คำถามทางคณิตศาสตร์ที่เกิดจากการใช้การแปลงแบบบิลิแนร์

ดังนั้นสิ่งนี้เกี่ยวข้องกับตำราอาหารและฉันพยายามแก้ไขมันอาจจะสองทศวรรษที่แล้วเลิกและได้รับการเตือนถึงปัญหาที่ไม่ได้แก้ไข แต่มันก็ด่าไปข้างหน้า แต่ฉันก็ยังตกอยู่ในโคลนตม

นี่คือตัวกรอง Bandpass แบบง่าย (BPF) ที่มีความถี่เรโซแนนท์และเสียงก้อง :$\Omega_0$$Q$

$$H(s) = \frac{\frac{1}{Q}\frac{s}{\Omega_0}}{\left(\frac{s}{\Omega_0}\right)^2 + \frac{1}{Q}\frac{s}{\Omega_0} + 1}$$

ที่ความถี่พ้อง

$$|H(j\Omega)| \le H(j\Omega_0) = 1$$

และมีการกำหนดแถบแบนด์ด้านบนและล่าง

$$|H(j\Omega_U)|^2 = \left|H\left(j\Omega_0 2^{BW/2} \right)\right|^2 = \tfrac12$$

$$|H(j\Omega_L)|^2 = \left|H\left(j\Omega_0 2^{-BW/2} \right)\right|^2 = \tfrac12$$

เราขอเรียกร้องเหล่านี้"bandedges ครึ่งอำนาจ" เนื่องจากเราเป็นเสียงเราจึงกำหนดแบนด์วิดท์ในอ็อกเทฟและในโลกอะนาล็อกแบนด์วิดท์นี้ในอ็อกเทฟเกี่ยวข้องกับเป็น:$BW$$Q$

$$\frac{1}{Q} = \frac{2^{BW} - 1}{\sqrt{2^{BW}}} = 2 \sinh\left( \tfrac{\ln(2)}{2} BW \right)$$

เรากำลังใช้การแปลง bilinear (ด้วยความถี่เรโซแนนท์ pre-warped) ซึ่งแมป:

$$\begin{align} \frac{s}{\Omega_0} & \leftarrow \frac{1}{\tan(\omega_0/2)} \, \frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}} \\ \\ \frac{j \Omega}{\Omega_0} & \leftarrow \frac{j\tan(\omega/2)}{\tan(\omega_0/2)} \\ \end{align}$$

ปล่อยให้$z=e^{j \omega}$และs$s=j\Omega$

จังหวะเชิงมุมความถี่ของการกรองแบบอะนาล็อกเป็นและมีการชดเชยความถี่แปรปรวนทำเพื่อสะท้อนความถี่ในตัวกรองดิจิตอลตระหนักเมื่อ (ผู้ใช้กำหนดความถี่จังหวะ) แล้ว\$\Omega_0$$\omega=\omega_0$$\Omega=\Omega_0$

ดังนั้นถ้าความถี่เชิงมุมแอนะล็อกเป็น

$$\frac{\Omega}{\Omega_0} = \frac{\tan(\omega/2)}{\tan(\omega_0/2)}$$

จากนั้นมันจะถูกแมปกับความถี่เชิงมุมแบบดิจิทัลเป็น

$$\omega = 2 \arctan\left( \frac{\Omega}{\Omega_0} \, \tan(\omega_0/2) \right)$$

ตอนนี้แถบบนและล่างในโลกอะนาล็อกคืออะไร

$$\Omega_U = \Omega_0 2^{BW/2}$$ $$\Omega_L = \Omega_0 2^{-BW/2}$$

และในโดเมนความถี่ดิจิทัลคือ

$$\begin{align} \omega_U &= 2 \arctan\left( \frac{\Omega_U}{\Omega_0} \, \tan(\omega_0/2) \right) \\ &= 2 \arctan\left(2^{BW/2} \, \tan(\omega_0/2) \right) \\ \end{align}$$

$$\begin{align} \omega_L &= 2 \arctan\left(\frac{\Omega_L}{\Omega_0} \, \tan(\omega_0/2) \right) \\ &= 2 \arctan\left(2^{-BW/2} \, \tan(\omega_0/2) \right) \\ \end{align}$$

จากนั้นความแตกต่างที่เกิดขึ้นจริงในความถี่การบันทึกของ bandeges (ซึ่งเป็นแบนด์วิดท์ที่เกิดขึ้นจริงในตัวกรองดิจิตอล) คือ:

$$\begin{align} bw & = \log_2(\omega_U) - \log_2(\omega_L) \\ & = \log_2\Bigg(2\arctan\left( 2^{ BW/2} \, \tan(\omega_0/2) \right) \Bigg) - \log_2\Bigg(2\arctan\left( 2^{-BW/2} \, \tan(\omega_0/2) \right) \Bigg) \ \end{align}$$

หรือ

$$\ln(2) \, bw = \ln\left(\arctan\left( e^{\ln(2)BW/2} \, \tan(\omega_0/2) \right) \right) - \ln\left(\arctan\left( e^{-\ln(2)BW/2} \, \tan(\omega_0/2) \right) \right)$$

นี่คือรูปแบบการทำงานของ

$$f(x) = \ln\left(\arctan\left(\alpha \, e^{x} \right) \right) - \ln\left(\arctan\left( \alpha \, e^{-x}\right) \right)$$

โดยที่ , และ$f(x) \triangleq \ln(2) \, bw$$x \triangleq \frac{\ln(2)}{2}BW$$\alpha \triangleq \tan(\omega_0/2)$

สิ่งที่ฉันต้องการจะทำคือกลับหัว (แต่ฉันรู้ว่าฉันไม่สามารถทำได้อย่างแน่นอนด้วยรูปแบบปิดที่ดี) ฉันได้ทำการประมาณคำสั่งซื้อครั้งแรกแล้วและฉันต้องการที่จะประเมินผลการสั่งซื้อครั้งที่สาม และสิ่งนี้ได้กลายเป็นสุนัขเพศเมียเรียงลำดับแม้ว่ามันควรจะตรงไปข้างหน้า$f(x)$

