แปลง Z ของ downsampler

ในบทความนี้หรือการกรองหลายระดับผู้เขียนสร้างความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ต่อไปนี้ ให้เป็นผลลัพธ์ของ downsampler แบบนั้น $y_D$

y_{D} [n] = x [M n]

$y_D[n] = x[Mn]$

โดยที่คือปัจจัยการสุ่มตัวอย่าง กล่าวอีกนัยหนึ่งเราเก็บตัวอย่าง -th ทุกสัญญาณดั้งเดิม จากนั้นผู้เขียนจะดำเนินการดังต่อไปนี้: $M$ $M$

... การแปลง z ของถูกกำหนดโดย $y_D[n]$

$Y_{D} [z] = \frac{1}{M} \sum_{k = 0}^{M - 1} X [z^{1 / M} W^{k}]$ $Y_D[z]=\frac{1}{M}\sum_{k=0}^{M-1}X[z^{1/M}W^k]$
ที่เป็น -point ไม่ต่อเนื่องฟูริเยร์แปลงเคอร์เนลคือ M} $W^k$ $M$ $e^{(-j2\pi k)/M}$

เราจะเปลี่ยนจากการแสดงออกในอดีตไปสู่ยุคหลังได้อย่างไร? ความสัมพันธ์ระหว่าง DFT และ Z-transform ที่อนุญาตให้มีการเปลี่ยนแปลงดังกล่าวคืออะไร?

dft downsampling z-transform

— phonon
แหล่งที่มา

คำตอบ:

รากศัพท์นี้เป็นสิ่งที่ยุ่งยาก วิธีที่แนะนำก่อนหน้านี้มีข้อบกพร่อง ขอผมสาธิตก่อนนะ จากนั้นฉันจะให้ทางออกที่ถูกต้อง

เราต้องการที่จะเกี่ยวข้องกับเปลี่ยนแปลงของสัญญาณ downsampled, , กับเปลี่ยนแปลงของสัญญาณดั้งเดิม\} $\mathcal{Z}$ $Y_D(z) = \mathcal{Z}\{x[Mn]\}$ $\mathcal{Z}$ $X(z) = \mathcal{Z}\{x[n]\}$

ทางที่ผิด

ใคร ๆ ก็นึกถึงการเสียบการแสดงออกของสัญญาณที่สุ่มลงไปในการแสดงออกของรูปแบบ: $\mathcal{Z}$

$Y_D(z) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}{x[Mn] z^{-n}}$

การเปลี่ยนแปลงของตัวแปรดูเหมือนชัดเจน: $n'=Mn$

$Y_D(z) = \sum\limits_{n' \in M\mathbb{Z}}{x[n'] z^{-n'/M}}$

แต่ก็เป็นสิ่งสำคัญที่จะตระหนักว่าแม้บวกใหม่ดัชนียังคงไหลออกมาจากไป , รวมอยู่ในขณะนี้มากกว่า 1 จาก M จำนวนเต็มตัวเลข ในคำอื่น ๆ $n'$ $-\infty$ $\infty$

$n' \in M\mathbb{Z}=\{...,-2M,-M,0,M,2M,...\}$ ,

ในขณะที่คำจำกัดความของ -transform ต้องการ $\mathcal{Z}$

$n \in \{...,-2,-1,0,1,2,...\}$ \}

เนื่องจากนี่ไม่ใช่ -transform อีกต่อไปเราจึงไม่สามารถเขียน: $\mathcal{Z}$

$Y_D(z) = X(z^{1/M})$

ทางที่ถูก

ให้เรากำหนดสัญญาณ 'แรงกระตุ้น' แรงกระตุ้นรถไฟเป็น: $t_M[n]$

$\begin{align*} t_M[n] & = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}{\delta[n-kM]} \\ & = \left\{ \begin{array}{lr} 1 & : n \in M\mathbb{Z}\\ 0 & : n \notin M\mathbb{Z} \end{array} \right. \end{align*}$

ฟังก์ชั่นนี้คือจากตัวอย่างทุกตัวและเป็นศูนย์ทุกที่ $1$ $M$

ฟังก์ชันพัลส์รถไฟสามารถเขียนเป็น:

$t_M[n] = \frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{e^{j2\pi k n / M}}$

