คุณสมบัติทางสถิติของค่าประมาณคาลมานภายใต้เสียงเกาส์เซียน

สำหรับแบบจำลองพื้นที่รัฐเชิงเส้นที่มีรัฐเสียนอิสระและเสียงออกและการคาดเดาที่สมบูรณ์แบบสำหรับสถานะเริ่มต้นKalman ประมาณว่ามีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: ที่ไหน

E ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k}) = 0

$E(\hat{x}_{k|k} - x_k) = 0$

P_{k | k} = V a r ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k}), or V a r ({\hat{x}}_{k | k}), or V a r (x_{k}) ?

$P_{k|k} = Var(\hat{x}_{k|k} - x_k),\text{ or }Var(\hat{x}_{k|k}),\text{ or }Var(x_k) ?$

$x_k$ เป็นสถานะ ณ เวลาที่ซึ่งเป็นการสุ่ม $k$
$\hat{x}_{k|k}$ และเป็นคาลมาน esitmates กล่าวคือเอาท์พุทของตัวกรองคาลมาน $P_{k|k}$

มีการอ้างอิงถึงสิ่งเหล่านี้หรือไม่?

ขอบคุณ!

kalman-filters

— ทิม
แหล่งที่มา

มี posterioriประมาณเมทริกซ์ความแปรปรวนในเวลา ? ไม่มีสัญกรณ์มาตรฐานที่ใช้จริง ๆ ดังนั้นจึงไม่ชัดเจนว่าคุณหมายถึงอะไรโดย "คาลมานประมาณ"

P_{k | k}

$P_{k|k}$

k

$k$

— Jason R

@ Jason: ใช่มันคือ ...

— ทิม

คำตอบ:

สองข้อความต่อไปนี้เทียบเท่ากับการบอกว่า:

E ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k}) = 0

$E(\hat{x}_{k|k} - x_k) = 0$

(1) ที่ประมาณการคือเป็นกลาง ; และ

P_{k | k} = V a r ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k})

$P_{k|k} = Var(\hat{x}_{k|k} - x_k)$

(2) ที่ประมาณการเป็นที่สอดคล้องกัน

เงื่อนไขทั้งสองนี้มีความจำเป็นเพื่อให้ตัวกรองมีความเหมาะสมที่สุด - นั่นคือการประมาณค่าที่ดีที่สุดของตามเกณฑ์บางประการ $\mathbf{x}_{k|k}$

ถ้า (1) ไม่เป็นจริงดังนั้นค่าคลาดเคลื่อน Mean-Square (MSE) จะเป็นอคติบวกกับความแปรปรวน (ในกรณีสเกลาร์) ชัดเจนนี่ใหญ่กว่าความแปรปรวนเท่านั้นดังนั้นจึงไม่ดีนัก

ถ้า (2) ไม่เป็นความจริง (เช่นความแปรปรวนร่วมที่คำนวณโดยตัวกรองนั้นแตกต่างจากความแปรปรวนร่วมที่แท้จริง) ตัวกรองนั้นก็จะไม่ถูกต้องเช่นกัน เนื่องจาก Kalman Gain นั้นขึ้นอยู่กับความแปรปรวนร่วมของรัฐที่คำนวณได้ข้อผิดพลาดในความแปรปรวนร่วมจะนำไปสู่ข้อผิดพลาดในการได้รับ ข้อผิดพลาดในการได้รับหมายถึงการชั่งน้ำหนักที่ไม่มีประสิทธิภาพของการวัด

(เมื่อมันเกิดขึ้นทั้งสองเงื่อนไขจะเป็นจริงสำหรับตัวกรองที่สร้างแบบจำลองอย่างถูกต้องข้อผิดพลาดในการสร้างแบบจำลองเช่นโมเดลไดนามิกหรือความแปรปรวนร่วมของเสียงจะทำให้ตัวกรองย่อยไม่ทำงาน)

ที่มา: Bar-Shalomโดยเฉพาะอย่างยิ่งหัวข้อ 5.4 ในหน้า 232-233

— ดาเมียน
แหล่งที่มา

เป็นสิ่งสำคัญที่จะต้องทราบว่าไม่ใช่ตัวแปรสุ่ม เป็นสถานะของระบบซึ่งกำหนดไว้ล่วงหน้า ซึ่งโดยทั่วไปแล้วตัวแปรในหน่วย ซึ่งเทียบเท่ากับการพูด $x_k$ $k$

