ทำไมระบบ LTI จึงไม่สามารถสร้างความถี่ใหม่ได้?

9

ทำไมบอกเป็นนัยว่าระบบ LTI ไม่สามารถสร้างความถี่ใหม่ได้? $Y (\omega) = X(\omega)H(\omega)$
ทำไมถ้าระบบสร้างความถี่ใหม่นั่นไม่ใช่ LTI

convolution time-frequency

15

หนึ่งในคุณสมบัติที่ชัดเจนของระบบLTIคือพวกเขาไม่สามารถสร้างความถี่ใหม่ที่ไม่ได้มีอยู่ในอินพุตของพวกเขา โปรดทราบว่าในบริบทนี้ความถี่หมายถึงสัญญาณของชนิดหรือซึ่งเป็นของที่ไม่มีที่สิ้นสุดระยะเวลาและยังจะเรียกว่าeigenfunctionsของ LTI ระบบ (โดยเฉพาะสำหรับเอกซ์โพเรนเชียลที่ซับซ้อนเท่านั้น) และมีการแปลงฟูเรียร์ CT โดยฟังก์ชันแรงกระตุ้นในโดเมนความถี่เป็นหรือ $x(t)=e^{j\Omega_0 t}$ $\cos(\Omega_0 t)$ $X(\Omega) =2\pi \delta (\Omega - \Omega_0)$ $X(\Omega)=\pi \delta (\Omega - \Omega_0) + \pi \delta (\Omega + \Omega_0)$ ตามลำดับ

วิธีหนึ่งที่จะดูว่าทำไมจึงเป็นเช่นนี้มาโดยการสังเกต CTFT,ของผลลัพธ์ซึ่งได้รับจากความสัมพันธ์ที่รู้จักกันดีเฉพาะเมื่อระบบเป็น LTI (และยังมีเสถียรภาพตามความเป็นจริงเพื่อให้มี ) $Y(\omega)$ $y(t)$ $Y(\omega) = H(\omega)X(\omega)$ $H(e^{j \omega})$

(ieเก็บเมื่อมีการตอบสนองต่อแรงกระตุ้น และจะมีอยู่เฉพาะเมื่อระบบเป็น LTI)

y (t) = \int_{- \infty}^{\infty} x (τ) h (t - τ) d τ ⟷ Y (ω) = X (ω) H (ω),

$y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)h(t-\tau)d\tau \longleftrightarrow Y(\omega)=X(\omega)H(\omega),$

h (t)

$h(t)$

จากความคิดเล็กน้อยนำโดยพล็อตกราฟิกที่เรียบง่ายและการใช้คุณสมบัติการคูณข้างต้นเราจะเห็นได้ว่าขอบเขตความถี่ของการสนับสนุน (ชุดของความถี่ที่ไม่ใช่ศูนย์) ของเอาต์พุตถูกกำหนดโดยจุดตัดของส่วนสนับสนุนและของอินพุตและการตอบสนองความถี่ของระบบ LTI: $R_y$ $Y(\omega)$ $Y(\omega)$ $R_x$ $R_h$ $X(\omega)$ $H(\omega)$

R_{y} = R_{x} \cap R_{h}

$R_y = R_x \cap R_h$

และจากชุดพีชคณิตเรารู้ว่าถ้าแล้วและC นั่นคือการตัดกันจะน้อยกว่าหรือเท่ากับการตัดกันเสมอ ดังนั้นพื้นที่ของการสนับสนุนสำหรับจะน้อยกว่าหรือที่ส่วนใหญ่เท่ากับการสนับสนุนของomega) ดังนั้นจะไม่มีการสังเกตความถี่ใหม่ที่เอาต์พุต $A = B \cap C$ $A \subset B$ $A \subset C$ $Y(\omega)$ $X(\omega)$

เนื่องจากคุณสมบัตินี้เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการเป็นระบบLTIระบบใด ๆ ที่ล้มเหลวในการครอบครองจึงไม่สามารถเป็น LTI ได้

— Fat32
แหล่งที่มา

9

คุณสามารถสร้างอาร์กิวเมนต์เกี่ยวกับพีชคณิตอย่างง่ายได้ตามที่คุณได้ให้ไว้ ถ้า:

Y (ω) = X (ω) H (ω)

$Y(\omega) = X(\omega) H(\omega)$

เมื่อเป็นสเปกตรัมของสัญญาณอินพุตและ ) คือการตอบสนองความถี่ของระบบจากนั้นจะเห็นได้ชัดว่าหากมีในสัญญาณอินพุตที่จากนั้นเช่นกัน ไม่มีปัจจัยที่คุณสามารถคูณด้วยเพื่อให้ได้ค่าที่ไม่ใช่ศูนย์ $X(\omega)$ $H(\omega$ $\omega$ $X(\omega) = 0$ $Y(\omega) = 0$ $H(\omega)$