หลักฐาน:เราต้องพิจารณากรณีที่แยกกันและ : $n \in M\mathbb{Z}$ $n \notin M\mathbb{Z}$

\begin{aligned} t_{M} [n] & = \frac{1}{M} \sum_{k = 0}^{M - 1} e^{j 2 π k n / M} \\ = {\begin{array}{lr} \frac{1}{M} \sum_{k = 0}^{M - 1} 1 & : n \in M Z \\ \frac{1}{M} \frac{1 - e^{j 2 π k n}}{1 - e^{j 2 π k n / M}} & : n \notin M Z \end{array} \\ = {\begin{array}{lr} \frac{1}{M} M & : n \in M Z \\ \frac{1}{M} \frac{1 - 1}{1 - e^{j 2 π k n / M}} & : n \notin M Z \end{array} \\ = {\begin{array}{lr} 1 & : n \in M Z \\ 0 & : n \notin M Z \end{array} \end{aligned}

$\begin{align*} t_M[n] & = \frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{e^{j2\pi k n / M}} \\ & = \left\{ \begin{array}{lr} \frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{1} && : n \in M\mathbb{Z}\\ \frac{1}{M} \frac{1-e^{j2\pi k n}}{1-e^{j2\pi k n / M}} && : n \notin M\mathbb{Z} \end{array} \right. \\ & = \left\{ \begin{array}{lr} \frac{1}{M} M && : n \in M\mathbb{Z}\\ \frac{1}{M} \frac{1-1}{1-e^{j2\pi k n / M}} && : n \notin M\mathbb{Z} \end{array} \right. \\ & = \left\{ \begin{array}{lr} 1 && : n \in M\mathbb{Z}\\ 0 && : n \notin M\mathbb{Z} \end{array} \right. \end{align*}$ ในกรณี ,

n \notin M Z

$n \notin M\mathbb{Z}$

ตอนนี้เราจะกลับไปที่ปัญหาดั้งเดิมของเราในการหาเปลี่ยนรูปของเครื่องมือวัดขนาดตัวอย่าง: $\mathcal{Z}$

$Y_D(z) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}{x[Mn] z^{-n}}$

เราใช้การแทนที่โดยคำนึงว่าสิ่งนี้ทำให้การรวมทำงานเฉพาะกับจำนวนเต็มจำนวนเต็มของ M: $n'=Mn$

$Y_D(z) = \sum\limits_{n' \in M\mathbb{Z}}{x[n'] z^{-n'/M}}$

ตอนนี้เราสามารถใช้ฟังก์ชั่นการกระตุ้นอิมพัลส์ข้างต้นเพื่อเขียนสิ่งนี้ให้เป็นผลรวมของ : $n \in \mathbb{Z}$

$Y_D(z) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}{t_M[n] x[n] z^{-n/M}}$

ด้วยการใช้สูตรข้างต้นสำหรับฟังก์ชั่นแรงกระตุ้นของรถไฟเป็นผลบวกที่ จำกัด เราได้:

$\begin{align*} Y_D(z) &= \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}{(\frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{e^{j2\pi k n / M}}) x[n] z^{-n/M}} \\ &= \frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}{e^{j2\pi k n / M} x[n] z^{-n/M}}} \\ &= \frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}{x[n] (e^{-j2\pi k / M} z^{1/M})^{-n}}} \end{align*}$

บวกทางด้านขวาเป็นผลรวมกว่าจำนวนเต็มทั้งหมดและดังนั้นจึงเป็นเรื่องที่ถูกต้อง -transform ในแง่ของM} ดังนั้นเราสามารถเขียน: $\mathcal{Z}$ $z'=e^{-j2\pi k / M} z^{1/M}$

$Y_D(z) = \frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{X(e^{-j2\pi k / M} z^{1/M})}$

นี่คือสูตรสำหรับ -transform ของ downsampler $\mathcal{Z}$

— user9037
แหล่งที่มา

ดีมาก. ในขณะที่อ่านคำตอบก่อนหน้าของฉันข้างต้นฉันก็สังเกตเห็นข้อบกพร่องเดียวกันกับที่คุณทำ