ตอนนี้มีบางอย่างเกี่ยวกับสูตร Lagrange Inversionและฉันแค่อยากจะใช้มันมากกว่าเทอมเดียว

เรารู้จากข้างบนว่าเป็นฟังก์ชันคี่ - สมมาตร:$f(x)$

$$f(-x) = -f(x)$$

ซึ่งหมายความว่าและเงื่อนไขการสั่งซื้อแบบสม่ำเสมอของซีรี่ส์ Maclaurin จะเป็นศูนย์:$f(0)=0$

$$y = f(x) = a_1 x + a_3 x^3 + ...$$

ฟังก์ชันผกผันเป็นสมมาตรที่แปลกประหลาดซึ่งต้องผ่านศูนย์และสามารถแสดงเป็นชุด Maclaurin ได้

$$x = g(y) = b_1 y + b_3 y^3 + ...$$

และถ้าเรารู้ว่าและคืออะไรของเราก็มีความคิดที่ดีว่าและต้องเป็นอะไร:$a_1$$a_3$$f(x)$$b_1$$b_3$

$$b_1=\frac{1}{a_1} \quad \quad \quad \quad b_3 = -\frac{a_3}{a_1^4}$$

ตอนนี้ฉันสามารถคำนวณอนุพันธ์ของและประเมินมันที่ศูนย์และฉันได้$f(x)$

$$\\ a_1 = \frac{2 \alpha}{(1+\alpha^2) \arctan(\alpha)} = \frac{\sin(\omega_0)}{\omega_0/2}$$ $$\\ b_1 = \frac{(1+\alpha^2) \arctan(\alpha)}{2 \alpha} = \frac{\omega_0/2}{\sin(\omega_0)} \\ $$

แต่ฉันมีสุนัขตัวเมียเวลารับและดังนั้นจึงb_3คนที่สามารถทำเช่นนี้? ฉันยังต้องการชำระสำหรับการแสดงออกที่มั่นคงสำหรับอนุพันธ์ที่สามของประเมิน 0$a_3$$b_3$$f(x)$$x=0$

เพื่อเติมเต็มส่วนของฉันกับคำถามนี้: นี่คือคำตอบที่ค่อนข้างสั้นตามการขยายตัวของฟังก์ชั่นคี่ ในซีรีย์ที่มีลำดับสูงสุดที่สาม บางรายละเอียดเพิ่มเติมสามารถพบได้ที่ mathSE$f(x)$

$$\begin{align*} f(x)&=\ln\left(\arctan\left(\alpha e^x\right)\right)-\ln\left(\arctan\left(\alpha e^{-x}\right)\right)\\ &=f_1x+f_3x^3+O\left(x^5\right)\tag{1} \end{align*}$$

ตอนแรกเรามุ่งเน้นที่คำซ้ายมือของและเริ่มต้นด้วย

$$\ln\left(\arctan\left(\alpha e^x\right)\right)$$ $f(x)$

การขยายตัวของ :$\arctan$

เราได้รับ

$$\begin{align*} \arctan(\alpha e^x)&=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1}\alpha^{2n+1} e^{(2n+1)x}\\ &=\cdots\\ &=\sum_{j=0}^\infty\frac{1}{j!}\sum_{n=0}^\infty(-1)^n(2n+1)^{j-1}\alpha^{2n+1}x^j\tag{2} \end{align*}$$

ตอนนี้เราได้รับมาจาก (2) ค่าสัมประสิทธิ์ถึง 3 การใช้ตัวดำเนินการสัมประสิทธิ์เพื่อแสดงถึงสัมประสิทธิ์ของในชุดที่เราได้รับ $x^3$$[x^k]$$x^k$

$$\begin{align*} [x^0]\arctan\left(\alpha e^x\right)&=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1}\alpha^{2n+1}=\arctan \alpha\\ [x^1]\arctan\left(\alpha e^x\right)&=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\alpha^{2n+1}=\frac{\alpha}{1+\alpha ^2}\\ [x^2]\arctan\left(\alpha e^x\right)&=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n(2n+1)\alpha^{2n+1}\\ &=\cdots =\frac{\alpha}{2}\cdot\frac{d}{d\alpha}\left(\frac{\alpha}{1+\alpha^2}\right) =\frac{\alpha(1-\alpha^2)}{2\left(1+\alpha^2\right)^2}\\ [x^3]\arctan\left(\alpha e^x\right)&=\frac{1}{6}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n(2n+1)^2\alpha^{2n+1}\\ &=\frac{\alpha^2}{6}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n(2n+1)(2n)\alpha^{2n-1} +\frac{\alpha}{6}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n(2n+1)\alpha^{2n}\\ &=\cdots =\left(\frac{\alpha^2}{6}\cdot\frac{d^2}{d\alpha^2}+\frac{\alpha}{6}\cdot\frac{d}{d\alpha}\right)\left(\frac{\alpha}{1+\alpha^2}\right)\\ &=\cdots =\frac{\alpha^5-6\alpha^3+\alpha}{6(1+\alpha^2)^3} \end{align*}$$

เราสรุป

$$\begin{align*} \arctan\left(\alpha e^x\right)&=\arctan(\alpha)+\frac{\alpha}{1+\alpha^2}x+\frac{\alpha(1-\alpha^2)}{2\left(1+\alpha^2\right)^2}x^2\\ &\qquad+\frac{\alpha^5-6\alpha^3+\alpha}{6(1+\alpha^2)^3}x^3+O(x^4)\tag{3} \end{align*}$$

พลังในซีรีส์ลอการิทึม:

เพื่อหาค่าสัมประสิทธิ์ของลอการิทึมอนุกรม เราเขียนนิพจน์ (3) เป็น และเราพิจารณา

$$\begin{align*} \ln\left(\arctan(\alpha e^x)\right)&=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{n}(\arctan(\alpha e^x)-1)^n \end{align*}$$ $$\begin{align*} \arctan\left(\alpha e^x\right)&=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+O(x^4) \end{align*}$$ $$\begin{align*} \ln\left(\arctan(\alpha e^x)\right)&=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{n}((a_0-1)+a_1x+a_2x^2+a_3x^3)^n+O(x^4)\tag{4} \end{align*}$$

ตอนนี้เราตั้งค่าและแยกค่าสัมประสิทธิ์ของถึงจาก $A(x)=(a_0-1)+a_1x+a_2x^2+a_3x^3$$x^0$$x^3$

$$\begin{align*} \left(A(x)\right)^n&=((a_0-1)+a_1x+a_2x^2+a_3x^3)^n\\ &=\sum_{j=0}^n\binom{n}{j}(a_0-1)^j\left(a_1x+a_2x^2+a_3x^3\right)^{n-j}\\ &=\sum_{j=0}^n\binom{n}{j}(a_0-1)^j\sum_{k=0}^{n-j}\binom{n-j}{k}a_1^kx^k\left(a_2x^2+a_3x^3\right)^{n-j-k}\tag{5}\\ \end{align*}$$

เราได้รับจาก (5)

$$\begin{align*} [x^0]&\left(A(x)\right)^n=\cdots=(a_0-1)^n\\ [x^1]&\left(A(x)\right)^n=\cdots=a_1n(a_0-1)^{n-1}\\ [x^2]&\left(A(x)\right)^n=\dots=a_2n(a_0-1)^{n-1}+\frac{1}{2}n(n-1)a_1^2(a_0-1)^{n-2}\\ [x^3]&\left(A(x)\right)^n=\cdots=na_3(a_0-1)^{n-1}+a_1a_2n(n-1)(a_0-1)^{n-2}\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad+\frac{1}{6}n(n-1)(n-2)a_1^3(a_0-1)^{n-3}\tag{6} \end{align*}$$

การขยายตัวแบบลอการิทึม:

เราคำนวณการใช้ (6) สัมประสิทธิ์ของในรูปของ$\ln(\arctan(\alpha e^x))$$a_j, 0\leq j\leq 3$

$$\begin{align*} [x^0]&\ln(\arctan(\alpha e^x))=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}[x^0]A(x)\\ &=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}[x^0](a_0-1)^n\\ &=\ln(a_0-1)\\ [x^1]&\ln(\arctan(\alpha e^x))=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}[x^1]A(x)\\ &=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}[x^0]a_1n(a_0-1)^{n-1}\\ &=a_1\sum_{n=0}^\infty(-1)^n(a_0-1)^n\\ &=\frac{a_1}{a_0}\\ [x^2]&\ln(\arctan(\alpha e^x))=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}[x^2]A(x)\\ &=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}\left(a_2n(a_0-1)^{n-1}+\frac{1}{2}n(n-1)a_1^2(a_0-1)^{n-2}\right)\\ &=\cdots\\ &=\left(a_2+\frac{a_1^2}{2}\frac{d}{da_0}\right)\left(\frac{1}{a_0}\right)\\ &=\frac{a_2}{a_0}-\frac{a_1^2}{2a_0^2}\\ [x^3]&\ln(\arctan(\alpha e^x))=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}[x^3]A(x)\\ &=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}\left(na_3(a_0-1)^{n-1}+a_1a_2n(n-1)(a_0-1)^{n-2}\right.\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\left.+\frac{1}{6}n(n-1)(n-2)a_1^3(a_0-1)^{n-3}\right)\\ &=\cdots\\ &=\left(a_3+a_1a_2\frac{d}{da_0}+\frac{a_1^3}{6}\frac{d^2}{da_0^2}\right)\left(\frac{1}{a_0}\right)\\ &=\frac{a_3}{a_0}-\frac{a_1a_2}{a_0^2}+\frac{a_1^3}{3a_0^3}\tag{7} \end{align*}$$

ซีรี่ส์การขยายตัวของ :$f(x)$

ตอนนี้ถึงเวลาเก็บเกี่ยวแล้ว ในที่สุดเราก็จะได้รับกับ (3) และ (7) เนื่องจากนั้นแปลก$f(x)$

$$\begin{align*} \color{blue}{f(x)}&\color{blue}{=\ln\left(\arctan\left(\alpha e^x\right)\right)-\ln\left(\arctan\left(\alpha e^{-x}\right)\right)}\\ &=\cdots\\ &=\frac{2a_1}{a_0}x+2\left(\frac{a_3}{a_0}-\frac{a_1a_2}{a_0^2}+\frac{a_1^3}{3a_0^3}\right)x^3+O(x^5)\\ &\color{blue}{=\frac{2\alpha}{(1+\alpha^2)\arctan(\alpha)}x +\frac{\alpha}{3(1+\alpha^2)^3\arctan(\alpha)}\Bigg(\alpha^4-6\alpha^2+1}\\ &\qquad\color{blue}{\left.-\frac{3\alpha(1-\alpha^2)}{\arctan(\alpha)}+\frac{2\alpha^2}{\left(\arctan(\alpha)\right)^2}\right)x^3+O(x^5)} \end{align*}$$

(การแปลงความคิดเห็นเพื่อตอบ)

