ตัวกรองเชิงเส้น Savitzky – Golay กับ IIR หรือตัวกรองเชิงเส้น FIR

• ตัวกรอง IIR / FIR ดั้งเดิม (lowpass เพื่อกำจัดการแกว่งความถี่สูง) เช่นค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่

• หรือตัวกรองSavitzky-Golay

ทุกคนสามารถเป็นประโยชน์ในการทำให้สัญญาณเรียบขึ้นเช่นสัญญาณซองจดหมาย:

ตัวกรอง Savitzky-Golay จะน่าสนใจมากกว่าแอพพลิเคชั่น lowpass แบบคลาสสิกอย่างไร

อะไรทำให้แตกต่างจากตัวกรองมาตรฐานและมันเพิ่มอะไรเมื่อเปรียบเทียบกับตัวกรองมาตรฐาน

มันปรับตัวเองเข้ากับข้อมูลอินพุตหรือไม่

มันจะดีกว่าสำหรับการรักษาชั่วคราว?

---

คุณเคยอยู่ในสถานการณ์ทางวิศวกรรมมาแล้ววันหนึ่งเมื่อคุณตัดสินใจว่า"ลองใช้ตัวกรอง SG แทนค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่หรือ lowpass FIR ตัวอื่นดีกว่าเพราะสิ่งนี้กับสิ่งนี้และสิ่งนี้ ... " ? ถ้าอย่างนั้นคำถามนี้เหมาะสำหรับคุณ!

เนื่องจากการอภิปรายในคำตอบที่มีอยู่และความคิดเห็นส่วนใหญ่มุ่งเน้นไปที่ตัวกรอง Savitzky-Golay จริง ๆ (ซึ่งมีประโยชน์มาก) ฉันจะพยายามเพิ่มคำตอบที่มีอยู่โดยให้ข้อมูลบางอย่างเกี่ยวกับวิธีการเลือกตัวกรองที่ปรับให้เรียบ คือเพื่อความเข้าใจของฉันคำถามที่เป็นจริงเกี่ยวกับ

ก่อนอื่นฉันต้องการทำซ้ำสิ่งที่เป็นที่ชัดเจนในการอภิปรายที่วางไข่จากคำตอบอื่น ๆ : การจัดหมวดหมู่ของตัวกรองที่ปรับให้เรียบในคำถามเป็นตัวกรองแบบเชิงเส้นและไม่แปรเปลี่ยนเวลา (LTI) FIR / IIR ตัวหนึ่ง ตัวกรอง Savitzky-Golay ในทางกลับกันทำให้เข้าใจผิด ตัวกรอง Savitkzy-Golay เป็นเพียงตัวกรอง FIR มาตรฐานที่ออกแบบตามเกณฑ์เฉพาะ (การประมาณพหุนามท้องถิ่น) ดังนั้นตัวกรองทั้งหมดที่กล่าวถึงในคำถามคือตัวกรอง LTI

คำถามที่เหลือคือวิธีการเลือกตัวกรองที่ปรับให้เรียบ หากความซับซ้อนในการคำนวณและ / หรือหน่วยความจำเป็นปัญหาตัวกรอง IIR อาจจะดีกว่าตัวกรอง FIR เพราะโดยทั่วไปแล้วพวกเขาจะประสบความสำเร็จในการลดเสียงรบกวนที่คล้ายกัน (เช่นการลดทอนสัญญาณ Stopband) ด้วยลำดับตัวกรองที่ต่ำกว่ามาก แต่โปรดทราบว่าหากจำเป็นต้องทำการประมวลผลตามเวลาจริงข้อเสียที่เป็นไปได้อย่างหนึ่งของตัวกรอง IIR คือพวกเขาไม่สามารถตอบสนองเฟสเชิงเส้นได้อย่างแน่นอน ดังนั้นสัญญาณที่ต้องการจะได้รับการบิดเบือนเฟส ออฟไลน์ประมวลผลบิดเบือนเฟสสามารถหลีกเลี่ยงได้แม้จะมีตัวกรอง IIR โดยใช้การกรองศูนย์เฟส

