คำสั่งซื้อแรกที่ดีที่สุดของ IIR (ตัวกรอง AR) ใช้กับตัวกรองค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ (ตัวกรอง FIR) คืออะไร

24

สมมติตัวกรอง IIR อันดับแรกดังต่อไปนี้:

y [n] = α x [n] + (1 - α) y [n - 1]

$y[n] = \alpha x[n] + (1 - \alpha) y[n - 1]$

ฉันจะเลือกพารามิเตอร์ $\alpha$ st ที่ IIR ประมาณเท่าที่จะทำได้ FIR ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของ $k$ ตัวอย่างล่าสุดได้อย่างไร:

z [n] = \frac{1}{k} x [n] + \frac{1}{k} x [n - 1] + \dots + \frac{1}{k} x [n - k + 1]

$z[n] = \frac{1}{k}x[n] + \frac{1}{k}x[n-1] + \ldots + \frac{1}{k}x[n-k+1]$

โดยที่ $n \in [k, \infty)$ หมายถึงอินพุตสำหรับ IIR อาจยาวกว่า $k$ และยังต้องการให้การประมาณค่าเฉลี่ยที่ดีที่สุดของอินพุตสุดท้าย $k$

ฉันรู้ว่า IIR มีการตอบสนองต่อแรงกระตุ้นอย่างไม่มีที่สิ้นสุดดังนั้นฉันจึงมองหาการประมาณค่าที่ดีที่สุด ฉันยินดีที่จะใช้โซลูชันการวิเคราะห์ไม่ว่าจะเป็นฟังก์ชั่นการคิดต้นทุน ${L}_{2}$ หรือ ${L}_{1}$

ปัญหาการปรับให้เหมาะสมนี้สามารถแก้ไขได้อย่างไรเมื่อได้รับ IIR อันดับที่หนึ่งเท่านั้น

ขอบคุณ

— Royi
แหล่งที่มา

ต้องติดตาม

y [n] = α x [n] + (1 - α) y [n - 1]

$y[n] = \alpha x[n] + (1 - \alpha) y[n - 1]$ อย่างแม่นยำหรือไม่?

— Phonon

1

สิ่งนี้ถูกคาดหมายว่าจะเป็นการประมาณที่แย่มาก คุณไม่สามารถซื้ออะไรได้มากกว่า IIR อันดับหนึ่งใช่ไหม

— leftaroundabout

คุณอาจต้องการแก้ไขคำถามของคุณเพื่อที่คุณจะไม่ใช้

y [n]

$y[n]$ เพื่อหมายถึงสองสิ่งที่แตกต่างกันเช่นสมการที่แสดงที่สองสามารถอ่าน

, และคุณอาจต้องการบอกว่า "เกณฑ์ดี" เท่าที่จะเป็นไปได้ "เช่นคุณต้องการ

จะเล็กที่สุดสำหรับทุก

หรือ

จะมีขนาดเล็กเป็นไปได้สำหรับทุกn

z [n] = \frac{1}{k} x [n] + \dots + \frac{1}{k} x [n - k + 1]

$z[n] = \frac{1}{k}x[n] + \cdots + \frac{1}{k}x[n-k+1]$

| y [n] - z [n] |

$\vert y[n] - z[n]\vert$

n

$n$

| y [n] - z [n] |^{2}

$\vert y[n] - z[n]\vert^2$

n

$n$

— Dilip Sarwate

y [n]

$y[n]$

k

$k$

n \in [k, inf]

$n \in [k, \inf]$

{| y [n] - z [n] |}^{2}

${|y[n]−z[n]|}^{2}$

10

ไม่มีวิธีวิเคราะห์สำหรับเป็นแบบสเกลาร์ (ฉันคิดว่า) นี่คือสคริปต์ที่ให้คุณสำหรับระบุ หากคุณต้องการแบบออนไลน์คุณสามารถสร้าง LUT ได้ สคริปต์ค้นหาวิธีแก้ปัญหาที่ย่อเล็กสุด $\alpha$ $\alpha$ $K$

\int_{0}^{π} d w {| H_{1} (j w) - H_{2} (j w) |}^{2}

$\int_{0}^{\pi} dw \quad \left|H_1(jw) - H_2(jw)\right|^2$

โดยที่คือการตอบสนองความถี่ FIR และคือการตอบสนองความถี่ IIR $H_1$ $H_2$

คุณไม่ได้ระบุช่วงใด ๆ สำหรับเค แต่ฉันต้องการทำให้ชัดเจนว่าระบบต่อไปนี้เทียบเท่ากับตัวกรองเฉลี่ยของคุณและมีความซับซ้อนในการคำนวณเหมือนกันและ IIR ลำดับแรกของคุณ!