— Jason R

ฉันไม่เคยเห็นสัญลักษณ์นี้มาก่อน อย่างไรก็ตามมันดูสมเหตุสมผล -downsampler ถูกกำหนดโดยสมการ: $M$

y_{D} [n] = x [M n]

$y_D[n] = x[Mn]$

การแปลงของมันถูกนิยามโดยสมการ: $z$

\begin{aligned} Y_{D} (z) & = \sum_{n = - \infty}^{\infty} y_{D} [n] z^{- n} \\ = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [M n] z^{- n} \end{aligned}

$\begin{align} Y_D(z) &= \sum_{n=-\infty}^\infty y_D[n]z^{-n} \\ &= \sum_{n=-\infty}^\infty x[Mn] z^{-n} \end{align}$

ใช้การเปลี่ยนแปลงของตัวแปรให้Mn ช่วงของการรวมจะไม่ได้รับผลกระทบจากการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรเนื่องจากขยายไปถึงอินฟินิตี้ $n' = Mn$

Y_{D} (z) = \sum_{n^{'} = - \infty}^{\infty} x [n^{'}] z^{- n^{'} / M}

$Y_D(z) = \sum_{n'=-\infty}^\infty x[n']z^{-n'/M}$

นี่ดูเหมือนกับการแปลงของเอง จำได้ว่ามันถูกกำหนดเป็น: $z$ $x[n]$

X (z) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] z^{- n}

$X(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty x[n]z^{-n}$

จากการตรวจสอบเราสามารถสรุปความสัมพันธ์ต่อไปนี้ระหว่างการแปลงของและ : $z$ $x[n]$ $y_D[n]$

Y_{D} (z) = X (z^{1 / M})

$Y_D(z) = X\left(z^{1/M}\right)$

ดังนั้นการแปลงของเอาต์พุต downsampler มีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับการแปลงของสัญญาณอินพุตซึ่งคาดว่าจะเกิดขึ้น ในโดเมนความถี่สิ่งนี้ส่งผลให้ fold ยืดเนื้อหาความถี่ของสัญญาณ $z$ $z$ $M$

แต่คุณจะไปจากสมการข้างต้นกับที่คุณอ้างถึงในกระดาษได้อย่างไร มันให้ความหมายของในแง่ของเท่านั้นในขณะที่การแสดงออกที่เราได้รับมาเป็นหน้าที่ของM} ดังนั้นสำหรับค่าเฉพาะของที่คุณต้องการประเมินที่คุณต้องคำนวณ (เช่นเอา -th root ของ ) มาแทน . แต่ทั้งหมดไม่ใช่ศูนย์มี ที่แตกต่างกัน ราก -th : $Y_D(z)$ $z$ $z^{1/M}$ $z$ $Y_D(z)$ $z^{1/M}$ $M$ $z$ $X(z)$ $z \in \mathbb{C}$ $M$ $M$

{r_{p}, r_{p} e^{\frac{j 2 π}{M}}, r_{p} e^{\frac{j 2 π 2}{M}}, \dots, r_{p} e^{\frac{j 2 π (M - 1)}{M}}}

$\left\{ r_p,\ r_p e^{\frac{j2\pi}{M}},\ r_p e^{\frac{j2\pi2}{M}},\ \ldots\ ,\ r_p e^{\frac{j2\pi(M-1)}{M}} \right\}$

= {r_{p}, r_{p} W, r_{p} W^{2}, \dots, r_{p} W^{M - 1}}

$= \left\{ r_p,\ r_p W,\ r_p W^{2},\ \ldots\ ,\ r_p W^{M-1} \right\}$

โดยที่คือค่าเคอร์เนล DFTอ้างอิงในคำถามของคุณและคือสิ่งที่ฉันกำหนดให้เป็นรากหลัก -th ของค่าเชิงซ้อน : $W_k$ $e^{j2\pi k / M}$ $r_p$ $M$ $z$

r_{p} = \sqrt[M]{| z |} e^{\frac{j ∠ z}{M}}

$r_p = \sqrt[M]{|z|} e^{\frac{j\angle{z}}{M}}$

นั่นคือ 's เงินต้น -th รากจะได้รับโดยการแปลงเพื่อรูปแบบเชิงขั้วเอาราก -th ของ ' s ขนาด (ซึ่งเป็นจำนวนจริง) และหาร 's มุมโดยMค่าผลลัพธ์แสดงในรูปแบบโพลาร์ $z$ $M$ $r_p$ $z$ $M$ $z$ $z$ $M$ $r_p$

