ช่องว่างภายในศูนย์โดเมน - การดูแลเป็นพิเศษของ X [N / 2]

สมมติว่าเราต้องการแก้ไขสัญญาณเป็นระยะด้วยจำนวนตัวอย่างที่สม่ำเสมอ (เช่น N = 8) โดยการเติมเต็มศูนย์ในโดเมนความถี่

ให้ DFT X=[A,B,C,D,E,F,G,H]
ตอนนี้ขอแผ่นมันถึง 16 Yตัวอย่างที่จะให้ ทุกตัวอย่างในตำราและกวดวิชาออนไลน์ที่ฉันได้เห็นแทรกศูนย์ที่ให้ (จากนั้นเป็นสัญญาณที่ถูกแก้ไข)[Y₄...Y₁₁]
Y=[2A,2B,2C,2D,0,0,0,0,0,0,0,0,2E,2F,2G,2H]
y = idft(Y)

ทำไมไม่ใช้แทน Y=[2A,2B,2C,2D,E,0,0,0,0,0,0,0,E,2F,2G,2H]?

เท่าที่ฉันสามารถบอกได้ (ความรู้ทางคณิตศาสตร์ของฉันมี จำกัด ):

มันลดพลังงานทั้งหมด
มันทำให้มั่นใจได้ว่าหากxเป็นมูลค่าที่แท้จริงดังนั้นจึงเป็นy
yยังคงตัดกันxทุกจุดตัวอย่างตามที่ต้องการ (ฉันคิดว่านี่เป็นความจริงสำหรับทุกpที่Y=[2A,2B,2C,2D,pE,0,0,0,0,0,0,0,(2-p)E,2F,2G,2H])

เหตุใดจึงไม่ทำเช่นนี้?

แก้ไข : xไม่จำเป็นต้องเป็นมูลค่าจริงหรือ จำกัด วง

dft interpolation zero-padding

— finnw
แหล่งที่มา

คุณเขียน "ทุกตัวอย่างตำราเรียนและแบบฝึกหัดออนไลน์ที่ฉันเห็นเป็นศูนย์แทรกที่ ... " คุณสามารถอัปเดตโพสต์ของคุณด้วยการอ้างอิงบางส่วนได้หรือไม่? เพียงแค่อยากรู้อยากเห็นเพราะคุณยังเขียนว่า x ไม่จำเป็นต้องเป็นของมีค่าจริงและสิ่งก่อสร้างแรกที่คุณพูดถึงไม่ได้ (โดยทั่วไป) สร้างผลลัพธ์ที่แท้จริงโดยผกผัน DFT

— niaren

@niaren ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างหนึ่ง: dspguru.com/dsp/howtos/…

— finnw

เป็นเรื่องน่าสังเกตว่าเพื่อให้

มีคุณค่าจริงคุณต้องปล่อยให้

y

$y$

Y = [2 A, 2 B, 2 C, 2 D, E, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, E^{*}, 2 F, 2 G, 2 H]

$Y=[2A,2B,2C,2D,E,0,0,0,0,0,0,0,E^*,2F,2G,2H]$ (เช่นเมื่อคุณซ้ำ E สำหรับ "เชิงลบความถี่" ครึ่งหนึ่งของเวกเตอร์โดเมนความถี่คุณจะต้องผันมันสัญญาณที่มีจริงในโดเมนเวลามี DFTs ผันสมมาตร..

— เจสัน R

@ Jason R หากสัญญาณเข้ามีค่าจริงดังนั้น E จึงเป็น [2A, 2B, 2C, 2D, E, 0,0,0,0,0,0,0,0,0, E, 2F, 2G, 2H] เป็นไปตามเงื่อนไขนี้ หากอินพุตไม่ได้มีมูลค่าจริงก็ไม่จำเป็นต้องบังคับให้เอาต์พุตเป็นมูลค่าจริง

— finnw

คุณถูก. นั่นคือสิ่งที่ฉันได้รับสำหรับการเขียนความคิดเห็นสายเกินไปในตอนเย็น

— Jason R

คำตอบ:

ลองดูความถี่ของถังขยะใน DFT 8 จุดของคุณ:

ดังนั้นเมื่อคุณทำการประมาณด้วย 2 ชี้ความถี่ 's กลายเป็นหรือπ

\begin{matrix} ω_{A} = 0, \\ ω_{B} = π / 4, \\ ω_{C} = π / 2, \\ ω_{D} = 3 π / 4, \\ ω_{E} = π = - π (m o d 2 π), \\ ω_{F} = 5 π / 4 = - 3 π / 4 (m o d 2 π), \\ ω_{G} = 3 π / 2 = - π / 2 (m o d 2 π), \\ ω_{H} = 7 π / 4 = - π / 4 (m o d 2 π) \end{matrix}

$\begin{array}{c} \omega_A = 0,\\ \omega_B = \pi/4,\\ \omega_C = \pi/2,\\ \omega_D = 3\pi/4,\\ \omega_E = \pi = -\pi\ ({\tt mod}\ 2\pi),\\ \omega_F = 5\pi/4 = -3\pi/4\ ({\tt mod}\ 2\pi),\\ \omega_G = 3\pi/2 = -\pi/2\ ({\tt mod}\ 2\pi), \\ \omega_H = 7\pi/4 = -\pi/4\ ({\tt mod}\ 2\pi) \end{array}$

E

$E$

- π

$-\pi$

+ π

$+ \pi$

ในภาพรวมครั้งแรกฉันไม่สามารถเห็นปัญหาที่เกิดขึ้นกับแนวทางของคุณเนื่องจากยังไม่ชัดเจนว่าควรใส่ลงในถังขยะที่เกี่ยวข้องกับหรือหรือไม่ $E$ $\pi$ $-\pi$

ในหน้าของJulius O. Smith IIIเขาระบุเงื่อนไข:

นอกจากนี้เราต้องการ เมื่อ ยังเท่าเดิมในขณะที่เลขคี่ต้องไม่มีข้อ จำกัด ดังกล่าว $x(N/2) = x(-N/2) = 0$ $N$

และตัวอย่างของเขานั้นมีไว้สำหรับคี่ซึ่งหลีกเลี่ยงปัญหา $N$

ไม่แน่ใจว่าจำเป็นหรือไม่ แต่เป็นข้อมูลอ้างอิงทั้งหมดเกี่ยวกับงานของ Julius:

Smith, JO คณิตศาสตร์ของการแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง (DFT) พร้อมแอปพลิเคชั่นเสียงรุ่นที่สอง http://ccrma.stanford.edu/~jos/mdft/ , 2007, หนังสือออนไลน์, เข้าถึง 28 กันยายน 2554

— ปีเตอร์เค
แหล่งที่มา

มีหลายวิธีในการสอดแทรกข้อมูล การแก้ไขในใจของฉันหมายความว่าคุณ 'ขีดเส้น' ระหว่างจุดข้อมูลบางจุด สามารถทำได้หลายวิธี การแก้ไขชนิดหนึ่งซึ่งมีประโยชน์ใน DSP (โดยเฉพาะใน Multirate DSP) คือ 'การแก้ไขแบบไม่ จำกัด วง' หากคุณ google ที่คุณจะได้รับความนิยมและมีประโยชน์มากมาย สิ่งที่คุณเสนอไม่ใช่การแก้ไขแบบ จำกัด วง ใน 'อัพแซมเปิ้ล' x คุณมีส่วนประกอบความถี่ที่ไม่ปรากฏในต้นฉบับ x

แก้ไข (ยาวเกินความคิดเห็น):

การสร้างของคุณมีความแตกต่างอย่างมีนัยสำคัญโดยเริ่มจากและตัวอย่างในการอ้างอิงที่คุณให้ไว้ $X=[A,B,C,D,E,F,G,H]$

พิจารณาอินพุตจริง

$X=[A,B,C,D,E,D^*,C^*,B^*]$

การยกตัวอย่างโดยปัจจัย 2 สำหรับอินพุต fullband ในกรณีที่อัปแซมปลิงนี้สามารถดำเนินการโดยศูนย์การวางครั้งแรกในการป้อนข้อมูลบรรณนิทัศน์ (นั่นคือ $x_0,0,x_1,0,...$ . ผลที่ได้คือสัญญาณที่มีคลื่นความถี่ที่มีเวอร์ชันบีบอัดคลื่นความถี่ของ x (ในช่วง ) และรูปภาพขยายจาก (พิจารณาเฉพาะแกนความถี่บวก) หาก x2 เป็นรุ่นอัปเดต $0-\pi/2$ $\pi/2 - \pi$