$H(z) = \frac{1}{K} \frac{1 - z^{-K}}{1-z^{-1}}$

function a = find_a(K)

w = 0.0001:0.001:pi;
as = [-1:0.001:-0.001  0.001:0.001:1];

E = zeros(size(as));
for idx=1:length(as)
    fJ = J(w,as(idx),K);
    E(idx) = sum(fJ);
end

[Emin, indx] = min(E)
a = as(indx)

function f = J(w,a,K)
    num = 2*(2-a)*(1-cos(w*K)) + 2*(cos(w*(K-1)) - cos(w)) - 2*(1-a)*(cos(w)-cos(w*(K+1)));
    den = (2-a)^2 + 1 + (1-a)^2 + 2*(1-a)*cos(2*w) - 2*(2-a)^2*cos(w);
    f = -(a/K)*num./den;
    f = f+(1/K^2)*(1-cos(w*K))./(1-cos(w))+a^2./(1+(1-a)^2-2*(1-a)*cos(w));
end

end

— niaren
แหล่งที่มา

@Drazick มันเป็นญาติตรงไปข้างหน้า นิพจน์ทั้งสองสำหรับ IIR และ FIR นั้นเสียบเข้ากับอินทิกรัล กุญแจสำคัญในการค้นหาการแสดงออกทางเลือกสำหรับตัวกรอง FIR คือการรับรู้ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต / ซีรีส์ คุณจะพบทุกรายละเอียดที่นี่: en.wikipedia.org/wiki/Geometric_progression#Geometric_series ในสคริปต์ฟังก์ชัน J จะคำนวณนิพจน์ภายใต้เครื่องหมายอินทิกรัล

— niaren

@ Niaren ฉันรู้ว่านี่เป็นโพสต์เก่าดังนั้นหากคุณจำได้: ฟังก์ชั่นของคุณมาจากไหน 'f' ฉันเขียนโค้ดที่คล้ายกัน แต่ใช้ฟังก์ชั่นการถ่ายโอนที่ซับซ้อนสำหรับ FIR (H1) และ IIR (H2) จากนั้นทำผลรวม (abs (H1 - H2) ** 2) ฉันได้เปรียบเทียบสิ่งนี้กับผลรวมของคุณ (fj) แต่ได้ผลลัพธ์ที่ต่างออกไป คิดว่าฉันจะถามก่อนที่จะไถคณิตศาสตร์

— Dom

@Dom นั่นนานแล้วและฉันจำไม่ได้จริงๆ ผมคิดว่าผมเพิ่งไปผ่านกระบวนการของการทำงานออกomega)] ฉันจำไม่ได้ว่าฉันยืนยันการแสดงออกอย่างไร ฉันไม่คิดจะผ่านคณิตศาสตร์อีกครั้ง ...

[H_{1} (j ω) - H_{2} (j ω)] [H_{1} (- j ω) - H_{2} (- j ω)]

$[H_1(j\omega)-H_2(j\omega)][H_1(-j\omega)-H_2(-j\omega)]$

— niaren

@ Niaren สวัสดีฉันพยายามรับนิพจน์ของคุณ แต่ติดเมื่อรวมเศษส่วนที่ซับซ้อน ฉันทำผิดพลาดในรหัสของฉัน ... ฟังก์ชั่นของคุณดูเหมือนจะให้ผลลัพธ์ที่เป็นสัดส่วนกับผลรวม (abs (H1 - H2) ** 2) แสดงว่ามันถูกต้อง

— Dom

16

มีการอภิปรายที่ดีของปัญหานี้ในการประมวลผลสัญญาณฝังตัวอยู่กับสัญญาณสถาปัตยกรรมไมโครประมาณระหว่างหน้า 63 และ 69 บนหน้า 63มันประกอบด้วยตัวกรองเฉลี่ยเคลื่อนที่แบบเรียกซ้ำ (ซึ่ง niaren ได้ให้ไว้ในคำตอบของเขา )

H (z) = \frac{1}{N} \frac{1 - z^{- N}}{1 - z^{- 1}} .

