การวัดที่แน่นอนของ sparsity คืออะไร?

ฉันกำลังทำงานกับการตรวจจับการบีบอัดและการแสดงสัญญาณเพียงเล็กน้อยโดยเฉพาะภาพ

ฉันถูกถามบ่อยครั้งว่า ฉันตอบ "ถ้าองค์ประกอบส่วนใหญ่ของสัญญาณเป็นศูนย์หรือใกล้กับศูนย์ในโดเมนบางอย่างเช่นฟูริเยร์หรือเวฟเล็ตสัญญาณนี้จะเบาบางในพื้นฐานนั้น" แต่มีปัญหาเสมอในคำจำกัดความนี้ "องค์ประกอบส่วนใหญ่หมายถึงอะไรมันเป็น 90 เปอร์เซ็นต์หรือ 80 เปอร์เซ็นต์ต่อครั้งหรือไม่ 92.86 เปอร์เซ็นต์?!" ที่นี่คำถามของฉันเกิดขึ้นมีอะไรที่แน่นอนเช่นตัวเลขความหมายสำหรับ sparsity?

" มีอะไรที่แน่นอนเช่นตัวเลขนิยามสำหรับ sparsity? " และโดยตัวเลขฉันเข้าใจทั้งคำนวณและในทางปฏิบัติ "ใช้งานได้" สิ่งที่ฉันใช้คือ: ยังไม่อย่างน้อยก็ไม่มีความเห็นเป็นเอกฉันท์ ตัวเลือกแรก " นับเฉพาะคำที่ไม่เป็นศูนย์ " นั้นแม่นยำ แต่ไม่มีประสิทธิภาพ (มีความอ่อนไหวต่อการประมาณค่าตัวเลขและเสียงรบกวนและมีความซับซ้อนมากในการปรับให้เหมาะสม) ตัวเลือกที่สอง " องค์ประกอบส่วนใหญ่ของสัญญาณเป็นศูนย์หรือใกล้เคียงกับศูนย์ " ค่อนข้างไม่แน่นอนทั้งใน "ส่วนใหญ่" และ "ใกล้กับ"

ดังนั้น " การวัดที่แน่นอนของ sparsity " ยังคงเข้าใจยากโดยไม่มีลักษณะที่เป็นทางการมากขึ้น หนึ่งความพยายามล่าสุดเพื่อกำหนด sparsity ดำเนินการใน Hurley และ Rickard, 2009 เปรียบเทียบมาตรการ Sparsity , ธุรกรรม IEEE บนทฤษฎีข้อมูล

ความคิดของพวกเขาคือการจัดให้มีสัจพจน์ที่ควรมีการเว้นระยะห่างที่ดี ตัวอย่างเช่นสัญญาณ$x$ คูณด้วยค่าคงที่ที่ไม่ใช่ศูนย์ $\alpha x$ควรมี sparsity เดียวกัน ในอีกแง่หนึ่งควรมีการวัดระยะห่าง$0$-homogeneous ขำ$\ell_1$ พร็อกซีในการตรวจจับแรงกดหรือในการถดถอยแบบ lasso $1$-homogeneous นี่เป็นกรณีสำหรับทุกบรรทัดฐานหรือกึ่งปกติ$\ell_p$แม้ว่าพวกเขามีแนวโน้มที่จะนับการวัด (ไม่แข็งแกร่ง) $\ell_0$ เช่น $p\to 0$.

ดังนั้นพวกเขาจึงแสดงรายละเอียดหกสัจพจน์ทำการคำนวณยืมมาจากการวิเคราะห์ความมั่งคั่ง:

• Robin Hood (นำมาจากคนรวยให้กับคนจนช่วยลด sparsity)
• การปรับสเกล (การคูณอย่างคงที่ช่วยรักษาความกระจ่าง)
• Rising Tide (การเพิ่มบัญชีที่ไม่ใช่ศูนย์เดียวกันจะช่วยลด Sparsity)
• การโคลนนิ่ง (การทำสำเนาข้อมูลจะรักษาความเป็น sparsity)
• บิลล์เกตส์ (ชายคนหนึ่งที่ร่ำรวยขึ้นเพิ่มช่องว่าง)
• ทารก (เพิ่มศูนย์ค่าเพิ่ม sparsity)

และสอบสวนเป็นที่รู้จักในมาตรการต่อต้านพวกเขาเผยให้เห็นว่าดัชนี Gini และบางบรรทัดฐานหรือเสมือนบรรทัดฐานอัตราส่วนอาจจะเป็นผู้สมัครที่ดี (สำหรับหลังรายละเอียดบางอย่างไว้ในEuclid ในรถแท็กซี่: เบาบางตาบอด deconvolution กับเรียบ$\ell_1/\ell_2$การทำให้เป็นมาตรฐาน, 2005, จดหมายการประมวลผลสัญญาณ IEEE) ฉันรู้สึกว่างานเริ่มต้นนี้ควรได้รับการพัฒนาต่อไป (ปรับแต่งที่SPOQ, Smoothed$p$ เกิน $q$ $\ell_p/\ell_q$อัตราส่วนกึ่งปกติ / อัตราส่วนบรรทัดฐาน ) เพราะสำหรับสัญญาณ$x$, $0< p\le q$อัตราความไม่เสมอภาคของบรรทัดฐานอัตราผลตอบแทน:

และมีแนวโน้มที่จะ $1$ (LHS ด้านซ้ายมือ) เมื่อ $x$เบาบางและทางด้านขวามือ (RHS) เมื่อไม่มี งานนี้ตอนนี้เป็น preprint A: SPOQ: เรียบ regularization P-Over-Q สำหรับเบาบางสัญญาณการกู้คืนนำไปใช้กับมวลสาร อย่างไรก็ตามการวัดความกระจ่างของเสียงนั้นไม่ได้บอกคุณว่าข้อมูลที่ถูกแปลงนั้นมีการกระจัดกระจายเพียงพอหรือไม่สำหรับจุดประสงค์ของคุณ

ในที่สุดแนวคิดอื่นที่ใช้ในการตรวจจับแรงกดคือความสามารถในการบีบอัดของสัญญาณซึ่งค่าสัมประสิทธิ์การเรียงลำดับใหม่ $c_{(k)}$ ปฏิบัติตามกฎหมายพลังงาน $C_\alpha .(k)^{-\alpha}$และยิ่งใหญ่ $\alpha$การสลายตัวที่คมชัดยิ่งขึ้น