หากคุณทำพล็อต FFT ของสัญญาณง่าย ๆ เช่น:

t = 0:0.01:1 ;
N = max(size(t));
x = 1 + sin( 2*pi*t ) ;
y = abs( fft( x ) ) ;
stem( N*t, y )

1Hz sinusoid + DC

FFT จากด้านบน

ฉันเข้าใจว่าหมายเลขในถังขยะแรกคือ "DC เท่าใด" ที่มีสัญญาณ

y(1)  %DC
  > 101.0000

หมายเลขในถังขยะที่สองควรเป็น "เท่าใดรอบ 1 สัญญาณทั้งหมด" มี:

y(2)  %1 cycle in the N samples
  > 50.6665

แต่ไม่ใช่ 101! ประมาณ 50.5

มีรายการอื่นที่ส่วนท้ายของสัญญาณ fft เท่ากับขนาด:

y(101)
  > 50.2971

ดังนั้น 50.5 อีกครั้ง

คำถามของฉันคือเหตุใด FFT จึงเป็นแบบนี้ ทำไมมันไม่ได้เป็นเพียง 101 ในy(2)(ซึ่งจะหมายถึงสัญญาณทั้งหมด 101 ถังขยะของคุณมีไซนัส 1 เฮิร์ตซ์ในมัน?)

มันจะถูกต้องหรือไม่ที่จะทำ:

mid = round( N/2 ) ;

% Prepend y(1), then add y(2:middle) with the mirror FLIPPED vector
% from y(middle+1:end)
z = [ y(1), y( 2:mid ) + fliplr( y(mid+1:end) ) ];

stem( z )

พลิกและเพิ่มในครึ่งหลังของเวกเตอร์ FFT

ฉันคิดว่าตอนนี้ส่วนที่สะท้อนทางด้านขวาจะถูกเพิ่มเข้าไปอย่างถูกต้องทำให้ฉันต้องการ "ถังขยะทั้งหมด 101 ถังของ FFT มีไซน์ 1Hz"

>> z(2)

ans =

  100.5943

สัญญาณที่แท้จริงคือ "มิร์เรอร์" ในครึ่งของจริงและลบของการแปลงฟูริเยร์เนื่องจากธรรมชาติของการแปลงฟูริเยร์ การแปลงฟูริเยร์ถูกกำหนดไว้ดังต่อไปนี้ -

$H(f) = \int h(t)e^{-j2\pi ft}dt$

โดยพื้นฐานแล้วมันมีความสัมพันธ์กับสัญญาณกับกลุ่มไซนัสที่ซับซ้อนแต่ละกลุ่มมีความถี่ของตัวเอง ดังนั้นไซนัสที่ซับซ้อนเหล่านั้นมีหน้าตาเป็นอย่างไร? ภาพด้านล่างแสดงไซนัสอยด์ที่ซับซ้อนหนึ่งรายการ

"ไขจุกเกลียว" คือไซนัสิดสลับซับซ้อนในเวลาในขณะที่ไซนัสทั้งสองที่ตามมามันเป็นส่วนประกอบที่สกัดจริงและจินตภาพของไซนัสซอยที่ซับซ้อน ผู้อ่านที่ชาญฉลาดจะทราบว่าองค์ประกอบจริงและจินตภาพนั้นเหมือนกันแน่นอนพวกมันจะอยู่ห่างจากกัน 90 องศา ( ) เนื่องจากพวกมันอยู่ห่างจากเฟส 90 องศาพวกมันจะเป็นมุมฉากและสามารถ "จับ" ส่วนประกอบใด ๆ ของสัญญาณที่ความถี่นั้น$\frac{\pi}{2}$

ความสัมพันธ์ระหว่างเลขชี้กำลังและโคไซน์ / ไซน์นั้นได้รับจากสูตรของออยเลอร์ -

$e^{jx} = cos(x) + j*sin(x)$

สิ่งนี้ทำให้เราสามารถปรับเปลี่ยนการแปลงฟูริเยร์ดังนี้ -

$$H(f) = \int h(t)e^{-j2\pi ft}dt \\ = \int h(t)(cos(2\pi ft) - j*sin(2\pi ft))dt$$

