัน k = 1.6 เป็นการแลกเปลี่ยนระหว่างที่ต้องการการประมาณที่ใกล้ชิดและไม่ต้องการคำนวณเกาเซียนที่แตกต่างกันมากเกินไป

อย่างไรก็ตามฉันไม่แน่ใจว่า sigmas ทั้งสองในความแตกต่างของ Gaussians เกี่ยวข้องกับ sigma สำหรับ Laplacian ของ Gaussian ได้อย่างไร sigma ที่เล็กกว่าในอดีตเท่ากับ sigma ของยุคหลังหรือไม่?

จากสูตรบนหน้า wiki @Libor ที่เชื่อมโยงกับคุณจะเห็นว่าดังนั้นโดยประมาณ LoG สำหรับ sigma บางอย่างคุณต้องการสอง gaussians ที่มี sigmasและ (อย่างน้อยก็ในขีด จำกัด ) หรือในแง่ของ k: $t=\sigma ^2$ $\sqrt{\sigma ^2+\text{$\Delta $t}}$ $\sqrt{\sigma ^2-\text{$\Delta $t}}$ $\text{$\Delta $t}\to 0$

$\sigma _{\text{Laplace}}=\sigma \sqrt{\frac{1+k^2}{2}}$

— Niki Estner
แหล่งที่มา

ฉันขอโทษหากฉันผิด แต่มันไม่ได้เป็นที่คำนวณเข้าสู่ระบบจริงคือมีราคาแพงกว่าหมา เนื่องจาก Gaussian สามารถแบ่งออกเป็น 2 1D Filter ได้ซึ่งหมายถึงความซับซ้อนจะเป็นแบบเชิงเส้น O (2n) แทนชื่อพหุนาม O (n ^ 2)

— user1916182

@ user1916182: จริงตัวกรอง LoG ไม่สามารถแบ่งแยกได้ แต่ไม่มีตัวกรอง DoG แต่ทั้งคู่เป็นผลรวมของตัวกรองที่แยกกันได้สองตัว (สองเกาส์เซียนที่มีขนาดแตกต่างกันสำหรับ DoG, ตัวกรองอนุพันธ์อันดับสองของเกาส์เซียนอันดับสองสำหรับ LoG) คุณทำประหยัดเวลากับสุนัขถ้าคุณสามารถใช้ "ขนาดใหญ่" ของทั้งสอง Gaussians ระดับขนาดต่อไปเพื่อให้คุณมีการคำนวณ 1 + n Gaussians สำหรับเครื่องชั่ง n ในทางตรงกันข้ามกับ 2 * ฟิลเตอร์อนุพันธ์ n เกาส์สำหรับ n เครื่องชั่งน้ำหนักเข้าสู่ระบบ .

— Niki Estner

3

บางทีสูตรที่นี่สามารถช่วยคุณได้

เนื่องจากการแสดงพื้นที่สเกลนั้นเป็นไปตามสมการการกระจัดกระจาย LoG จึงสามารถคำนวณได้ว่าเป็นความแตกต่างระหว่างสเกลพื้นที่สองชิ้น

ก่อนหน้านี้เมื่อได้รับสูตร DoG อันดับแรกเราจะประมาณค่า LoG ด้วยผลต่าง จำกัด ฉันคิดว่าอัตราส่วนเฉพาะสำหรับ sigma มาจากข้อเท็จจริงที่ว่าหน่วยขั้นตอนในระดับถูกนำไป LoG ประมาณในสถานที่แรก

— Libor
แหล่งที่มา

ขอบคุณ แต่ฉันดูสิ่งเหล่านั้นแล้ว พวกเขาดูเหมือนจะไม่บอกฉันว่าซิกมาหรือk * sigmaเป็นค่าที่สอดคล้องกับพารามิเตอร์t (ซึ่งเหมือนกับค่าsigmaสำหรับสมการ Laplacian ของสมการเกาส์เชีย)

— visual-kinetic

1

มันอยู่ระหว่าง: s <t <k * s เนื่องจากความแตกต่าง (y (a) - y (b)) / (ba) ใกล้เคียง (เมื่อ b - a -> 0) อนุพันธ์ที่ (a + b) / 2 อย่างไรก็ตามเนื่องจากคุณไม่ได้ จำกัด k-> 1 นี่เป็นเพียงการประมาณและคุณไม่สามารถระบุซิกม่าที่ดีที่สุดได้ (เว้นแต่คุณจะระบุเกณฑ์การเพิ่มประสิทธิภาพที่เฉพาะเจาะจงจริงๆ)

— nimrodm