$H(z) = { 1 \over{N} } { 1 - z^{-N} \over { 1 - z^{-1} } }.$

เพื่อความสะดวกเกี่ยวกับการสนทนาต่อไปนี้มันสอดคล้องกับสมการความแตกต่างดังต่อไปนี้:

y_{n} = y_{n - 1} + \frac{1}{N} (x_{n} - x_{n - N}) .

$y_n = y_{n-1} + {1\over{N} }(x_n - x_{n-N}).$

การประมาณซึ่งวางตัวกรองลงในแบบฟอร์มที่คุณระบุนั้นต้องสมมติว่าเพราะ (และฉันอ้างอิงจากหน้า 68 ) "คือค่าเฉลี่ยของตัวอย่าง " การประมาณนั้นทำให้เราสามารถลดความซับซ้อนของสมการผลต่างดังนี้: $x_{n-N} \approx y_{n-1}$ $y_{n-1}$ $x_n$

\begin{matrix} y_{n} = y_{n - 1} + \frac{1}{N} (x_{n} - y_{n - 1}) \\ y_{n} = y_{n - 1} - \frac{1}{N} y_{n - 1} + \frac{1}{N} x_{n} \\ y_{n} = (1 - \frac{1}{N}) y_{n - 1} + \frac{1}{N} x_{n} . \end{matrix}

$\begin{array}\\ y_{n} = y_{n-1} + {1\over{N}}(x_n - y_{n-1}) \\ y_{n} = y_{n-1} - {1\over{N}} y_{n-1} + {1\over{N}}x_n \\ y_{n} = (1-{1\over{N}})y_{n-1} + {1\over{N}}x_n. \end{array}$

การตั้งค่าเรามาถึงรูปแบบดั้งเดิมของคุณแล้วซึ่งแสดงว่าสัมประสิทธิ์ที่คุณต้องการ ( ด้วยความเคารพต่อการประมาณนี้) เท่ากับ (โดยที่คือจำนวนตัวอย่าง) $\alpha = {1\over{N}}$ $y_{n} = \alpha x_n + (1-\alpha)y_{n-1}$ $1\over{N}$ $N$

การประมาณนี้เป็น "ดีที่สุด" ในบางประเด็นหรือไม่? มันดูสง่างามอย่างแน่นอน นี่คือวิธีที่การตอบสนองขนาดเปรียบเทียบที่ [44.1kHz] สำหรับ N = 3 และเมื่อ N เพิ่มขึ้นเป็น 10 (การประมาณเป็นสีน้ำเงิน):

N = 3 N = [3,10]

ดังที่คำตอบของปีเตอร์แนะนำการประมาณตัวกรอง FIR ด้วยตัวกรองแบบเรียกซ้ำอาจเป็นปัญหาได้ภายใต้บรรทัดฐานกำลังสองน้อยที่สุด การอภิปรายที่กว้างขวางของวิธีการที่จะแก้ปัญหานี้โดยทั่วไปสามารถพบได้ในวิทยานิพนธ์ JOS ของเทคนิคการกรองดิจิตอลการออกแบบและระบบบัตรประจำตัวที่มีการประยุกต์ใช้ในการไวโอลิน เขาสนับสนุนการใช้ Hankel Norm แต่ในกรณีที่การตอบสนองเฟสไม่สำคัญเขายังครอบคลุมถึงวิธีของ Kopec ซึ่งอาจทำงานได้ดีในกรณีนี้ (และใช้บรรทัดฐาน ) ภาพรวมกว้างของเทคนิคในการทำวิทยานิพนธ์ที่สามารถพบได้ที่นี่ พวกเขาอาจให้การประมาณที่น่าสนใจอื่น ๆ $L^2$

— นักเล่นเกม
แหล่งที่มา

นี่เป็นวิธี "Elegant" ในการพูดบางอย่างเกี่ยวกับความทรงจำของตัวกรอง IIR ลำดับแรก หน่วยความจำจะเทียบเท่ากับalpha} ฉันจะดูวิธีอื่น ๆ ที่คุณพูดถึง ขอบคุณ

\frac{1}{α}

$\frac{1}{\alpha}$

— Royi

คุณช่วยอธิบายได้อย่างง่ายดายว่าทำไมภายใต้มาตรฐาน LS ( ) ไม่มีวิธีแก้ปัญหา?

