การประมาณลูกบาศก์อิสระจะดีกว่าการประมาณพหุนาม

พล็อตต่อไปนี้เป็นตัวอย่างเล็กน้อยในหนังสือข้อความ ผู้เขียนใช้ตัวอย่างนี้เพื่อแสดงให้เห็นว่าพหุนามการสอดแทรกระหว่างตัวอย่างที่เว้นระยะเท่ากันมีการแกว่งใหญ่ใกล้ปลายของช่วงการประมาณค่า แน่นอนว่าการประมาณด้วยคิวบ์สปินช่วยให้การประมาณดีตลอดช่วงเวลา เป็นเวลาหลายปีที่ฉันคิดว่าการแก้ไขพหุนามสูงมากสำหรับตัวอย่างที่เว้นระยะเท่ากันควรหลีกเลี่ยงด้วยเหตุผลที่แสดงไว้ที่นี่

อย่างไรก็ตามเมื่อไม่นานมานี้ฉันได้พบตัวอย่างของสัญญาณไม่ จำกัด จำนวนซึ่งการโพลีโนเมียลลำดับสูงจะให้ความคลาดเคลื่อนน้อยกว่าการประมาณแบบลูกบาศก์ลูกบาศก์ โดยทั่วไปแล้วการประมาณค่าพหุนามมีความแม่นยำมากกว่าตลอดช่วงการประมาณค่าทั้งหมดเมื่ออัตราตัวอย่างสูงพอสมควร สิ่งนี้ดูเหมือนว่าจะเก็บไว้เมื่อตัวอย่างเว้นระยะเท่ากันโดยมีอัตราตัวอย่างอย่างน้อย 3 เท่าของความถี่ Nyquist ของสัญญาณ นอกจากนี้ความได้เปรียบเหนือการประมาณค่าเฉลี่ยของลูกบาศก์อิสระจะเพิ่มขึ้นเมื่อ (อัตราตัวอย่าง) / (ความถี่ Nyquist) เพิ่มขึ้น

ยกตัวอย่างเช่นฉันเปรียบเทียบการประมาณลูกบาศก์ - อิสระกับโพลิโนเมียลแบบสอดแทรกสำหรับคลื่นไซน์ที่มีความถี่ Nyquist เป็น 2 Hz และอัตราตัวอย่าง 6.5 Hz ระหว่างจุดตัวอย่างนั้นพหุนามการประมาณค่าจะมีลักษณะเหมือนกับสัญญาณจริง

ด้านล่างฉันเปรียบเทียบข้อผิดพลาดในการประมาณสองค่า เช่นเดียวกับตัวอย่างแรกการประมาณค่าพหุนามนั้นแย่ที่สุดใกล้จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของช่วงเวลาตัวอย่าง อย่างไรก็ตามพหุนามการสอดแทรกมีข้อผิดพลาดน้อยกว่าลูกบาศก์อิสระในช่วงเวลาตัวอย่างทั้งหมด พหุนามการสอดแทรกยังมีข้อผิดพลาดน้อยลงเมื่อประมาณในช่วงเวลาสั้น ๆ ฉันค้นพบความจริงที่รู้จักกันดีหรือไม่? ถ้าเป็นเช่นนั้นฉันจะอ่านได้ที่ไหน

ที่ถูกกล่าวถึงปรากฏการณ์ที่เป็นปรากฏการณ์ของ Runge

ค่าสัมบูรณ์สูงสุดของ $n$อนุพันธ์อันดับที่สามของ $\sin(\omega t)$ คือ $\omega^n$. สำหรับฟังก์ชั่นของ Runge $\frac{1}{25t^2+1}$ ค่าสัมบูรณ์สูงสุดของ $n$อนุพันธ์อันดับที่หนึ่ง (คู่) คือ $5^nn!,$ ที่ไหน $n!$หมายถึงแฟคทอเรียล นี่เป็นการเติบโตที่เร็วกว่ามาก หากอนุพันธ์เติบโตเร็วเกินไปโดยการเพิ่มขึ้น$n$ดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่การแก้ไขข้อผิดพลาดจะเบี่ยงเบนไปตามลำดับการแก้ไขที่เพิ่มขึ้น เลขชี้กำลังเป็น$n$ยังไม่เร็วเกินไป ลองดูที่: James F. Epperson, ในตัวอย่าง Runge , The American Mathematical Monthly , vol. 94, 1987, pp. 329-341

หากฟังก์ชั่นมีเพียงสัญญาซื้อขายล่วงหน้าอย่างต่อเนื่องแล้ววิธีการแข่งขันชิ้นฉลาดแก้ไขเส้นโค้งพหุนามเสมอลู่ถ้าจำนวนคงที่เล็ก ๆ ของสัญญาซื้อขายล่วงหน้าในช่วงต้นของ บริษัท มีขอบเขตมากกว่าช่วงเวลาที่น่าสนใจดูบทความวิกิพีเดียสอดแทรกเชิงเส้นเป็นตัวอย่าง

หากทั้งสองวิธีมาบรรจบกันการประมาณค่าพหุนามแบบไม่ใช้ชิ้นส่วนจะมีความได้เปรียบในระดับพหุนามสูงกว่าหากใช้ตัวอย่างจำนวนมากและอาจให้การประมาณที่ดีกว่าดังที่คุณเห็นในตัวอย่างไซน์ของคุณ คุณอาจสนใจใน LN Trefethen สองผลลัพธ์เกี่ยวกับการแก้ไขพหุนามในระยะห่างที่เท่ากัน , วารสารทฤษฎีการประมาณ เล่มที่ 65, ฉบับที่ 3, มิถุนายน 1991, หน้า 247-260 อ้างถึง:

[... ] ในการแก้ไขวง จำกัด ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังเชิงซ้อน $e^{i\alpha x}\, (\alpha \in \mathbb{R}),$ ข้อผิดพลาดลดลงเป็น $0$ เช่น $n \to \infty$ ถ้าและเพียงถ้า $\alpha$ มีขนาดเล็กพอที่จะให้อย่างน้อยหกจุดต่อความยาวคลื่น

คุณมีตัวอย่าง 6.5 ตัวอย่างต่อความยาวคลื่น