นอกเหนือจากข้อควรพิจารณาที่กล่าวถึงในย่อหน้าก่อนหน้ามันเป็นเกณฑ์การออกแบบที่สำคัญไม่มากถ้าตัวกรองเป็น FIR หรือ IIR เนื่องจากตัวกรอง IIR ใด ๆ (เสถียร) สามารถประมาณได้อย่างแม่นยำด้วยตัวกรอง FIR และใด ๆ ตัวกรอง FIR สามารถประมาณได้โดยตัวกรอง IIR แม้ว่าตัวกรองหลังนั้นจะยากกว่ามาก เกณฑ์การออกแบบที่เหมาะสมนั้นขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของข้อมูลและเสียงรบกวน เมื่อพูดถึงการปรับให้เรียบเรามักจะถือว่าข้อมูลที่มีขนาดใหญ่เกินไป (เช่นความราบรื่น) เพียงพอ หากเสียงนั้นมีส่วนประกอบความถี่สูงเป็นส่วนใหญ่เช่นหากมีการซ้อนทับกันของข้อมูลกับเสียงน้อยเราต้องการที่จะลดทอนสัญญาณย่านความถี่สูงสุดหรือลดพลังงานของแถบความถี่ในขณะที่รักษาสัญญาณที่ต้องการไว้ให้ได้มากที่สุด ในกรณีนี้เราสามารถเลือกตัวกรอง FIR เชิงเส้นเฟสที่ออกแบบตามเกณฑ์ขั้นต่ำสุดโดยใช้อัลกอริทึม Parks-McClellan นอกจากนี้เรายังสามารถลดพลังงานวงหยุด (เช่นลดเสียงรบกวนในวงหยุด) โดยเลือกวิธีกำลังสองน้อยที่สุด การผสมผสานระหว่างเกณฑ์สองข้อ (minimax และ squins น้อยที่สุด) เป็นไปได้โดยเลือก aจำกัด การออกแบบกำลังสองน้อยที่สุดซึ่งลดพลังงานวงหยุดในขณะที่ จำกัด ข้อผิดพลาดการประมาณค่าสูงสุดในแถบความถี่

หากคลื่นเสียงรบกวนอย่างมีนัยสำคัญทับซ้อนกับคลื่นความถี่จำเป็นต้องใช้วิธีการที่ระมัดระวังมากขึ้นและการลดทอนแรงเดรัจฉานจะทำงานได้ไม่ดีเพราะคุณปล่อยเสียงดังมากเกินไป (โดยเลือกความถี่ตัดที่สูงเกินไป) หรือบิดเบือนความต้องการ สัญญาณมากเกินไป ในกรณีนี้ตัวกรอง Savitzky-Golay (SG) อาจเป็นตัวเลือกที่ดี ราคาที่ต้องชำระคือการลดทอนสัญญาณแบบธรรมดา แต่ข้อดีอย่างหนึ่งคือคุณสมบัติสัญญาณบางอย่างได้รับการรักษาไว้เป็นอย่างดี สิ่งนี้เกี่ยวข้องกับความจริงที่ว่าฟิลเตอร์ SG มีการตอบสนองแบบแบนด์พาสนั่นคือ

$$\frac{d^kH(e^{j\omega})}{d\omega^k}{\huge |}_{\omega=0}=0\quad k=1,2,\ldots,r\tag{1}$$

โดยที่คือลำดับของพหุนามประมาณและคือการตอบสนองความถี่ของตัวกรอง คุณสมบัติรับประกันว่าช่วงเวลาแรกของสัญญาณอินพุตจะถูกรักษาไว้ในเอาต์พุตซึ่งหมายความว่าความกว้างและความสูงของยอดเขาในสัญญาณที่ต้องการนั้นได้รับการเก็บรักษาไว้อย่างดี$r$$H(e^{j\omega})$$(1)$$r$