ไปที่ปัญหาทั้งหมดนี้ทำไม เพราะอย่างที่ฉันได้บันทึกไว้ก่อนหน้านี้การจากไปยังโดเมนของไม่ใช่แบบหนึ่งต่อหนึ่ง ตอนนี้ฉันจะเริ่มต้นการโบกมือ สำหรับค่าใด ๆ ของที่คุณต้องการประเมินมีจุดสอดคล้องกันในที่คุณสามารถแมปได้ ดังนั้นแต่ละคนคะแนนในนำไปสู่ค่าที่สอดคล้องกันของ(z) จากนั้นคุณจะได้รับผลรวมเช่นเดียวกับที่แสดงในกระดาษ: $Y_D(z)$ $X(z^{1/M})$ $z$ $Y_D(z)$ $M$ $X(z^{1/M})$ $M$ $X(z^{1/M})$ $Y_D(z)$

Y_{D} (z) = \frac{1}{M} \sum_{k = 0}^{M - 1} X (r_{p} (z) W^{k})

$Y_D(z) = \frac{1}{M} \sum_{k=0}^{M-1} X(r_p(z)W^k)$

โดยที่หมายถึงการคำนวณหลักที่ -th ที่ฉันพบก่อนหน้านี้ ในความเป็นจริงคุณสามารถเลือกรากของใด ๆ ของเป็นหลักได้ ฉันเลือกคำจำกัดความนี้เพราะมันตรงไปตรงมาที่สุด ถ้าคุณได้อย่างถูกต้องและได้รับมาอย่างจริงจังความสัมพันธ์นี้ผมเชื่อว่าปัจจัยของมาในเพราะอนุพันธ์ของM} $r_p(z)$ $M$ $z$ $M$ $\frac{1}{M}$ $z^{1/M}$

ในนักคณิตศาสตร์พูดฉันเชื่อว่าสิ่งนี้จะถูกเรียกว่าองค์ประกอบของฟังก์ชั่น; ที่และM} เพื่อองค์ประกอบฟังก์ชั่นและเขียนเป็นฟังก์ชั่นของเท่านั้นคุณจะสับโดเมนลงในส่วนที่เป็นแบบหนึ่งต่อหนึ่งกลับเปลี่ยนฟังก์ชันในช่วงเวลาเหล่านั้นแล้วรวม ผลลัพธ์ที่ได้ด้วยปัจจัยการปรับสเกลที่เหมาะสม ฉันใช้เทคนิคนี้มาก่อนในการคำนวณฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มที่กำหนดให้เป็น pdf ต้นฉบับของตัวแปรสุ่ม (เช่นเพื่อหารูปแบบ pdf ของได้รับ $Y_D(z) = f(g(z))$ $f(z) = X(z)$ $g(z) = z^{1/M}$ $Y_D(z)$ $z$ $Y_D(z)$ $\sqrt{X}$ $X$ PDF) แต่ชื่อของเทคนิคหนีฉันไป

— เจสันอาร์
แหล่งที่มา

คำตอบที่ดีมาก

— Spacey

ขอบคุณ นักคณิตศาสตร์ที่มีใบอนุญาตจะประจบประแจงความพยายามของฉันที่คำอธิบาย (ฉันเห็นได้ชัดว่าเป็นวิศวกร) ฉันไม่คิดว่ามันชัดเจนมาก แต่บางทีคนอื่นสามารถแนะนำคำอธิบายที่สะอาดกว่าหรือบางทีฉันอาจคิดถึงวิธีที่ดีกว่าในการพูด

— Jason R

ฉันเข้าใจครึ่งแรก แต่สิ่งต่าง ๆ เลือนหายไปในที่สุดสำหรับฉัน

— Spacey

ฉันควรเขียนอีกครึ่งหลังเมื่อมีโอกาส มันเป็นเพียงเทคนิคมาตรฐานที่ได้มาจากการแสดงออกสำหรับองค์ประกอบของสองฟังก์ชั่น ฉันจำเป็นต้องจำรายละเอียดของวิธีการทำ

— Jason R