$X2=[A,B,C,D,E,D^*,C^*,B^*,A,B,C,D,E,D^*,C^*,B^*]$

ในกรณีที่ต้องการตัวกรองผนังอิฐในอุดมคติที่มีความถี่คัตออฟเป็นสิ่งจำเป็นในการลบภาพ นั่นคือ (สำหรับอินพุตไม่สิ้นสุด) $\pi/2$

$y_n = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x2_k sinc(0.5n - k)$

ในทางปฏิบัติแม้ว่าจะมีการบิดเบือนเพราะตัวกรองผนังอิฐไม่เหมือนจริง ฟิลเตอร์ที่ใช้งานจริงสามารถยับยั้ง / ลบความถี่ในอินพุตหรืออาจทิ้งไว้ในส่วนประกอบความถี่บางส่วนในภาพในสัญญาณอัพแซมเพิล หรือตัวกรองสามารถประนีประนอมระหว่างทั้งสอง ฉันคิดว่าการสร้างโดเมนความถี่ของคุณยังสะท้อนถึงการประนีประนอมนี้ ตัวอย่างทั้งสองนี้แสดงถึงตัวเลือกที่แตกต่างกันสองแบบ:

$Y=[A,B,C,D,E,0,0,0,0,0,0,0,E^*,D^*,C^*,B^*]$

$Y=[A,B,C,D,0,0,0,0,0,0,0,0,0,D^*,C^*,B^*]$

หากการป้อนข้อมูลเป็น bandlimited ต่ำกว่าความถี่ nyquist ตามที่คุณอ้างอิงปัญหานี้จะหายไป

$\rho$

$Y=[A,B,C,D,\rho,0,0,0,0,0,0,0,\rho^*,D^*,C^*,B^*]$

— niaren
แหล่งที่มา

x

$x$

@leftaroundabout x ต้นฉบับคือ bandlimited (ในตัวอย่างนี้กับความถี่ Nyquist) OP ต้องการสุ่มตัวอย่าง x ด้วยปัจจัย 2 (การตีความของฉัน) วิธีหนึ่งในการสุ่มตัวอย่าง x คือการแทรกค่าศูนย์ในการตอบสนองความถี่ตามที่แสดงโดย OP (ตัวอย่างที่ไม่มี E, วิธีที่แสดงในหนังสือตำรา DSP) และทำ FFT แบบผกผัน ฉันเชื่อว่าสิ่งเดียวกันอาจเกิดขึ้นได้โดยการแทรกค่าศูนย์ (interleaved) ในตัวกรอง x และ (low-pass) โดย sinc ด้วยการแทรก E ตามที่แสดงโดย OP ค่า x ที่เพิ่มขึ้นนั้นไม่ได้ จำกัด ย่านความถี่ Nyquist ดั้งเดิม โดยทั่วไปไม่ต้องการสิ่งนี้ (เป็นการบิดเบือน) คุณเห็นด้วยไหม?

— Niaren

E

$E$

\frac{π}{2} \sim \frac{- π}{2}

$\frac\pi2\sim\frac{-\pi}2$

ฉันสมมติว่ามีความถี่± N / 2 อยู่ใน x ถ้าไม่ใช่ (เนื่องจาก bandlimiting หรืออย่างอื่น) ดังนั้น E จะเป็น 0 ดังนั้นจึงไม่มีความแตกต่างระหว่างการเว้นวรรคกับ E (หรือ 2E) และการเติมด้วย 0

— finnw

สัญญาณแบนด์วิดท์ยังสามารถมีเนื้อหาใน bin N / 2 เนื่องจาก "การรั่วไหลของสเปกตรัม" จากเนื้อหาสเปกตรัมรูรับแสงที่ไม่ใช่ DFT เป็นระยะ ๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งใกล้ (แต่ไม่ใช่ที่ Fs / 2)

— hotpaw2