E ({\hat{x}}_{k | k}) = x_{k}

$E(\hat{x}_{k|k}) = x_k$

E ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k}) = 0

$E(\hat{x}_{k|k} - x_k) = 0$

นอกจากนี้

V a r (x_{k}) = 0

$Var(x_k) = 0$

และ,

P_{k | k} = V a r ({\hat{x}}_{k | k})

$P_{k|k} = Var(\hat{x}_{k|k})$ ซึ่งนั้นเป็นสิ่งที่กำหนดเกิดขึ้นจะเท่ากับ

x_{k}

$x_k$

V a r ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k})

$Var(\hat{x}_{k|k} - x_k)$

พื้นหลัง

$x_k$ เป็นสถานะของระบบซึ่งกำหนดไว้ นี่คือเมื่อเทียบกับระบบเสียงซึ่งเป็นตัวแทนในวรรณคดีส่วนใหญ่เป็นกับความแปรปรวนQยิ่งไปกว่านั้นวรรณกรรมบางฉบับจำลองเสียงของระบบด้วยเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ ในกรณีนี้เมทริกซ์จะถูกแทนที่ด้วยในการประมาณค่าการแพร่กระจายโดยที่คือเมทริกซ์ของเสียง ในการทำอย่างละเอียดการแสดงระบบในกรณีนี้มอบให้โดย: $w$ $Q$ $Q$ $GQG^T$ $G$

x_{k + 1} = A x_{k} + B u_{k} + G w

$x_{k+1} = Ax_k + Bu_k +Gw$

ในฐานะที่เป็นผู้อ้างอิง: กระดาษของคาลมานเอง:http://160.78.24.2/Public/Kalman/Kalman1960.pdf

— aiao
แหล่งที่มา

เท่าที่ฉันรู้เป็นกระบวนการสุ่ม ความแปรปรวนของถูกกำหนดโดยสัญญาณรบกวนกระบวนการ สำหรับการรับรู้ที่กำหนดนั้นถูกกำหนดไว้แล้ว

{x_{k}}_{k = - \infty}^{\infty}

$\left \{ x_k \right \}_{k=-\infty}^{\infty}$

x_{k}

$x_k$

x_{k}

$x_k$

— Royi

@Drazick เสียงรบกวนของกระบวนการมักจะได้รับสัญลักษณ์ w พร้อมความแปรปรวน Q xk คือสถานะของระบบมันจะไม่ทำให้รู้สึกว่าสหรัฐฯเป็นแบบสุ่ม การประมาณอีกอันหนึ่งซึ่งเป็นตัวแปรสุ่มนั้นสมเหตุสมผล

— aiao

ฉันสับสน:จะกำหนดได้อย่างไรถ้า (ซึ่งสุ่ม) กำลังถูกเพิ่มเข้าไปในรูปแบบ? วิธีเดียวที่สามารถกำหนดได้คือถ้าองค์ประกอบสุ่มเป็นศูนย์ใช่หรือไม่

x_{k + 1}

$x_{k+1}$

G w

$Gw$

x_{k + 1}

$x_{k+1}$

— Peter K.

@PeterK เพราะถือว่าการรับรู้ที่ชัดเจนทุก

w

$w$

k

$k$

— aiao

ในขณะที่คาลมานเองก็ไม่เคยถือว่าเวกเตอร์สถานะเป็นตัวแปรสุ่ม (ฉันคิดว่าฉันสามารถบอกคุณลักษณะนี้กับ Doucet แต่ฉันอาจผิด) ตัวกรองคาลมานได้มาจากกฎของเบย์ ในกรณีนี้เวกเตอร์สถานะขวา) ดูวิกิพีเดีย

x_{k | k} \sim N ({\hat{x}}_{k | k}, P_{k | k})

$\mathbf{x}_{k|k} \sim N\left( \hat{\mathbf{x}}_{k|k}, \mathbf{P}_{k|k}\right)$

— Damien