ใช้ Wolfram Alpha,ที่ประเมินเป็น: $f'''(x)$$x=0$

$$\begin{align} \\ f'''(0) = & -\frac{6 \alpha^2}{(\alpha^2 + 1)^2 (\arctan(\alpha))^2} \ + \ \frac{2 \alpha}{(\alpha^2 + 1) \arctan(\alpha)} \\ & \quad \quad + \frac{16 \alpha^5}{(\alpha^2 + 1)^3 \arctan(\alpha)} \ + \ \frac{12 \alpha^4}{(\alpha^2 + 1)^3 (\arctan(\alpha))^2} \\ & \quad \quad \quad \quad - \frac{16 \alpha^3}{(\alpha^2 + 1)^2 \arctan(\alpha)} \ + \ \frac{4 \alpha^3}{(\alpha^2 + 1)^3 (\arctan(\alpha))^3} \\ \\ &= \frac{2 (\alpha^4 - 6 \alpha^2 + 1) \alpha}{(\alpha^2 + 1)^3 \arctan(\alpha)} + \frac{6 (\alpha^2 - 1) \alpha^2}{(\alpha^2 + 1)^3 (\arctan(\alpha))^2} + \frac{4 \alpha^3}{(\alpha^2 + 1)^3 (\arctan(\alpha))^3} \\ \end{align}$$

http://www.wolframalpha.com/input/?i=evaluate+d3%2Fdx3++(+ln+(arctan+(a+exp(+x)))+-+ln+(arctan(a+exp(-+x) )) +) + ที่ + x% 3D0

เราสามารถตรวจสอบอีกครั้งว่าสิ่งนี้ตรงกับคำตอบของ Markus ที่นี่หรือไม่

ค่าสัมประสิทธิ์ของออกมาจะ$x^3$

$$\frac{\alpha}{3(1+\alpha^2)^3\arctan(\alpha)}\left(\alpha^4-6\alpha^2+1-\frac{3\alpha(1-\alpha^2)}{\arctan(\alpha)}+\frac{2\alpha^2}{\left(\arctan(\alpha)\right)^2}\right).$$

ถ้าเราคูณมันด้วย 6 และจัดเรียงปัจจัยบางอย่างที่เราได้รับ:

$$\frac{2\alpha(\alpha^4-6\alpha^2+1)}{(1+\alpha^2)^3\arctan(\alpha)} - \frac{6\alpha^2(1-\alpha^2)}{(1+\alpha^2)^3(\arctan(\alpha))^2} + \frac{4 \alpha^3}{(1+\alpha^2)^3 (\arctan(\alpha))^3}$$

ซึ่งตรงขึ้น!

ปัญหาที่ถูกวางในคำถามดูเหมือนจะไม่มีวิธีแก้ปัญหาแบบปิด ดังที่ได้กล่าวไว้ในคำถามและแสดงในคำตอบอื่น ๆ ผลสามารถพัฒนาเป็นชุดซึ่งสามารถทำได้โดยเครื่องมือทางคณิตศาสตร์สัญลักษณ์ใด ๆ เช่น Mathematica อย่างไรก็ตามคำศัพท์มีความซับซ้อนและน่าเกลียดและไม่ชัดเจนว่าการประมาณนั้นดีเพียงใดเมื่อเรารวมคำถึงลำดับที่สาม เนื่องจากเราไม่สามารถรับสูตรที่แน่นอนได้อาจเป็นการดีกว่าที่จะคำนวณวิธีแก้ปัญหาเชิงตัวเลขซึ่งแตกต่างจากการประมาณจะให้ผลลัพธ์ที่แน่นอน (เกือบ)

อย่างไรก็ตามนี่ไม่ใช่สิ่งที่คำตอบของฉันเกี่ยวกับ ฉันแนะนำเส้นทางที่แตกต่างซึ่งให้ทางออกที่แน่นอนโดยการเปลี่ยนการกำหนดปัญหา หลังจากคิดไปก็ปรากฎว่ามันเป็นสเปคของความถี่กลางและสเปคของแบนด์วิดท์เป็นอัตราส่วน (หรือเท่ากันในหน่วยแปดเสียง) ซึ่งเป็นสาเหตุให้การคำนวณทางคณิตศาสตร์ มีสองวิธีจากภาวะที่กลืนไม่เข้าคายไม่ออก:$\omega_0$

1. ระบุแบนด์วิดท์ของตัวกรองแบบไม่ต่อเนื่องเวลาเป็นความแตกต่างของความถี่โดยที่และเป็นขอบล่างและบนของตัวกรองแบบไม่ต่อเนื่องตามลำดับ$\Delta\omega=\omega_2-\omega_1$$\omega_1$$\omega_2$
2. กำหนดอัตราส่วนและแทนที่จะยามาหนึ่งในสองขอบความถี่หรือ\$\omega_2/\omega_1$$\omega_0$$\omega_1$$\omega_2$

ในทั้งสองกรณีสามารถใช้วิธีการวิเคราะห์อย่างง่ายได้ เนื่องจากเป็นที่พึงประสงค์ที่จะกำหนดแบนด์วิดท์ของตัวกรองแบบไม่ต่อเนื่องเป็นอัตราส่วน (หรือเท่ากันในหน่วยอ็อกเทฟ) ฉันจะอธิบายวิธีที่สอง

มากำหนดความถี่ขอบและของตัวกรองแบบต่อเนื่องโดย$\Omega_1$$\Omega_2$

$$|H(j\Omega_1)|^2=|H(j\Omega_2)|^2=\frac12\tag{1}$$

ด้วยโดยที่เป็นฟังก์ชั่นการถ่ายโอนของตัวกรองสัญญาณผ่านแถบลำดับที่สอง:$\Omega_2>\Omega_1$$H(s)$

$$H(s)=\frac{\Delta\Omega s}{s^2+\Delta\Omega s+\Omega_0^2}\tag{2}$$

กับและ\โปรดทราบว่าและสำหรับ\$\Delta\Omega=\Omega_2-\Omega_1$$\Omega_0^2=\Omega_1\Omega_2$$H(j\Omega_0)=1$$|H(j\Omega)|<1$$\Omega\neq\Omega_0$

เราใช้ bilinear แปลง map ความถี่ขอบและของตัวกรองที่ไม่ต่อเนื่องเวลาไปที่ขอบความถี่และของตัวกรองอย่างต่อเนื่องเวลา โดยไม่สูญเสียของทั่วไปเราสามารถเลือก 1 สำหรับจุดประสงค์ของเราการแปลงแบบไบนิแนร์จะใช้แบบฟอร์ม$\omega_1$$\omega_2$$\Omega_1$$\Omega_2$$\Omega_1=1$

$$s = \frac{1}{\tan\left(\frac{\omega_1}{2}\right)}\frac{z-1}{z+1}\tag{3}$$

สอดคล้องกับความสัมพันธ์ต่อไปนี้ระหว่างความถี่ต่อเนื่องและเวลาไม่ต่อเนื่อง:

$$\Omega=\frac{\tan\left(\frac{\omega}{2}\right)}{\tan\left(\frac{\omega_1}{2}\right)}\tag{4}$$

