ฉันเข้าใจการแปลงฟูริเยร์ซึ่งเป็นการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่ให้คุณดูเนื้อหาความถี่ของสัญญาณที่กำหนด แต่ตอนนี้ในคอมของฉัน แน่นอนอาจารย์แนะนำการเปลี่ยนแปลงของฮิลแบร์ต

ผมเข้าใจว่ามันมีการเชื่อมโยงไปยังเนื้อหาที่ค่อนข้างความถี่ที่ได้รับความจริงที่ว่า Hilbert Transform จะคูณ FFT โดยหรือ convolving ฟังก์ชั่นเวลากับปี่ที$-j\operatorname{sign}(W(f))$$1/\pi t$

ความหมายของการเปลี่ยนแปลงของฮิลแบร์ตคืออะไร? เราจะได้รับข้อมูลอะไรบ้างจากการนำการแปลงไปใช้กับสัญญาณที่กำหนด?

แอปพลิเคชั่นหนึ่งของ Hilbert Transform คือการรับสัญญาณวิเคราะห์ สำหรับสัญญาณการแปลงของ Hilbertถูกกำหนดให้เป็นองค์ประกอบ:$s(t)$s ( T )$\hat{s}(t)$

สัญญาณการวิเคราะห์ที่เราได้มานั้นมีค่าที่ซับซ้อนดังนั้นเราจึงสามารถแสดงมันในรูปแบบเลขชี้กำลัง:

ที่อยู่:

$A(t)$เป็นแอมพลิจูดทันที (ซองจดหมาย)

$\psi(t)$เป็นเฟสทันที

ดังนั้นสิ่งเหล่านี้มีประโยชน์อย่างไร

แอมพลิจูดแบบทันทีทันใดนั้นมีประโยชน์ในหลาย ๆ กรณี (มันถูกใช้อย่างกว้างขวางในการค้นหาซองจดหมายของสัญญาณฮาร์มอนิกธรรมดา) นี่คือตัวอย่างสำหรับการตอบสนองต่อแรงกระตุ้น:

ประการที่สองขึ้นอยู่กับเฟสเราสามารถคำนวณความถี่ทันที:

ซึ่งเป็นประโยชน์อีกครั้งในหลาย ๆ แอปพลิเคชั่นเช่นการตรวจจับความถี่ของเสียงการกวาดเครื่องยนต์หมุน ฯลฯ

ตัวอย่างการใช้งานอื่น ๆ ได้แก่ :

• การสุ่มตัวอย่างสัญญาณ narrowband ในการสื่อสารโทรคมนาคม (ส่วนใหญ่ใช้ตัวกรอง Hilbert)

• ถ่ายภาพทางการแพทย์.

• การประมวลผลอาร์เรย์สำหรับทิศทางการมาถึง

• การวิเคราะห์การตอบสนองของระบบ

ในแง่ของคนธรรมดาการเปลี่ยนแปลงของฮิลแบร์ตเมื่อใช้กับข้อมูลจริงให้ "แอมพลิจูดที่แท้จริง (ทันที)" (และอีกมากมาย) สำหรับปรากฏการณ์ที่หยุดนิ่งโดยเปลี่ยนเป็นข้อมูลที่ซับซ้อน "เฉพาะ" ตัวอย่างเช่นโคไซน์มีความกว้างของแอมพลิจู 1 ซึ่งคุณไม่สามารถมองเห็นได้โดยตรงเนื่องจากมันจะสั่นคลอนระหว่างถึงและจะหายไปเป็นระยะ ๆ ฮิลแบร์ตการแปลงเสริมโคไซน์ใน "วิธีที่สอดคล้องกันมากที่สุด" เพื่อให้ฟังก์ชันที่ซับซ้อนเก็บข้อมูลเริ่มต้นทั้งหมดรวมถึง "แอมพลิจูด" เป็นโมดูลัสโดยตรงของ 1 ทั้งหมด ข้างต้นต้องใช้ความระมัดระวังเนื่องจากความคิดของวง จำกัด และสถานที่เข้ามาเล่น- 1 1 cos ( t ) + i sin ( t $\cos(t)$$-1$$1$$\cos(t)+i\sin(t)$

การแปลง Hilbert (และการแปลง Riesz ในมิติที่สูงกว่า) อาจเป็นเครื่องมือพื้นฐานมากขึ้น ฉันชอบคำนำของบทที่ 2 ในการสำรวจการวิเคราะห์ฮาร์มอนิกด้วยแอพพลิเคชั่นสำหรับทฤษฎีฟังก์ชันที่ซับซ้อนและกลุ่มไฮเซนเบิร์กโดย Steven G. Krantz:

อารัมภบท: การเปลี่ยนแปลงของฮิลแบร์ตคือผู้ดำเนินการวิเคราะห์ที่สำคัญที่สุดโดยไม่มีคำถาม มันเกิดขึ้นในบริบทที่แตกต่างกันมากมายและบริบททั้งหมดเหล่านี้มีความสัมพันธ์กันอย่างลึกซึ้งและมีอิทธิพล สิ่งที่เกิดขึ้นคือมีอินทิกรัลเอกพจน์เดียวในมิติที่ 1 และมันคือฮิลแบร์ตที่แปลงร่าง ปรัชญาคือคำถามเชิงวิเคราะห์ที่สำคัญทั้งหมดจะลดลงเหลืออินทิกรัลเดียว และในมิติแรกมีทางเลือกเพียงทางเดียว

แอปพลิเคชั่นในการประมวลผลสัญญาณ / ภาพนั้นมีมากมายอาจเป็นเพราะคุณสมบัติพื้นฐาน: การประมาณความกว้าง / ความถี่ในทันที, การสร้างตัวกรองเชิงสาเหตุสำหรับแอมพลิจูดเท่านั้น (ความสัมพันธ์ Kramers-Krönig), เวฟ 2D ทิศทาง เป็นต้น

ฉันยังอยากจะแนะนำให้สองเล่มโดยเอฟคิงปี 2009 แปลงฮิลแบร์ต

การแปลง (FT หรือ Hilbert เป็นต้น) จะไม่สร้างข้อมูลใหม่จากอะไร ดังนั้น "ข้อมูลที่คุณได้รับ" หรือมิติที่เพิ่มขึ้นในสัญญาณการวิเคราะห์เชิงผลลัพธ์ที่จัดทำโดยการแปลง Hilbert ของสัญญาณ 1D / จริงเป็นรูปแบบของการสรุปของสภาพแวดล้อมในท้องถิ่นของแต่ละจุดในสัญญาณนั้นเข้าร่วมกับ จุด.

ข้อมูลเช่นเฟสโลคัลและแอมพลิจูดซองจดหมายเป็นข้อมูลเกี่ยวกับความกว้างหรือขอบเขตบางส่วน (สูงสุดไม่ จำกัด ขอบเขต) ของสัญญาณโดยรอบแต่ละจุดในพื้นที่ การแปลง Hilbert ในการสร้างองค์ประกอบหนึ่งของสัญญาณการวิเคราะห์ที่ซับซ้อนจากสัญญาณจริง 1D บีบอัดข้อมูลบางส่วนจากขอบเขตโดยรอบของสัญญาณไปยังแต่ละจุดของสัญญาณดังนั้นจึงทำให้สามารถตัดสินใจได้มากขึ้น (เช่น demodulating บิต กราฟกราฟแอมพลิจูดซองจดหมาย ฯลฯ ) ที่แต่ละจุด (ตอนนี้ซับซ้อน) ในท้องถิ่นหรือตัวอย่างโดยไม่ต้องสแกนซ้ำและ / หรือประมวลผลหน้าต่างใหม่ (เวฟเล็ตหน้าต่าง Goertzel ฯลฯ ) ที่มีความกว้างบางสัญญาณที่แต่ละสัญญาณ จุด.

สัญญาณการวิเคราะห์ที่ผลิตโดยการแปลง Hilbert มีประโยชน์ในแอปพลิเคชันการวิเคราะห์สัญญาณจำนวนมาก หากคุณ bandpass กรองสัญญาณก่อนการแทนสัญญาณการวิเคราะห์จะให้ข้อมูลเกี่ยวกับโครงสร้างภายในของสัญญาณ:

• ระยะบ่งบอกถึงความสมมาตรของท้องถิ่น ณ จุดที่ 0 เป็นสมมาตรบวก (ยอด),คือสมมาตรเชิงลบ (รางน้ำ) และคือการต่อต้านสมมาตร (ขอบขึ้น / ลง)± π /$\pi$$\pm \pi/2$
• แอมพลิจูดบ่งบอกถึงความแข็งแรงของโครงสร้าง ณ จุดซึ่งเป็นอิสระจากสมมาตร (เฟส)

การเป็นตัวแทนนี้ถูกใช้สำหรับ

• การตรวจจับคุณสมบัติผ่านพลังงานท้องถิ่น (แอมพลิจูด)
• การจำแนกคุณลักษณะโดยใช้เฟส
• การตรวจจับคุณสมบัติผ่านเฟสที่สอดคล้องกัน