ที่ความถี่ลบการแปลงฟูริเยร์จะกลายเป็นดังต่อไปนี้ -

$$H(-f) = \int h(t)(cos(2\pi (-f)t) - j*sin(2\pi (-f)t))dt \\ = \int h(t)(cos(2\pi ft) + j*sin(2\pi ft))dt$$

การเปรียบเทียบรุ่นความถี่ลบกับรุ่นความถี่บวกแสดงว่าโคไซน์เหมือนกันขณะที่ไซน์กลับด้าน พวกเขายังคงอยู่ห่างจากระยะ 90 องศาซึ่งกันและกันทำให้พวกเขาสามารถจับสัญญาณสัญญาณใด ๆ ที่ความถี่ (ลบ)

เนื่องจากทั้งไซน์ซอยด์ความถี่บวกและลบเป็น 90 องศาออกจากเฟสและมีขนาดเท่ากันพวกเขาทั้งสองจะตอบสนองต่อสัญญาณจริงในวิธีเดียวกัน หรือขนาดของการตอบสนองของพวกเขาจะเหมือนกัน แต่ระยะสหสัมพันธ์จะแตกต่างกัน

แก้ไข: โดยเฉพาะความสัมพันธ์ของความถี่เชิงลบคือการรวมกันของความสัมพันธ์ความถี่เชิงบวก (เนื่องจากองค์ประกอบไซน์จินตภาพกลับหัว) สำหรับสัญญาณจริง ในแง่คณิตศาสตร์นี่คือดังที่ Dilip ชี้ให้เห็นดังต่อไปนี้ -

$H(-f) = [H(f)]^*$

วิธีคิดอีกอย่างคือ:

ส่วนประกอบในจินตนาการเป็นเพียงแค่นั้น .. จินตนาการ! มันเป็นเครื่องมือที่ช่วยให้การใช้ระนาบพิเศษในการดูสิ่งต่าง ๆ และทำให้การประมวลผลสัญญาณดิจิตอล (และอนาล็อก) เป็นไปได้ถ้าไม่ง่ายกว่าการใช้สมการเชิงอนุพันธ์!

แต่เราไม่สามารถฝ่าฝืนกฎทางตรรกะของธรรมชาติเราไม่สามารถทำอะไร 'จริง' กับเนื้อหาจินตภาพและดังนั้นจึงต้องยกเลิกตัวเองอย่างมีประสิทธิภาพก่อนที่จะกลับสู่ความเป็นจริง สิ่งนี้มีลักษณะอย่างไรในการแปลงฟูริเยร์ของสัญญาณตามเวลา (โดเมนความถี่ที่ซับซ้อน) หากเราเพิ่ม / บวกองค์ประกอบความถี่บวกและลบของสัญญาณที่ชิ้นส่วนจินตภาพยกเลิกนี่คือสิ่งที่เราหมายถึงโดยการพูดว่าองค์ประกอบบวกและลบเชื่อมต่อกัน โปรดสังเกตว่าเมื่อ FT ได้รับสัญญาณเวลามีสัญญาณคอนจูเกตเหล่านี้โดยมีส่วน 'ของจริง' ของแต่ละการแบ่งปันขนาด, ครึ่งหนึ่งในโดเมนเชิงบวก, ครึ่งหนึ่งในเชิงบวก, ครึ่งหนึ่งในเชิงลบ เนื้อหาในจินตนาการและให้เนื้อหาจริงเท่านั้น$^\dagger$

$^\dagger$หมายความว่าเราไม่สามารถสร้างแรงดันไฟฟ้าที่เป็นโวลต์ เห็นได้ชัดว่าเราสามารถใช้ตัวเลขจินตภาพเพื่อเป็นตัวแทนของสัญญาณในโลกแห่งความจริงที่มีค่าสองเวกเตอร์เช่นคลื่น EM แบบโพลาไรซ์แบบวงกลม$5i$

