ฟูเรียร์แบบไม่ต่อเนื่องแปลงสมมาตร

ฉันอ่านบทเกี่ยวกับการแปลงฟูริเยร์โดยสิ้นเชิงในหนังสือของ Lyons - ทำความเข้าใจกับการประมวลผลสัญญาณดิจิตอล - และไม่สามารถเข้าใจย่อหน้าสุดท้ายเกี่ยวกับความสมมาตร

มีคุณสมบัติสมมาตรเพิ่มเติมของ DFT ที่สมควรกล่าวถึงในตอนนี้ ในทางปฏิบัติเราจำเป็นต้องกำหนด DFT ของฟังก์ชันอินพุตจริงเป็นบางครั้งซึ่งดัชนีอินพุทถูกกำหนดเหนือทั้งค่าบวกและค่าลบ หากฟังก์ชั่นอินพุตจริงนั้นเป็นเลขคู่จะเป็นจริงเสมอและสม่ำเสมอ นั่นคือถ้าจริงดังนั้นอยู่ทั่วไปไม่ใช่ศูนย์และเป็นศูนย์ ในทางกลับกันถ้าฟังก์ชั่นการป้อนข้อมูลจริงเป็นเลขคี่ดังนั้นจะเป็นศูนย์เสมอและคือ โดยทั่วไปไม่ใช่ศูนย์$n$$X(m)$$x(n) = x(−n)$$X_{\textrm{real}}(m)$$X_{\textrm{imag}}(m)$$x(n) = −x(−n)$$X_{\textrm{real}}(m)$$X_{\textrm{imag}}(m)$

หมายเหตุ:$X(m) = X_{\textrm{real}}(m) + jX_{\textrm{imag}}(m)$

• ประการแรกความหมายของคำว่า "คี่" และ "คู่" คืออะไร? ฉันสงสัยว่ามันเป็นจำนวนตัวอย่างในสัญญาณอินพุต แต่นั่นทำให้ฉันได้คำถามที่สอง
• ทำไม $X_{\textrm{imag}}(m)$ ศูนย์กับฟังก์ชั่นป้อนข้อมูลจริงที่เป็นเลขคู่และเพราะเหตุใดฟังก์ชั่นป้อนเข้าจริงที่แปลก $X_{\textrm{real}}(m)$ ศูนย์และ $X_{\textrm{imag}}(m)$ โดยทั่วไปไม่ใช่ศูนย์?

แม้กระทั่ง & คี่หมายถึงสมมาตรรอบ ๆ $n = 0$.

แม้หมายถึง $x[n] = x[-n]$; คุณสามารถได้รับส่วน$n < 0$ โดยเพียงแค่สะท้อนส่วนสำหรับ $n > 0$ ที่ $n=0$ ไลน์.

แปลว่าแปลก $x[n] = -x[-n]$; คุณสามารถได้รับส่วน$n < 0$ โดยเพียงแค่สะท้อนส่วนสำหรับ $n > 0$ ที่ $n=0$ เส้นและคูณมันด้วย $-1$.

คลื่นโคไซน์คือเท่ากันคลื่นไซน์แปลก

นี่เป็นกรณีพิเศษของสมมาตรทั่วไปที่บอกว่า

ถ้ามันเป็นของจริงในโดเมนเดียวมันเป็นคอนจูเกตแบบสมมาตรกัน

คอนจูเกตสมมาตรหมายความว่าส่วนที่แท้จริงคือเลขคู่และส่วนจินตภาพนั้นคี่ คนส่วนใหญ่รู้ว่าสัญญาณโดเมนเรียลไทม์เป็นสเปกตรัมสมมาตรคอนจูเกต แต่มันก็ไปทางอื่น ๆ : สัญญาณโดเมนเวลาคอนจูเกตสมมาตรมีสเปกตรัมที่มีมูลค่าจริง

แน่นอนว่าคำตอบของฮิลมาร์นั้นถูกต้องสมบูรณ์แบบ แต่ฉันคิดว่ามีหลายประเด็นที่ลียงไม่ได้กล่าวถึงในแถลงการณ์ที่ยกมาโดย OP (หรือบางทีเขาอาจพูดถึงพวกเขาก่อนหน้านี้และเลือกที่จะไม่พูดซ้ำในย่อหน้าที่อ้างโดย OP) .

การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง (DFT) อธิบายโดยทั่วไปว่าเป็นการแปลงลำดับ $(x[0], x[1], \ldots, x[N-1])$ ความยาวแน่นอน $N$ ในลำดับอื่น $(X[0], X[1], \ldots, X[N-1])$ ความยาว $N$ ที่ไหน

$$\begin{align*} X[m] &= \sum_{k=0}^{N-1} x[k]\exp\left(\frac{-j2\pi mk}{N}\right), ~ m = 0, 1, \ldots, N-1,\\ x[n] &= \frac{1}{N}\sum_{m=0}^{N-1} X[m]\exp\left(\frac{j2\pi nm}{N}\right), ~ n = 0, 1, \ldots, N-1. \end{align*}$$ แต่สูตรเหล่านี้ยังสามารถใช้เมื่อ $m, n$ อยู่นอกช่วง $[0, N-1]$ และถ้าเราทำเช่นนั้นเราจะสรุปได้ว่าความยาว -$N$ DFT สามารถดูเป็นการแปลงจากลำดับเป็นระยะ$x[\cdot]$ ไปยังลำดับงวดอื่น$X[\cdot]$ทั้งขยายไปถึงอินฟินิตี้ทั้งสองทิศทางและ $(x[0], x[1], \ldots, x[N-1])$ และ $(X[0], X[1], \ldots, X[N-1])$เป็นเพียงหนึ่งในช่วงของลำดับที่ยาวเหล่านี้ โปรดทราบว่าเรายืนยันว่า$x[n+iN] = x[n]$ และ $X[m+iN] = X[m]$ เพื่อทุกสิ่ง $m, n,$ และ $i$.

แน่นอนว่านี่ไม่ใช่วิธีการจัดการข้อมูลในทางปฏิบัติ เราอาจมีลำดับตัวอย่างที่ยาวมากและเราแบ่งมันออกเป็นบล็อกที่มีความยาวเหมาะสม$N$. เราคำนวณ DFT ของ$(x[0], x[1], \ldots, x[N-1])$ เช่น

$$X^{(0)}[m] = \sum_{k=0}^{N-1} x[k]\exp\left(\frac{-j2\pi mk}{N}\right), ~ m = 0, 1, \ldots, N-1,$$ DFT ของชิ้นถัดไป $(x[N], x[N+1], \ldots, x[2N-1])$ เช่น $$X^{(1)}[m] = \sum_{k=0}^{N-1} x[k+N]\exp\left(\frac{-j2\pi mk}{N}\right), ~ m = 0, 1, \ldots, N-1,$$ DFT ของชิ้นก่อนหน้า $(x[-N], x[-N+1], \ldots, x[-1])$ เช่น $$X^{(-1)}[m] = \sum_{k=0}^{N-1} x[k-N]\exp\left(\frac{-j2\pi mk}{N}\right), ~ m = 0, 1, \ldots, N-1,$$ เป็นต้นและจากนั้นเราก็เล่นกับ DFT ต่างๆของชิ้นส่วนต่างๆที่เราแบ่งข้อมูลของเรา แน่นอนหากข้อมูลเป็นจริงตามระยะเวลา$N$DFT ทั้งหมดเหล่านี้จะเหมือนกัน

ตอนนี้เมื่อ Lyons พูดถึง... โดยที่ดัชนีอินพุทถูกกำหนดเหนือค่าบวกและลบ ...เขากำลังพูดถึงเคสเป็นระยะและเมื่อเขาบอกว่าฟังก์ชั่น (ของจริง) มีคุณสมบัติ $x[n] = x[-n]$คุณสมบัตินี้ต้องเก็บไว้สำหรับจำนวนเต็มทั้งหมด$n$. ตั้งแต่ช่วงเวลาก็ใช้เราไม่เพียง$x[-1] = x[1]$ แต่ $x[-1] = x[-1+N] = x[N-1]$และในทำนองเดียวกัน $x[-n] = x[n] = x[N-n]$. ในคำอื่น ๆลำดับที่แท้จริง $(x[0], x[1], \ldots, x[N-1])$ซึ่ง DFT นั้นเป็นลำดับคู่ที่แท้จริง (ตามที่ระบุโดย Lyons และอธิบายได้ดีมากโดย Hilmar) จำเป็นต้องมีรูปแบบ

$$(x[0], x[1], \ldots, x[N-1]) = (x[0], x[1], x[2], x[3], \ldots, x[3], x[2], x[1])$$ ซึ่งคือ (นอกเหนือจากผู้นำ $x[0]$) ลำดับpalindromic หากคุณแบ่งพาร์ติชั่นข้อมูลของคุณเป็นบล็อคของความยาว$N$ และการคำนวณ DFT ของแต่ละบล็อกแยกต่างหากจากนั้น DFT แยกเหล่านี้จะไม่มีคุณสมบัติสมมาตรตามที่อธิบายไว้ข้างต้นเว้นแต่ DFT เป็นของบล็อกที่มีคุณสมบัติ palindromic นี้

สำหรับฟังก์ชั่นชี้แจงคู่และคี่

สม่ำเสมอ: สมมาตรเทียบกับแกน y คี่: สมมาตรเทียบกับต้นกำเนิด

และโดยไม่ต้องลงรายละเอียดทางคณิตศาสตร์ DFT ของฟังก์ชันที่มีค่าแท้จริงคือสมมาตรนั่นคือฟังก์ชันฟูริเยร์ผลลัพธ์มีทั้งส่วนจริงและจินตภาพซึ่งเป็นภาพสะท้อนในกระจกที่มีองค์ประกอบ 0 สิ่งนี้จะไม่เกิดขึ้นในกรณีที่คุณใช้ DFT ของฟังก์ชันที่ซับซ้อน