L_{2}

${L}_{2}$

— Royi

ฉันไม่แน่ใจว่ามีวิธีแก้ปัญหา LS ในกรณีนี้หรือไม่ฉันเพิ่งรู้ว่ามันมีปัญหาเกี่ยวกับการบรรจบกันของปัญหา "FIR-based FIR Approximation" ทั่วไป ฉันจะอัปเดตข้อมูลเพิ่มเติมเมื่อมีโอกาส

— เก็บข้อมูล

ดีถ้าฟังก์ชั่นค่าใช้จ่ายที่ Peter แนะนำ (อันแรก) อยู่ที่นั่นนั่นก็คือทางออก อย่างน้อยตามการคำนวณของฉัน

— Royi

ยิ่งใหญ่ ฉันอยากรู้ว่าวิธีการแบบฮิวริสติกแบบเปรียบเทียบกับอะไรที่เป็นที่ยอมรับมากกว่านี้

1 / N

$1/N$

— เก็บข้อมูล

16

ตกลงเราจะพยายามหาสิ่งที่ดีที่สุด: ดังนั้น ว่าค่าสัมประสิทธิ์ของเป็นเมตร

\begin{array}{lcl} y [n] & = & α x [n] + (1 - α) y [n - 1] \\ = & α x [n] + (1 - α) α x [n - 1] + (1 - α)^{2} y [n - 2] \\ = & α x [n] + (1 - α) α x [n - 1] + (1 - α)^{2} α x [n - 2] + (1 - α)^{3} y [n - 3] \end{array}

$\begin{array}{lcl} y[n] &=& \alpha x[n] + (1 - \alpha) y[n - 1] \\ &=& \alpha x[n] + (1 - \alpha) \alpha x[n-1] + (1 - \alpha)^2 y[n - 2]\\ &=& \alpha x[n] + (1 - \alpha) \alpha x[n-1] + (1 - \alpha)^2 \alpha x[n-2] + (1 - \alpha)^3 y[n - 3]\\ \end{array}$

x [n - m]

$x[n-m]$

α (1 - α)^{m}

$\alpha(1-\alpha)^m$

การประมาณค่ากำลังสองเฉลี่ยที่ดีที่สุดจะลดลง:

\begin{array}{lcl} J (α) & = & \sum_{m = 0}^{k - 1} (α (1 - α)^{m} - \frac{1}{k})^{2} + \sum_{m = k}^{\infty} α^{2} (1 - α)^{2 m} \\ = & \sum_{m = 0}^{k - 1} (α^{2} (1 - α)^{2 m} - \frac{2}{k} α (1 - α)^{m} + \frac{1}{k^{2}}) + α^{2} (1 - α)^{2 k} \sum_{m = 0}^{\infty} (1 - α)^{2 m} \\ = & α^{2} \frac{1 - (1 - α)^{2 k}}{1 - (1 - α)^{2}} + \frac{2 α}{k} \frac{1 - (1 - α)^{k}}{1 - (1 - α)} + \frac{α^{2} (1 - α)^{2 k}}{1 - (1 - α)^{2}} + \frac{1}{k} \\ = & \frac{α^{2}}{1 - (1 - α)^{2}} + \frac{2}{k} (1 - (1 - α)^{k}) + \frac{1}{k} \\ = & \frac{α^{2}}{2 α - α^{2}} + \frac{2}{k} (1 - (1 - α)^{k}) + \frac{1}{k} \\ = & \frac{α}{2 - α} + \frac{2}{k} (1 - (1 - α)^{k}) + \frac{1}{k} \end{array}