จากเราได้รับโดยการตั้งค่า\ด้วยและคำนวณจากเราได้รับฟังก์ชั่นการถ่ายโอนของตัวกรองต้นแบบอนาล็อกจาก(2)เมื่อใช้การแปลงแบบบิลิแนร์เราจะได้รับฟังก์ชั่นการถ่ายโอนของตัวกรองผ่านแถบเวลาแบบไม่ต่อเนื่อง:$(4)$$\Omega_2$$\omega=\omega_2$$\Omega_1=1$$\Omega_2$$(4)$$(2)$$(3)$

$$H_d(z)=g\cdot\frac{z^2-1}{z^2+az+b}\tag{5}$$

กับ

$$\begin{align}g&=\frac{\Delta\Omega c}{1+\Delta\Omega c+\Omega_0^2c^2}\\a&=\frac{2(\Omega_0^2c^2-1)}{1+\Delta\Omega c+\Omega_0^2c^2}\\b&=\frac{1-\Delta\Omega c+\Omega_0^2c^2}{1+\Delta\Omega c+\Omega_0^2c^2}\\c&=\tan\left(\frac{\omega_1}{2}\right)\end{align}\tag{6}$$

สรุป:

แบนด์วิดท์ของตัวกรองเวลาไม่ต่อเนื่องสามารถระบุได้ในอ็อกเทฟ (หรือโดยทั่วไปเป็นอัตราส่วน) และพารามิเตอร์ของตัวกรองต้นแบบแบบแอนะล็อกสามารถคำนวณได้อย่างแม่นยำเช่นว่าแบนด์วิดท์ที่ระบุนั้นสามารถทำได้ แทนที่จะศูนย์ความถี่เราระบุวงขอบและ\ความถี่กลางที่กำหนดโดยเป็นผลลัพธ์ของการออกแบบ$\omega_0$$\omega_1$$\omega_2$$|H_d(e^{j\omega_0})|=1$

ขั้นตอนที่จำเป็นมีดังนี้:

1. ระบุอัตราส่วนที่ต้องการของขอบวงและหนึ่งในขอบวง (ซึ่งแน่นอนเทียบเท่ากับเพียงแค่ระบุและ )$\omega_2/\omega_1$$\omega_1$$\omega_2$
2. เลือกและกำหนดจาก(4)Computeและของตัวกรองต้นแบบอนาล็อก(2)$\Omega_1=1$$\Omega_2$$(4)$$\Delta\Omega=\Omega_2-\Omega_1$$\Omega_0^2=\Omega_1\Omega_2$$(2)$
3. ประเมินคงที่ที่จะได้รับการถ่ายโอนฟังก์ชั่นที่ไม่ต่อเนื่องเวลา(5)$(6)$$(5)$

โปรดทราบว่าด้วยวิธีการทั่วไปที่มีการระบุและขอบวงจริงและเป็นผลลัพธ์ของกระบวนการออกแบบ ในการแก้ปัญหาที่เสนอนั้นสามารถระบุขอบวงและเป็นผลลัพธ์ของกระบวนการออกแบบ ข้อดีของวิธีการหลังคือแบนด์วิดท์สามารถระบุได้ในอ็อกเทฟและวิธีการแก้ปัญหาที่แน่นอนคือตัวกรองที่เกิดขึ้นมีแบนด์วิดท์ที่ระบุในเลอะเลือน$\omega_0$$\Delta\omega=\omega_2-\omega_1$$\omega_1$$\omega_2$$\omega_0$

ตัวอย่าง:

Let 's ระบุแบนด์วิดธ์ของคู่หนึ่งและเราเลือกวงขอบล่าง\นี้จะช่วยให้วงขอบบน\ขอบวงดนตรีของตัวกรองต้นแบบอนาล็อกและ (กับ ) \นี้จะช่วยให้และ\ด้วยเราได้ฟังก์ชั่นการถ่ายโอนข้อมูลแบบไม่ต่อเนื่อง$\omega_1=0.2\pi$$\omega_2=2\omega_1=0.4\pi$$\Omega_1=1$$(4)$$\omega=\omega_2$$\Omega_2=2.2361$$\Delta\Omega=\Omega_2-\Omega_1=1.2361$$\Omega_0^2=\Omega_1\Omega_2=2.2361$$(6)$$(5)$

$$H_d(z)=0.24524 \cdot \frac{z^2-1}{z^2-0.93294z+0.50953}$$

ซึ่งบรรลุแบนด์วิดท์ของ 1 คู่และขอบวงที่ระบุดังแสดงในรูปด้านล่าง:

วิธีแก้ปัญหาเชิงตัวเลขของปัญหาดั้งเดิม:

จากความคิดเห็นที่ฉันเข้าใจว่ามันเป็นสิ่งสำคัญที่จะสามารถระบุความถี่กลางซึ่งเป็นที่พึงพอใจ ดังที่ได้กล่าวไปแล้วก่อนหน้านี้เป็นไปไม่ได้ที่จะได้รับโซลูชั่นแบบปิดที่แน่นอนและการพัฒนาอนุกรมก่อให้เกิดนิพจน์ที่ไม่แน่นอน$\omega_0$$|H_d(e^{j\omega_0})|=1$

เพื่อความชัดเจนฉันขอสรุปทางเลือกที่เป็นไปได้ด้วยข้อดีและข้อเสีย:

1. ระบุแบนด์วิดท์ที่ต้องการเป็นส่วนต่าง ความถี่และระบุ ; ในกรณีนี้วิธีแก้ปัญหาแบบปิดง่ายเป็นไปได้$\Delta\omega=\omega_2-\omega_1$$\omega_0$
2. ระบุขอบวงและ (หรือเท่ากันแบนด์วิดธ์ในเลอะเลือนและเป็นหนึ่งในขอบวง); สิ่งนี้นำไปสู่วิธีแก้ปัญหาแบบปิดแบบง่ายดังที่อธิบายไว้ข้างต้น แต่ความถี่กลางเป็นผลลัพธ์ของการออกแบบและไม่สามารถระบุได้$\omega_1$$\omega_2$$\omega_0$
3. ระบุแบนด์วิดท์ที่ต้องการในอ็อกเทฟและความถี่กลาง (ตามที่ถามในคำถาม); ไม่มีวิธีการแก้ปัญหาแบบปิดที่เป็นไปได้และไม่มี (ในขณะนี้) ประมาณง่าย ๆ ด้วยเหตุนี้ฉันคิดว่ามันเป็นที่พึงปรารถนาที่จะมีวิธีที่ง่ายและมีประสิทธิภาพสำหรับการได้รับการแก้ปัญหาเชิงตัวเลข นี่คือสิ่งที่อธิบายไว้ด้านล่าง$\omega_0$

เมื่อมีการระบุเราจะใช้รูปแบบของการแปลง bilinear กับค่าคงที่การทำให้เป็นมาตรฐานที่แตกต่างจากที่ใช้ในและ :$\omega_0$$(3)$$(4)$

$$\Omega=\frac{\tan\left(\frac{\omega}{2}\right)}{\tan\left(\frac{\omega_0}{2}\right)}\tag{7}$$

เรากำหนด 1 แสดงอัตราส่วนที่ระบุของขอบวงของตัวกรองแบบไม่ต่อเนื่องเป็น$\Omega_0=1$

$$r=\frac{\omega_2}{\omega_1}\tag{8}$$

ด้วยเราได้รับจากและ$c=\tan(\omega_0/2)$$(7)$$(8)$

$$r=\frac{\arctan(c\Omega_2)}{\arctan(c\Omega_1)}\tag{9}$$

ด้วย ,สามารถเขียนใหม่ในแบบฟอร์มต่อไปนี้:$\Omega_1\Omega_2=\Omega_0^2=1$$(9)$

$$f(\Omega_1)=r\arctan(c\Omega_1)-\arctan\left(\frac{c}{\Omega_1}\right)=0\tag{10}$$

สำหรับค่าที่กำหนดของสมการนี้สามารถแก้ไขได้สำหรับด้วยการวนซ้ำนิวตันสองสามครั้ง สำหรับสิ่งนี้เราต้องการอนุพันธ์ของ :$r$$\Omega_1$$f(\Omega_1)$

$$f'(\Omega_1)=c\left(\frac{r}{1+c^2\Omega_1^2}+\frac{1}{c^2+\Omega_1^2}\right)\tag{11}$$

ด้วยเรารู้ว่าจะต้องอยู่ในช่วงเวลา(0,1)แม้ว่ามันจะเป็นไปได้ที่จะเกิดขึ้นกับการแก้ปัญหาการเริ่มต้นอย่างชาญฉลาดก็จะเปิดออกว่าเดาเริ่มต้นผลงานที่ดีสำหรับรายละเอียดมากที่สุดและจะส่งผลในการแก้ปัญหาที่ถูกต้องมากหลังจากนั้นเพียงซ้ำของวิธีการของนิวตัน:$\Omega_0=1$$\Omega_1$$(0,1)$$\Omega_1^{(0)}=0.1$$4$

$$\Omega_1^{(n+1)}=\Omega_1^{(n)}-\frac{f(\Omega_1^{(n)})}{f'(\Omega_1^{(n)})}\tag{12}$$

ด้วยได้รับโดยมีการวนซ้ำสองครั้งจากเราสามารถกำหนดและและเราใช้และเพื่อคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ของ ตัวกรองเวลาไม่ต่อเนื่อง โปรดทราบว่าคงจะได้รับในขณะนี้โดย2)$\Omega_1$$(12)$$\Omega_2=1/\Omega_1$$\Delta\Omega=\Omega_2-\Omega_1$$(5)$$(6)$$c$$c=\tan(\omega_0/2)$

ตัวอย่างที่ 1:

ลองระบุและแบนด์วิดท์อ็อกเทฟ สอดคล้องกับอัตราส่วนนี้rด้วยการคาดเดาเริ่มต้นของ , การวนซ้ำครั้งของวิธีการของนิวตันทำให้เกิดการแก้ปัญหาซึ่งสามารถคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ของเวลาไม่ต่อเนื่องตามที่อธิบายไว้ข้างต้น รูปด้านล่างแสดงผลลัพธ์:$\omega_0=0.6\pi$$0.5$$r=\omega_2/\omega_1=2^{0.5}=\sqrt{2}=1.4142$$\Omega_1=0.1$$4$$\Omega_1=0.71$

ตัวกรองถูกคำนวณด้วยสคริปต์ Matlab / Octave นี้:

ข้อกำหนด%
bw = 0.5; % แบนด์วิดท์ที่ต้องการในอ็อกเทฟ
w0 = .6 * pi; ความถี่เรโซแนนท์

r = 2 ^ (bw); อัตราส่วนของขอบแถบ
W1 = .1; % การคาดเดาเริ่มต้น (ทำงานได้กับรายละเอียดส่วนใหญ่)
นิด = 4; การทำซ้ำ # นิวตัน
c = ผิวสีแทน (w0 / 2);

นิวตัน
สำหรับ i = 1: Nit,
    f = r * atan (c * W1) - atan (c / W1);
    fp = c * (r / (1 + c ^ 2 * W1 ^ 2) + 1 / (c ^ 2 + W1 ^ 2));
    W1 = W1 - f / fp
ปลาย

W1 = abs (W1);
ถ้า (W1> = 1) ข้อผิดพลาด ('ไม่สามารถรวมกันได้ลดค่าของการเดาเริ่มต้น'); ปลาย