FFT (หรือเร็วแปลงฟูเรีย) เป็นจริงอัลกอริทึมในการคำนวณที่ไม่ต่อเนื่องฟูริเยร์แปลงหรือ DFT การนำไปใช้โดยทั่วไปจะทำให้การคำนวณ DFT เป็นไปอย่างรวดเร็วโดยการใช้ประโยชน์จากข้อเท็จจริงที่ว่า , จำนวนจุดข้อมูลเป็นจำนวนเต็มรวมซึ่งไม่ใช่กรณีที่นี่เนื่องจากเป็นจำนวนเฉพาะ (แม้ว่า FFTs จะมีอยู่ในกรณีที่เป็นไพรม์ แต่ก็ใช้สูตรอื่นที่อาจนำไปใช้หรือไม่ได้ใช้ใน MATLAB) แท้จริงแล้วหลายคนจงใจเลือก ให้อยู่ในรูปแบบหรือเพื่อเร่งการคำนวณ DFT ผ่าน FFT101 N N 2 k 4 $N$$101$$N$$N$$2^k$$4^k$

เมื่อหันไปใช้คำถามว่าทำไมการสะท้อนจึงเกิดขึ้น hotpaw2 ได้ระบุเหตุผลไว้อย่างชัดเจนและต่อไปนี้เป็นเพียงการกรอกรายละเอียด DFT ของลำดับของ จุดข้อมูลถูกกำหนดให้เป็นลำดับโดยที่ โดยที่{-1} จะเห็นได้ชัดว่าคือโดยทั่วไปแล้วลำดับที่ซับซ้อนตามตัวอักษรแม้ว่าเป็นลำดับที่มีมูลค่าจริง แต่ทราบว่าเมื่อไหร่$\mathbf x = \bigr(x[0], x[1], x[2], \ldots, x[N-1]\bigr)$$N$$\mathbf X =\bigr(X[0], X[1], X[2], \ldots, X[N-1]\bigr)$

$$X[m] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n]\left(\exp\left(-j2\pi \frac{m}{N}\right)\right)^n, m = 0, 1, \ldots, N-1$$ $j = \sqrt{-1}$$\mathbf X$$\mathbf x$$\mathbf x$เป็นลำดับจริงมูลค่าเป็นจำนวนจริง นอกจากนี้หากเป็นแม้กระทั่งจำนวนแล้วตั้งแต่เรายังมีที่ เป็นจำนวนจริง แต่ไม่ว่าจะเป็นเลขคี่หรือแม้กระทั่ง DFTของลำดับที่มีมูลค่าจริง มีคุณสมบัติสมมาตรของ Hermitianที่คุณได้กล่าวถึงในความคิดเห็น เรามีการแก้ไข ,$\displaystyle X[0]=\sum_{n=0}^{N-1} x[n]$$N$$\exp(-j\pi) = -1$ $$X\left[\frac{N}{2}\right] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n]\left(\exp\left(-j2\pi \frac{N/2}{N}\right)\right)^n = \sum_{n=0}^{N-1} x[n](-1)^n$$ $N$$\mathbf X$$\mathbf x$ $m$$1 \leq m \leq N-1$, ดังนั้นสำหรับ , * ในกรณีพิเศษนี้โปรดทราบว่าถ้าเราเลือกเมื่อเป็นคู่เราจะได้ซึ่งเป็นการยืนยันของเรา ข้อสรุปก่อนหน้านี้ที่ $$\begin{align*} X[m] &= \sum_{n=0}^{N-1} x[n]\left(\exp\left(-j2\pi \frac{m}{N}\right)\right)^n\\ X[N-m] &= \sum_{n=0}^{N-1} x[n]\left(\exp\left(-j2\pi \frac{N-m}{N}\right)\right)^n\\ &= \sum_{n=0}^{N-1} x[n]\left(\exp\left(-j2\pi + j2\pi\frac{m}{N}\right)\right)^n\\ &= \sum_{n=0}^{N-1} x[n]\left(\exp\left(j2\pi\frac{m}{N}\right)\right)^n\\ &= \left(X[m]\right)^* \end{align*}$$ $1 \leq m \leq N-1$$X[N-m] = \left(X[m]\right)^*$$m = N/2$$N$$X[N/2] = \left(X[N/2]\right)^*$$X[N/2]$เป็นจำนวนจริง โปรดทราบว่าผลกระทบของคุณสมบัติสมมาตรของ Hermitian คือ