$\begin{array}{lcl} J(\alpha) &=& \sum_{m=0}^{k-1} (\alpha(1-\alpha)^m - \frac{1}{k})^2 + \sum_{m=k}^\infty \alpha^2(1-\alpha)^{2m}\\ &=& \sum_{m=0}^{k-1} \left(\alpha^2(1-\alpha)^{2m} - \frac{2}{k}\alpha(1-\alpha)^m + \frac{1}{k^2}\right) + \alpha^2 (1-\alpha)^{2k} \sum_{m=0}^\infty (1-\alpha)^{2m} \\ &=& \alpha^2\frac{1- (1-\alpha)^{2k}}{1 - (1-\alpha)^2} + \frac{2\alpha}{k} \frac{1 - (1 - \alpha)^k}{1 - (1 - \alpha)} + \frac{\alpha^2(1-\alpha)^{2k}}{1 - (1 - \alpha)^2}+ \frac{1}{k}\\ &=& \frac{\alpha^2}{1 - (1 - \alpha)^2} + \frac{2}{k} (1-(1-\alpha)^k) + \frac{1}{k}\\ &=& \frac{\alpha^2}{2\alpha - \alpha^2 }+ \frac{2}{k} (1-(1-\alpha)^k)+ \frac{1}{k}\\ &=& \frac{\alpha}{2 - \alpha }+ \frac{2}{k} (1-(1-\alpha)^k)+ \frac{1}{k}\\ \end{array}$ เพราะค่าสัมประสิทธิ์ FIR เป็นศูนย์สำหรับ 1

m > k - 1

$m > k - 1$

ขั้นต่อไปคือการหาอนุพันธ์และถือเป็นศูนย์

กำลังมองหาที่พล็อตของที่ได้มาสำหรับและ 0-1 ดูเหมือนว่าปัญหา (ที่ผมเคยตั้งขึ้น) จะไม่ดีถูกวางเพราะคำตอบที่ดีที่สุดคือ0 $J$ $K = 1000$ $\alpha$ $\alpha = 0$

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

ฉันคิดว่ามีข้อผิดพลาดที่นี่ วิธีที่ควรเป็นไปตามการคำนวณของฉันคือ:

\begin{array}{lcl} J (α) & = & \sum_{m = 0}^{k - 1} (α (1 - α)^{m} - \frac{1}{k})^{2} + \sum_{m = k}^{\infty} α^{2} (1 - α)^{2 m} \\ = & \sum_{m = 0}^{k - 1} (α^{2} (1 - α)^{2 m} - \frac{2}{k} α (1 - α)^{m} + \frac{1}{k^{2}}) + α^{2} (1 - α)^{2 k} \sum_{m = 0}^{\infty} (1 - α)^{2 m} \\ = & α^{2} \frac{1 - (1 - α)^{2 k}}{1 - (1 - α)^{2}} - \frac{2 α}{k} \frac{1 - (1 - α)^{k}}{1 - (1 - α)} + \frac{1}{k} + \frac{α^{2} (1 - α)^{2 k}}{1 - (1 - α)^{2}} \end{array}

$\begin{array}{lcl} J(\alpha) &=& \sum_{m=0}^{k-1} (\alpha(1-\alpha)^m - \frac{1}{k})^2 + \sum_{m=k}^\infty \alpha^2(1-\alpha)^{2m} \\ &=& \sum_{m=0}^{k-1} \left(\alpha^2(1-\alpha)^{2m} - \frac{2}{k}\alpha(1-\alpha)^m + \frac{1}{k^2}\right) + \alpha^2 (1-\alpha)^{2k} \sum_{m=0}^\infty (1-\alpha)^{2m} \\ &=& \alpha^2\frac{1- (1-\alpha)^{2k}}{1 - (1-\alpha)^2} - \frac{2\alpha}{k} \frac{1 - (1 - \alpha)^k}{1 - (1 - \alpha)} + \frac{1}{k} + \frac{\alpha^2(1-\alpha)^{2k}}{1 - (1 - \alpha)^2} \end{array}$

ทำให้มันง่ายขึ้นตามผลของMathematica :