แน่นอนว่ายังมีการประนีประนอมระหว่างตัวกรองที่ปรับให้เรียบสองชนิดที่กล่าวถึงข้างต้น (การลดทอนสัญญาณ Stopband สูงและ SG) เราสามารถออกแบบตัวกรอง FIR ด้วยความเรียบระดับหนึ่งที่และใช้องศาอิสระที่เหลือเพื่อลดการหยุดการลดทอนของวงดนตรีให้มากที่สุดหรือลดพลังงาน Stopband ในกรณีของตัวกรอง FIR ปัญหาการออกแบบที่เกิดขึ้นนั้นง่ายพอ (และนูน) และรูทีนการปรับให้เหมาะสมทั่วไปที่มีอยู่ในแพ็คเกจซอฟต์แวร์ต่างๆสามารถใช้เพื่อขอรับตัวกรองที่ดีที่สุดสำหรับแอปพลิเคชันที่กำหนด$\omega=0$

สำหรับผู้ที่สนใจในทฤษฎีของตัวกรอง SG การอ้างอิงที่เกี่ยวข้องที่สุดที่ฉันสามารถแนะนำได้มีดังต่อไปนี้:

• กระดาษต้นฉบับโดย Savitzky และ Golay
• กระดาษบทช่วยสอนโดย Ronald W. Schafer
• ส่วน 8.3.5 ของหนังสือ DSPของOrfanidis

บางครั้งเครื่องมือบางอย่างก็ดีกว่าเครื่องมืออื่น ๆ

ตัวกรองค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ (MA) สามารถใช้เพื่อทำให้ข้อมูลราบรื่นและเป็น FIR มันเป็นตัวกรองที่ง่ายที่สุดที่คุณสามารถสร้างขึ้นมาได้และมันก็ทำงานได้ดีสำหรับงานจำนวนมากตราบใดที่คุณไม่ได้พยายามทำแบบจำลองการกระโดดหรือแนวโน้มพหุนามแบบฉับพลัน โปรดทราบว่าตัวกรองเหล่านี้เป็นเพียงตัวกรองสัญญาณผ่านความถี่ต่ำดังนั้นจึงใช้งานได้ดีที่สุดเมื่อข้อมูลที่คุณสนใจในสัญญาณมีความถี่ต่ำและย่านความถี่ที่ค่อนข้างแคบ

ตัวกรอง Savitzky-Golay (SG) เป็นกลุ่มพิเศษของตัวกรอง FIR ซึ่งโดยพื้นฐานแล้วพอดีกับพหุนามกับอนุกรมเวลาของคุณเนื่องจากสไลด์แบบคอนโซลูชั่นตามสัญญาณ ตัวกรอง SG มีประโยชน์สำหรับสัญญาณที่สิ่งที่คุณสนใจไม่จำเป็นว่าจะต้องมีความถี่ต่ำและย่านความถี่ที่ค่อนข้างแคบ

ฉันคิดว่าคุณจะพบว่าถ้าคุณอ่านหน้าวิกิพีเดียที่คุณเชื่อมโยงอย่างละเอียดมันจะอธิบายความแตกต่างระหว่างตัวกรอง SG และ MA ในรายละเอียดที่ค่อนข้างเข้มงวด โปรดจำไว้ว่า: ในที่สุดพวกเขาทั้งคู่เป็นเพียงเครื่องมือในการทำสิ่งที่คล้ายกันขึ้นอยู่กับคุณว่าจะใช้เครื่องมือที่เหมาะสมเมื่อไร

แก้ไข :