มันยังขยายไปสู่มิติที่สูงขึ้นโดยใช้การแปลง Riesz เช่นสัญญาณ monogenic

การใช้การแปลง Hilbert ช่วยให้เราสามารถสร้างสัญญาณการวิเคราะห์ตามสัญญาณที่มีมูลค่าจริงบางส่วน และในโลก comms เราสามารถใช้สัญญาณการวิเคราะห์เพื่อคำนวณขนาดอย่างทันทีทันใดของสัญญาณที่มีมูลค่าจริง กระบวนการนั้นถูกใช้ในการ demodulation แบบ AM นอกจากนี้จากสัญญาณการวิเคราะห์เรายังสามารถคำนวณเฟสทันทีของสัญญาณมูลค่าจริงได้อย่างง่ายดายและถูกต้อง กระบวนการนั้นใช้ทั้งในขั้นตอนและ demodulation FM อาจารย์ของคุณถูกต้องในการครอบคลุมการแปลงของฮิลแบร์ตเพราะมันมีประโยชน์ในระบบ comms

คำตอบที่ยอดเยี่ยมอยู่แล้ว แต่ฉันต้องการเพิ่มว่าการแปลงสัญญาณเป็นเวอร์ชั่นวิเคราะห์นั้นเป็นเรื่องง่ายในโดเมนดิจิทัล (ตัวกรองครึ่งแบนด์ที่ต้องการมีครึ่งหนึ่งของสัมประสิทธิ์เท่ากับศูนย์) แต่เมื่อนั้นอัตราตัวอย่างสามารถลดลงได้ ครึ่งหนึ่งแยกการประมวลผลออกเป็นเส้นทางจริงและจินตภาพ เห็นได้ชัดว่ามีค่าใช้จ่ายที่นี่และบางคำศัพท์ข้ามจะต้องได้รับการจัดการ แต่โดยทั่วไปจะเป็นประโยชน์ในการใช้งานฮาร์ดแวร์เมื่ออัตรานาฬิกาเป็นปัจจัย

ดังที่อธิบายไว้แล้วในคำตอบอื่น ๆ ที่การแปลง Hilbert ใช้เพื่อรับสัญญาณแอนติคซึ่งสามารถใช้ในการค้นหาซองจดหมายและเฟสของสัญญาณ

อีกวิธีในการดูการแปลงของฮิลแบร์ตคือในโดเมนความถี่ เนื่องจากสัญญาณจริงมีองค์ประกอบความถี่บวกและลบเหมือนกันดังนั้นในการวิเคราะห์ข้อมูลนี้จึงซ้ำซ้อน

Hilbert Transform ใช้เพื่อกำจัดส่วนความถี่เชิงลบและเพิ่มขนาดของส่วนความถี่เชิงบวกเป็นสองเท่า

ที่นี่ตัวกรองการออกแบบของฮิลแบร์ตเปลี่ยนเป็นแบบพาสแบนด์ในธรรมชาติที่ส่งความถี่จาก 50MHz ถึง 450 MHz อินพุตเป็นผลรวมของสัญญาณไซน์สองสัญญาณที่มีความถี่เท่ากับ 200MHz และ 500MHz

จากพล็อต PSD เราสามารถเห็นส่วนประกอบความถี่ลบของสัญญาณ 200MHz ลดทอนได้ในขณะที่สัญญาณ 500MHz ผ่านเช่นนี้

คำถามนี้มีคำตอบที่ยอดเยี่ยมอยู่แล้ว แต่ฉันต้องการรวมตัวอย่างง่าย ๆ และคำอธิบายจากหน้านี้ที่เคลียร์แนวคิดและประโยชน์ของการแปลง Hilbert อย่างหนาแน่น:

$z(t)$

$$\displaystyle z(t) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{\infty}Z(\omega)e^{j\omega t}d\omega$$ $Z(\omega)$$\exp(j\omega t)$$\omega$$A\cos(\omega t + \phi)$$A\exp[j(\omega t + \phi)]$$A\sin(\omega t + \phi)$

$$\displaystyle A e^{j(\omega t + \phi)} = A\cos(\omega t + \phi) + j A\sin(\omega t + \phi)$$ ${\cal H}_t\{x\}$$t$$x$$1$$-\pi/2$$+\pi/2$$x(t)$$y(t) = {\cal H}_t\{x\}$$z(t) = x(t) + j y(t)$$z(t)$$x(t)$$x(t)$$z(t)=x(t) + j {\cal H}_t\{x\}$$x(t)$ ถูกกรองออกแล้ว

(ข้อจำกัดความรับผิดชอบ: ฉันไม่ใช่ผู้เขียนของหน้าเว็บ)