J (α) = \frac{α}{2 - α} + \frac{2 {(1 - α)}^{k} - 1}{k}

$J(\alpha) = \frac{\alpha}{2 - \alpha} + \frac{2 {(1 - \alpha)}^{k} -1}{k}$

การใช้โค้ดต่อไปนี้บน MATLAB ให้ผลลัพธ์ที่เทียบเท่า แต่ต่างกัน:

syms a k;

expr1 = (a ^ 2) * ((1 - ((1 - a) ^ (2 * k))) / (1 - ((1 - a) ^ 2)));
expr2 = ((2 * a) / k) * ((1 - ((1 - a) ^ (k))) / (1 - (1 - a)));
expr3 = (1 / k);
expr4 = ((a ^ 2) * ((1 - a) ^ (2 * k))) / (1 - ((1 - a) ^ (2)));

simpExpr = simplify(expr1 - expr2 + expr3 + expr4);

J (α) = \frac{- 2}{α - 2} - \frac{k - 2 {(1 - α)}^{k} + 1}{k}

$J(\alpha) = \frac{-2}{\alpha - 2} - \frac{k - 2{(1 - \alpha)}^{k} + 1}{k}$

อย่างไรก็ตามฟังก์ชั่นเหล่านั้นมีค่าต่ำสุด

ดังนั้นสมมติว่าเราสนใจการประมาณค่าความช่วยเหลือ (ความยาว) ของตัวกรอง FIR เท่านั้น ในกรณีนั้นปัญหาการปรับให้เหมาะสมคือ:

J_{2} (α) = \sum_{m = 0}^{k - 1} (α (1 - α)^{m} - \frac{1}{k})^{2}

$J_2(\alpha) = \sum_{m=0}^{k-1} (\alpha(1-\alpha)^m - \frac{1}{k})^2$

พล็อตสำหรับค่าต่าง ๆ ของกับส่งผลให้วันที่ในแปลงและตารางด้านล่าง $J_2(\alpha)$ $K$ $\alpha$

สำหรับ = 8. = 0.1533333 สำหรับ = 16. = 0.08 สำหรับ = 24. = 0.0533333 สำหรับ = 32. = 0.04 สำหรับ = 40 = 0.0333333 สำหรับ = 48 = 0.0266667 สำหรับ = 56 = 0.0233333 สำหรับ = 64 $K$ $\alpha_{\tt min}$
$K$ $\alpha_{\tt min}$
$K$ $\alpha_{\tt min}$
$K$ $\alpha_{\tt min}$
$K$ $\alpha_{\tt min}$
$K$ $\alpha_{\tt min}$
$K$ $\alpha_{\tt min}$
$K$ $\alpha_{\tt min}$ = 0.02
สำหรับ = 72 = 0.0166667 $K$ $\alpha_{\tt min}$

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

เส้นประสีแดงคือและเส้นสีเขียวคือ , ค่าของที่ย่อเล็กสุด (เลือกจาก ) $1/K$ $\alpha_{\tt min}$ $\alpha$ $J_2(\alpha)$ $\tt alpha = [0:.01:1]/3;$

— Peter K.
แหล่งที่มา

1

กำลังจะโพสต์สิ่งเดียวกันแน่นอน =)

— Phonon

@Phonon: อย่าลังเลที่จะดำเนินการต่อไป! ฉันทำเครื่องหมายว่าเป็นวิกิชุมชนเพื่อจุดประสงค์นั้น

— Peter K.

อนุพันธ์ wrtเป็นอนุกรมที่มีจำนวนอนันต์ (เช่นไม่ใช่พหุนาม) ที่คุณต้องตั้งค่าให้เท่ากับแล้วจึงแก้หาและดังนั้นจึงมีความจำเป็น (หรืออาจจะประมาณ)

α

$\alpha$

0

$0$

α

$\alpha$

— Dilip Sarwate

ใครช่วยกรุณาตรวจสอบและ / หรือแก้ไขการทำงานของฉันได้ไหม :-)

— Peter K.