จากที่กล่าวมาการสร้างความจริงของหลักฐานที่ฉันเริ่มต้นด้วยข้างต้นสำหรับระบบ LTI นั้นใช้งานได้บ้าง อย่างไรก็ตามหากเราคิดว่ามันเป็นจริงแล้วความจริงที่ว่าระบบ LTI ไม่สามารถแนะนำส่วนประกอบความถี่ใหม่ ๆ ให้กับเอาต์พุตของมันจะตามมาโดยตรง

— เจสันอาร์
แหล่งที่มา

หลักฐานจะแสดงให้เห็นว่าสำหรับสัญญาณที่มีความประพฤติดีพอการแปลงฟูริเยร์นั้นสามารถกลับด้านได้และทั้ง FT และอินเวอร์สนั้นเป็นเส้นตรง สัญญาณทุกตัวที่มีความถี่มีความประพฤติดีพอสมควร

— Marcus Müller

3

ทำไม หมายความว่าระบบ LTI ไม่สามารถสร้างความถี่ใหม่ได้? $Y(ω)=X(ω)H(ω)$

ถ้าความถี่บางไม่ได้อยู่ในการป้อนข้อมูลของเรา0 เพราะ 0 เชื่อฟังตัวตนคูณ ,0 ดังนั้นความถี่จึงไม่ปรากฏในสัญญาณเอาต์พุต $\omega_\text{abs}$ $X(\omega_\text{abs}) = 0$ $\forall x\in \mathbb{R},~ 0 \cdot x = 0$ $Y(\omega_\text{abs}) = 0$ $\omega_\text{abs}$

ทำไมถ้าระบบสร้างความถี่ใหม่นั่นไม่ใช่ LTI

สมมติว่าการป้อนข้อมูลของเราคือ(t) แล้วถ้าเราคิดว่าระบบของเราสามารถสร้างความถี่ใหม่ก็เป็นไปได้ที่จะได้รับการส่งออกt) เนื่องจากเราไม่พบค่าคงที่เช่นนั้น , ระบบของเราไม่ใช่ LTI $x(t) = \cos(t)$ $y(t) = \cos(2\cdot t)$ $c_1, c_2$ $y(t) = c_1 \cos(t - c_2)$

— สกอตต์
แหล่งที่มา

ไม่ได้ตรวจสอบ LTI ที่เพิ่งใช้ c1 และไม่ใช่ c2 ด้วยใช่ไหม

— ผู้ใช้

1

ฉันจะบอกว่าจุดแรกซึ่งเป็นหลักที่คุณไม่สามารถรับสิ่งที่ไม่ใช่ศูนย์โดยการคูณศูนย์คูณอะไรก็ได้นั่นคือคำตอบที่กระชับ

— robert bristow-johnson

c1 ใช้สำหรับลิเนียริตี้, c2 ใช้สำหรับการเลื่อนเวลา เราสามารถมีระบบ LTI ที่ทำให้ทุกอย่างล่าช้า 1 หน่วยเวลา

— สกอตต์

1

ระบบ LTI จะ diagonalized โดยความถี่บริสุทธิ์ Sines / cosines เป็น eigenvectors ของระบบเชิงเส้น กล่าวอีกนัยหนึ่งอินพุทไซน์หรือโคไซน์ที่ไม่เป็นศูนย์ใด ๆ (หรือ cisoid ที่ซับซ้อน) ใด ๆ มีเอาต์พุตไซน์หรือโคไซน์ของความถี่เดียวกันที่แน่นอน (แต่แอมพลิจูดของเอาต์พุตอาจหายไป)

สิ่งเดียวที่อาจเปลี่ยนแปลงได้คือแอมพลิจูดหรือเฟสของมัน ดังนั้นถ้าคุณไม่มีไซน์ที่มีความถี่ที่กำหนดในอินพุตคุณจะไม่ได้รับอะไรเลย (ศูนย์) กับความถี่นั้นที่เอาต์พุต

คำถามที่สองเป็นคำตอบโดย contraposition หรือ Regula falsi: ถ้าเป็นจริงเพื่อให้เป็น{A} หากระบบเป็น LTI จะไม่สร้างความถี่ใหม่ หากระบบสร้างความถี่ใหม่มันไม่ใช่ LTI $A\implies B$ $\overline{B}\implies \overline{A}$

— Laurent Duval
แหล่งที่มา