W2 = 1 / W1;
dW = W2 - W1;

% ตัวกรองไม่ต่อเนื่องเวลา
สเกล = 1 + dW * c + W1 * W2 * c ^ 2;
b = (dW * c / scale) * [1,0, -1];
a = [1, 2 * (W1 * W2 * c ^ 2-1) / สเกล, (1-dW * c + W1 * W2 * c ^ 2) / สเกล];

ตัวอย่างที่ 2:

ฉันเพิ่มอีกตัวอย่างหนึ่งเพื่อแสดงให้เห็นว่าวิธีนี้ยังสามารถจัดการกับข้อกำหนดที่การประมาณส่วนใหญ่จะให้ผลลัพธ์ที่ไม่ใช่ความรู้สึก กรณีนี้มักเกิดขึ้นเมื่อแบนด์วิดท์ที่ต้องการและความถี่เรโซแนนท์มีขนาดใหญ่ ลองออกแบบตัวกรองด้วยและอ็อกเทฟ การวนซ้ำสี่ครั้งของวิธีของนิวตันด้วยการคาดเดาเริ่มต้นผลลัพธ์ในค่าสุดท้ายของกล่าวคือในแบนด์วิดธ์ของต้นแบบต้นแบบของอ็อกเทฟ ตัวกรองเวลาไม่ต่อเนื่องที่สอดคล้องกันมีค่าสัมประสิทธิ์ดังต่อไปนี้และการตอบสนองความถี่จะแสดงในพล็อตด้านล่าง:$\omega_0=0.95\pi$$bw=4$$\Omega_1^{(0)}=0.1$$\Omega_1=0.00775$$\log_2(\Omega_2/\Omega_1)=\log_2(1/\Omega_1^2)\approx 14$

b = 0.90986 * [1,0, -1];
a = [1.00000 0.17806 -0.81972];

ผลครึ่งแถบพลังงานที่ได้คือและซึ่งแน่นอนว่าเป็นอ็อกเทฟอย่างแน่นอน(เช่นค่าที่ )$\omega_1=0.062476\pi$$\omega_2 = 0.999612\pi$$4$$16$

โอเคฉันสัญญาว่าจะให้รางวัลและฉันจะรักษาสัญญาของฉัน แต่ฉันต้องสารภาพว่าผมอาจจะแปรพักตร์นิด ๆ หน่อย ๆ เกี่ยวกับการถูกความพึงพอใจที่มีเพียงอนุพันธ์ที่สามของ(x) สิ่งที่ฉันอยากเป็นสองค่าสัมประสิทธิ์สำหรับ(y)$f(x)$$g(y)$

ดังนั้นฉันจึงไม่ทราบว่ามีภาษาWolframนี้เป็นทางเลือกแทนmathematicaหรือDeriveและฉันไม่ได้ตระหนักว่ามันสามารถคำนวณอนุพันธ์อันดับสามได้อย่างง่ายดายและทำให้การแสดงออกง่ายขึ้น

และมาร์คัสคนนี้ที่คณิตศาสตร์ SE โพสต์คำตอบนี้ (ซึ่งฉันคิดว่าจะต้องเป็นปริมาณของกรันจ์ที่ฉันคิดว่าจะต้อง)

$$\begin{align*} y = f(x) &= \ln\left(\arctan\left(\alpha e^x\right)\right) - \ln\left(\arctan\left(\alpha e^{-x}\right)\right)\\ \\ &\approx a_1 x \ + \ a_3 x^3 \\ \\ &=\frac{2\alpha}{(1+\alpha^2)\arctan(\alpha)} x + \frac{\alpha}{3(1+\alpha^2)^3\arctan(\alpha)}\Bigg(\alpha^4-6\alpha^2+1\\ &\qquad\left.-\frac{3\alpha(1-\alpha^2)}{\arctan(\alpha)}+\frac{2\alpha^2}{\left(\arctan(\alpha)\right)^2}\right) x^3 \\ \\ \end{align*}$$

ดังนั้นฉันจึงรวมการประมาณลำดับที่สามเข้ากับอินเวอร์ส:

$$\begin{align*} x = g(y) &\approx b_1 y \ + \ b_3 y^3 \\ \\ &= \frac{1}{a_1} y \ - \ \frac{a_3}{a_1^4} y^3 \\ \\ &= \frac{(1+\alpha^2)\arctan(\alpha)}{2\alpha} y - \frac{(1+\alpha^2)(\arctan(\alpha))^3}{48 \alpha^3}\Bigg(\alpha^4-6\alpha^2+1 \\ &\qquad\left.-\frac{3\alpha(1-\alpha^2)}{\arctan(\alpha)}+\frac{2\alpha^2}{\left(\arctan(\alpha)\right)^2}\right) y^3 \\ \\ &= \frac{(1+\alpha^2)\arctan(\alpha)}{2\alpha} y - \frac{(1+\alpha^2)(\arctan(\alpha))^3}{48 \alpha}\Bigg(\alpha^2-6+\alpha^{-2} \\ &\qquad\left.-\frac{3(1-\alpha^2)}{\alpha\arctan(\alpha)}+\frac{2}{\left(\arctan(\alpha)\right)^2}\right) y^3 \\ \\ &= y \left(\arctan(\alpha)\frac{\alpha + \alpha^{-1}}{2}\right) \Bigg(1 \ + \\ & \left((\arctan(\alpha))^2\left(1-\frac{\alpha^2+\alpha^{-2}}{6} \right) - \arctan(\alpha)\frac{\alpha-\alpha^{-1}}{2}-\frac{1}{3}\right) \frac{y^2}{4} \Bigg) \\ \\ \end{align*}$$