@DilipSarwate สิ่งที่จะเป็นการประมาณที่ดีที่สุด? ขอบคุณ

— Royi

3

อยู่ในการทดสอบทดลองkในช่วง (2-100) แบบที่ดีที่สุด (ผลรวมกำลังสองข้อผิดพลาด) ให้ความสัมพันธ์ของalfa = 1/k^0.865 การเป็นkจำนวนตัวอย่างสำหรับตัวกรอง MovAvg

— chiliwili69
แหล่งที่มา

ฉันใช้แผ่นงาน Excel แบบโต้ตอบเพื่อแยกความสัมพันธ์: drive.google.com/open?id=0B48gEYiKwYegY3NqQThMTTZ1OG8

— chiliwili69

3

ฉันสะดุดกับคำถามเก่านี้และต้องการแบ่งปันวิธีแก้ปัญหาของฉัน ดังที่ได้กล่าวไว้ในคำตอบอื่น ๆ ไม่มีวิธีการวิเคราะห์ แต่ฟังก์ชันที่จะย่อเล็กสุดทำงานได้อย่างดีและสามารถหาค่าที่ดีที่สุดของได้อย่างง่ายดายด้วยการทำซ้ำนิวตันสองสามครั้ง นอกจากนี้ยังมีสูตรเพื่อตรวจสอบผลลัพธ์ที่ดีที่สุด $\alpha$

การตอบสนองแรงกระตุ้นของความยาว FIR ตัวกรองค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่จะได้รับจาก $N$

\begin{matrix} (1) & h_{F I R} [n] = \frac{1}{N} (u [n] - u [n - N]) \end{matrix}

$h_{FIR}[n]=\frac{1}{N}(u[n]-u[n-N])\tag{1}$

โดยที่เป็นฟังก์ชันหน่วยขั้นตอน ลำดับ IIR ตัวกรองแรก $u[n]$

\begin{matrix} (2) & y [n] = α x [n] + (1 - α) y [n - 1] \end{matrix}

$y[n]=\alpha x[n]+(1-\alpha)y[n-1]\tag{2}$

มีการตอบสนองต่อแรงกระตุ้น

\begin{matrix} (3) & h_{I I R} [n] = α (1 - α)^{n} u [n] \end{matrix}

$h_{IIR}[n]=\alpha(1-\alpha)^nu[n]\tag{3}$

เป้าหมายคือเพื่อลดข้อผิดพลาดกำลังสองให้น้อยที่สุด

\begin{matrix} (4) & ϵ = \sum_{n = 0}^{\infty} {(h_{F I R} [n] - h_{I I R} [n])}^{2} \end{matrix}

$\epsilon=\sum_{n=0}^{\infty}\left(h_{FIR}[n]-h_{IIR}[n]\right)^2\tag{4}$

ใช้และข้อผิดพลาดสามารถเขียนเป็น $(1)$ $(3)$

\begin{aligned} ϵ (α) & = \sum_{n = 0}^{N - 1} {(α (1 - α)^{n} - \frac{1}{N})}^{2} + \sum_{n = N}^{\infty} α^{2} (1 - α)^{2 n} \\ = α^{2} \sum_{n = 0}^{\infty} (1 - α)^{2 n} - \frac{2 α}{N} \sum_{n = 0}^{N - 1} (1 - α)^{n} + \sum_{n = 0}^{N - 1} \frac{1}{N^{2}} \\ = \frac{α^{2}}{1 - (1 - α)^{2}} - \frac{2 α}{N} \frac{1 - (1 - α)^{N}}{1 - (1 - α)} + \frac{1}{N} \\ (5) & = \frac{α}{2 - α} - \frac{2}{N} (1 - (1 - α)^{N}) + \frac{1}{N}, 0 < α < 2 \end{aligned}

$\begin{align}\epsilon(\alpha)&=\sum_{n=0}^{N-1}\left(\alpha(1-\alpha)^n-\frac{1}{N}\right)^2+\sum_{n=N}^{\infty}\alpha^2(1-\alpha)^{2n}\\&=\alpha^2\sum_{n=0}^{\infty}(1-\alpha)^{2n}-\frac{2\alpha}{N}\sum_{n=0}^{N-1}(1-\alpha)^n+\sum_{n=0}^{N-1}\frac{1}{N^2}\\&=\frac{\alpha^2}{1-(1-\alpha)^2}-\frac{2\alpha}{N}\frac{1-(1-\alpha)^N}{1-(1-\alpha)}+\frac{1}{N}\\&=\frac{\alpha}{2-\alpha}-\frac{2}{N}\left(1-(1-\alpha)^N\right)+\frac{1}{N},\qquad 0<\alpha<2\tag{5}\end{align}$