-th ถังในผิวเผินลำดับมูลค่าจริงที่มีขนาดเดียวกันเป็นถัง -th$m$$(N-m)$

คน MATLABi จะต้องแปลสิ่งนี้เป็นบัญชีเพราะอาร์เรย์ของ MATLAB นั้นมีหมายเลขตั้งแต่ขึ้นไป$1$

---

เมื่อหันไปใช้ข้อมูลจริงของคุณคือค่า DC เท่ากับบวก มากกว่าหนึ่งช่วงเวลาของความถี่ไซน์เฮิร์ตเล็กน้อย อันที่จริงสิ่งที่คุณจะได้รับคือ ที่1 ดังนั้นตัวอย่างแรกและตัวสุดท้ายของจึงมีค่าเท่ากัน DFT ที่คุณกำลังคำนวณนั้นได้รับจาก ความไม่ตรงกันระหว่างและ ทำให้เกิดความยุ่งเหยิงใน DFT: ค่าของ $\mathbf x$$1$$1$

$$x[n] = 1 + \sin(2\pi (0.01n)), ~ 0 \leq n \leq 100$$ $x[0] = x[100] = 1$$101$ $$X[m] = \sum_{n=0}^{100} \left(1+\sin\left(2\pi \left(\frac{n}{100}\right)\right)\right)\left(\exp\left(-j2\pi \frac{m}{101}\right)\right)^n$$ $100$$101$$X[m]$สำหรับไม่ใช่ศูนย์แม้ว่าเล็ก ในทางกลับกันสมมติว่าคุณต้องปรับอาเรย์ในโปรแกรม MATLAB ของคุณให้มีตัวอย่างที่ดังนั้นสิ่งที่คุณมีคือ จากนั้น DFT คือ คุณจะเห็นว่าผิวเผินของคุณจะว่า (หรืออย่างน้อยภายในปัดเศษข้อผิดพลาด) และผกผัน DFT จะให้ที่ , $2 \leq m \leq 99$t$100$$t=0, 0.01, 0.02, \ldots, 0.99$ $$x[n] = 1 + \sin(2\pi (0.01n)), ~ 0 \leq n \leq 99.$$ $$X[m] = \sum_{n=0}^{99} \left(1+\sin\left(2\pi \left(\frac{n}{100}\right)\right)\right)\left(\exp\left(-j2\pi \frac{m}{100}\right)\right)^n,$$ $\mathbf X = (100, -50j, 0, 0, \ldots, 0, 50j)$$0 \leq n \leq 99$ $$\begin{align*} x[n] &= \frac{1}{100}\sum_{m=0}^{99}X[m]\left(\exp\left(j2\pi \frac{n}{100}\right)\right)^m\\ &= \frac{1}{100}\left[100 - 50j\exp\left(j2\pi \frac{n}{100}\right)^1 + 50j \left(\exp\left(j2\pi \frac{n}{100}\right)\right)^{99}\right]\\ &= 1 + \frac{1}{2j}\left[\exp\left(j2\pi \frac{n}{100}\right) - \exp\left(j2\pi \frac{-n}{100}\right)\right]\\ &= 1 + \sin(2\pi (0.01n)) \end{align*}$$ ซึ่งเป็นสิ่งที่คุณเริ่มต้นอย่างแม่นยำ

โปรดทราบว่าผลลัพธ์ FFT จะถูกมิร์เรอร์ (เช่นเดียวกับการผันสมมาตร) เฉพาะในกรณีที่ข้อมูลเข้าเป็นจริง

สำหรับข้อมูลที่ป้อนเข้าจริงอย่างเคร่งครัดภาพสะท้อนสองภาพในผลลัพธ์ FFT จะยกเลิกส่วนจินตภาพของไซนัสด์ที่ซับซ้อนใด ๆ ดังนั้นจึงรวมกับไซน์ซอยจริงอย่างเคร่งครัด คลื่นไซน์จริง

หากผลลัพธ์ FFT ไม่ได้สะท้อนให้เห็นถึงการรวมกันมันจะเป็นตัวแทนของรูปคลื่นที่มีค่าที่ซับซ้อน (องค์ประกอบจินตภาพที่ไม่ใช่ศูนย์) ไม่ใช่สิ่งที่มีคุณค่าอย่างแท้จริง