ฉันหวังว่าจะมีคนอื่นทำเช่นนี้ จำ , และ$y=f(x) \triangleq \ln(2) \, bw$$g(y) = x \triangleq \frac{\ln(2)}{2}BW$$\alpha \triangleq \tan(\omega_0/2)$

$$\begin{align*} x = g(y) &\approx y \left(\arctan(\alpha)\frac{\alpha + \alpha^{-1}}{2}\right) \Bigg(1 \ + \\ & \left((\arctan(\alpha))^2\left(1-\frac{\alpha^2+\alpha^{-2}}{6} \right) - \arctan(\alpha)\frac{\alpha-\alpha^{-1}}{2}-\frac{1}{3}\right) \frac{y^2}{4} \Bigg) \\ \\ \frac{\ln(2)}{2}BW &\approx (\ln(2) bw) \left(\arctan(\alpha)\frac{\alpha + \alpha^{-1}}{2}\right) \Bigg(1 \ + \\ & \left((\arctan(\alpha))^2\left(1-\frac{\alpha^2+\alpha^{-2}}{6} \right) - \arctan(\alpha)\frac{\alpha-\alpha^{-1}}{2}-\frac{1}{3}\right) \frac{(\ln(2) bw)^2}{4} \Bigg) \\ \\ \end{align*}$$

ฉันมีอัตลักษณ์ตรีโกณที่สะดวกสามอย่าง:

$$\frac12 \left(\alpha + \alpha^{-1} \right) = \frac12 \left(\tan(\omega_0/2) + \frac{1}{\tan(\omega_0/2)} \right) = \frac{1}{\sin(\omega_0)} \\ $$

$$\frac12 \left(\alpha - \alpha^{-1} \right) = \frac12 \left(\tan(\omega_0/2) - \frac{1}{\tan(\omega_0/2)} \right) = -\frac{1}{\tan(\omega_0)} \\ $$

$$\frac12 \left(\alpha^2 + \alpha^{-2} \right) = \frac12 \left(\tan^2(\omega_0/2) + \frac{1}{\tan^2(\omega_0/2)} \right) = \frac{1}{\sin^2(\omega_0)} + \frac{1}{\tan^2(\omega_0)} \\ = \frac{2}{\sin^2(\omega_0)} - 1$$

"ในที่สุด"เราได้:

$$BW \approx bw \, \frac{\omega_0}{\sin(\omega_0)} \left(1 \ + \ \frac{(\ln(2))^2}{24} \left( 2(\omega_0^2 - 1) - \left(\frac{\omega_0}{\sin(\omega_0)}\right)^2 + 3\frac{\omega_0}{\tan(\omega_0)} \right) (bw)^2 \right)$$

มันไม่ได้เลวร้ายขนาดนี้ เหมาะกับในบรรทัดเดียว หากมีคนเห็นข้อผิดพลาดหรือวิธีที่ดีในการลดความซับซ้อนให้มากขึ้นโปรดเข้าใจ

ด้วยการประมาณชุดพลังงานจากความคิดเห็นด้านบน

$$BW \approx bw \, \frac{\omega_0}{\sin(\omega_0)} \left(1 \ + \ (\ln(2))^2 \left( \tfrac{1}{36}\omega_0^2 - \tfrac{1}{180}\omega_0^4 - \tfrac{2}{2835}\omega_0^6 \right) (bw)^2 \right)$$

ดังนั้นนี่คือผลลัพธ์เชิงปริมาณ ฉันวางแผนแบนด์วิดธ์ข้อมูลจำเพาะสำหรับตัวกรองดิจิทัลบนแกน x และแบนด์วิดธ์ดิจิตอลที่เกิดขึ้นบนแกน y มีห้าแปลงจากสีเขียวเป็นสีแดงซึ่งเป็นตัวแทนของความถี่พ้องทำให้เป็นมาตรฐานโดย Nyquist:$bw$$\omega_0$

$\frac{\omega_0}{\pi} =$ [0.0002 0.2441 0.4880 0.7320 0.9759]

ดังนั้นความถี่เรโซแนนท์เริ่มจากเกือบ DC ถึงเกือบ Nyquist

นี่คือไม่มีการชดเชย (หรือ pre-warping) เลยสำหรับแบนด์วิดท์:

นี่คือการชดเชยลำดับแรกง่ายๆที่ตำราได้ทำมาตลอด:

นี่คือการชดเชยลำดับที่สามที่เราเพิ่งแก้ไขที่นี่:

สิ่งที่เราต้องการคือให้ทุกบรรทัดนอนลงบนเส้นทแยงมุมหลักโดยตรง

ฉันได้ทำผิดพลาดในกรณีที่สามการสั่งซื้อและการแก้ไขในการแก้ไขนี้ มันจะมีลักษณะเหมือนประมาณสามเพื่อเป็นบิตดีกว่าครั้งแรกประมาณสั่งขนาดเล็กbw$g(y)$$bw$

ดังนั้นฉันจึงคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ของคำสั่งที่ 3 (ฉันต้องการออกจากคำสั่งที่ 1 เหมือนกัน) เพื่อลดผลกระทบ นี่คือจากการคูณแค่เทอมที่ 3 ด้วย 50%:

นี่ลดลงเหลือ 33%:

และนี่คือการลดคำสั่งที่ 3 เป็น 25%:

เนื่องจากวัตถุของฟังก์ชันผกผันคือการยกเลิกฟังก์ชันที่ระบุจุดของสิ่งทั้งหมดนี้คือเพื่อให้ได้ส่วนโค้งของฟังก์ชันคอมโพสิตให้อยู่ใกล้กับเส้นทแยงมุมหลักมากที่สุด มันไม่ได้เลวร้ายเกินไปสำหรับสูงสุดถึง 75% สำหรับ Nyquist สะท้อนความถี่และ 3 เลอะเลือนแบนด์วิดธ์bwแต่ไม่ดีไปกว่าที่จะทำให้มันคุ้มค่าในรหัส"สัมประสิทธิ์การทำอาหาร"ซึ่งจะถูกดำเนินการเมื่อใดก็ตามที่ผู้ใช้เปลี่ยนลูกบิดหรือเลื่อนตัวเลื่อน$\omega_0$$bw$