การแสดงออกนี้คล้ายกับที่ให้ไว้ในคำตอบนี้แต่ไม่เหมือนกัน ข้อ จำกัด ในในทำให้แน่ใจว่าลู่รวมอนันต์และมันก็เป็นเหมือนกันไปอยู่ในสภาพมั่นคงสำหรับตัวกรอง IIR ที่ได้รับจาก(2) $\alpha$ $(5)$ $(2)$

การตั้งค่าอนุพันธ์ของเป็นศูนย์ผลลัพธ์ $(5)$

\begin{matrix} (6) & (1 - α)^{N - 1} (2 - α)^{2} = 1 \end{matrix}

$(1-\alpha)^{N-1}(2-\alpha)^2=1\tag{6}$

โปรดทราบว่าดีที่สุดจะต้องอยู่ในช่วงเวลาเนื่องจากค่าที่มากกว่าของส่งผลให้เกิดการตอบสนองต่อแรงกระตุ้นแบบสลับซึ่งไม่สามารถประมาณค่ารีพัลส์ค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ FIR ที่เคลื่อนไหวได้ $\alpha$ $(0,1]$ $\alpha$ $(3)$

รับสแควร์รูทของและแนะนำเราได้ $(6)$ $\beta=1-\alpha$

\begin{matrix} (7) & β^{(N + 1) / 2} + β^{(N - 1) / 2} - 1 = 0 \end{matrix}

$\beta^{(N+1)/2}+\beta^{(N-1)/2}-1=0\tag{7}$

สมการนี้ไม่สามารถแก้ไขได้สำหรับแต่สามารถแก้ไขได้สำหรับ : $\beta$ $N$

\begin{matrix} (8) & N = - 2 \frac{\log (1 + β)}{\log (β)}, β \neq 0 \end{matrix}

$N=-2\frac{\log(1+\beta)}{\log(\beta)},\qquad \beta\neq 0\tag{8}$

สมการสามารถใช้ในการตรวจสอบการแก้ปัญหาเชิงตัวเลขของ ; มันจะต้องกลับค่าที่ระบุของN $(8)$ $(7)$ $N$

สมการสามารถแก้ไขได้ด้วยโค้ด (Matlab / Octave) สองสามบรรทัด: $(7)$

N = 50; % ความยาวตัวกรองที่ต้องการของตัวกรองค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ FIR

ถ้า (N == 1)% ไม่ซ้ำสำหรับกรณีเล็ก ๆ น้อย ๆ
    b = 0;
อื่น
    ซ้ำนิวตัน
    b = 1; ค่าเริ่มต้น
    นิด = 7;
    n = (N + 1) / 2;
    สำหรับ k = 1: Nit,
        f = b ^ n + b ^ (n-1) -1;
        fp = n * b ^ (n-1) + (n-1) * b ^ (n-2);
        b = b - f / fp;
    ปลาย

    ผลการตรวจสอบ%
    N0 = -2 * บันทึก (1 + b) / บันทึก (b) + 1% จะต้องเท่ากับ N
ปลาย

a = 1 - b;

ด้านล่างเป็นตารางที่มีค่าที่เหมาะสมที่สุดของสำหรับช่วงความยาวตัวกรอง : $\alpha$ $N$

   ยังไม่มีข้อความ

   1 1.0000e + 00
   2 5.3443e-01
   3 3.8197e-01
   4 2.9839e-01
   5 2.4512e-01
   6 2.0809e-01
   7 1.8083e-01
   8 1.5990e-01
   9 1.4333e-01
  10 1.2987e-01
  20 6.7023e-02
  30 4.5175e-02
  40 3.4071e-02
  50 2.7349e-02
  60 2.2842e-02
  70 1.9611e-02
  80 1.7180e-02
  90 1.5286e-02
 100 1.3768e-02
 200 6.9076e-03 
 300 4.6103e-03
 400 3.4597e-03
 500 2.7688e-03
 600 2.3078e-03
 700 1.9785e-03
 800 1.7314e-03
 900 1.5391e-03
1,000 1.3853e-03

— แมตต์แอล
แหล่งที่มา