เนื่องจากดูเหมือนจะมีความสับสนว่าตัวกรอง SG นั้น "ปรับตัว" ในระดับพื้นฐานบางอย่างฉันจึงได้รวมตัวอย่าง MATLAB อย่างง่าย ดังที่แดนชี้ให้เห็นสิ่งเหล่านี้สามารถปรับตัวได้ แต่การใช้งานขั้นพื้นฐานของพวกเขามักจะไม่ใช่ โดยการตรวจสอบรหัสคุณจะเห็นว่านี่เป็นเพียงเมทริกซ์ค้นหาด้วยการจัดการพิเศษ ไม่มีอะไรเกี่ยวกับตัวกรองนี้คือ "ปรับตัว" ในความหมายดั้งเดิมคุณเพียงแค่เลือกแบบพอดีกับพหุนามและความยาวของพหุนามที่จะพอดีกับสัญญาณผ่านทางสังวัตนา SG เป็น FIR ที่สำคัญ สคริปต์ที่ฉันมีด้านล่างสร้างพล็อตนี้:

เมื่อดูรูปนี้คุณจะเห็นได้ว่า MA และ SG นั้นทำสิ่งเดียวกันได้ แต่มีความแตกต่างที่สำคัญ:

1. แมสซาชูเซตทำงานได้อย่างยอดเยี่ยมในการลดเสียงรบกวน แต่มันก็ทำงานได้ไม่ดีในการจับสัญญาณข้ามชั่วคราวในสัญญาณ เราสามารถลดสัญญาณรบกวนได้มากขึ้นโดยการเพิ่มความยาวของตัวกรอง แต่จากนั้นมันจะทำงานได้แย่ลงกว่าเดิม เอฟเฟกต์นี้จะถูกมองว่าเป็น "การละเลง" ใกล้ ๆ กับสภาวะชั่วครู่ชั่วคราวซึ่งคุณควรเห็นในภาพที่แสดง
2. SG ทำงานได้อย่างยอดเยี่ยมในการจับสัญญาณชั่วคราวของสัญญาณ แต่ทำหน้าที่ได้อย่างยอดเยี่ยมในการลดเสียงรบกวน (อย่างน้อยก็เมื่อเทียบกับ MA ที่มีขนาดเท่ากัน) เราสามารถปรับปรุงการลดเสียงรบกวนที่อยู่ใกล้กับผู้ไม่ชั่วคราวโดยการเพิ่มความยาวของเฟรม แต่สิ่งนี้จะแนะนำการเรียกเข้าที่คล้ายกับปรากฏการณ์ของ Gibb ที่อยู่ใกล้ ๆ

เพื่อให้คุณได้รับความเข้าใจที่ดีขึ้นเกี่ยวกับวิธีการทำงานของตัวกรองเหล่านี้ฉันขอแนะนำให้คุณใช้รหัสที่นี่และจัดการและดูว่าแต่ละส่วนของตัวกรอง SG ทำงานอย่างไร

รหัสสำหรับตัวอย่าง MATLAB:

% Generate a signal "s" that has square waves, and scale it with a
% polynomial of order 5
up = 1*ones(1,100);
down = zeros(1,150);
s = [down down up up down up down up down up up up down down down down down];
n = numel(s);
nn = linspace(0,4,numel(s));
s = s .* (nn .^5);
sn = (s + 4*randn(size(s))).';

% smooth it with SMA of length 15
sz = 15;
h = 1/sz * ones(1,sz);
sn_sma = conv(sn,h,'same');

% smooth it with sgolay of frame length 15
m = (sz-1)/2;
% look up the SG matrix for this order and size
B = sgolay(5, sz);

% compute the steady state response for the signal, i.e. everywhere that
% isnt the first or last "frame" for the SG filter
steady = conv(sn, B(m+1,:), 'same');
% handle the transiet portion at the start of the signal
y_st   = B(1:m,:)*sn(1:sz);
% handle the transient portion at the end of the signal
y_en   = B(sz -m+1 : sz, :) * sn(n - sz+1:n);

% combine our results
sn_sg  = steady;
sn_sg(1:m) = y_st;
sn_sg(n-m+1:n) = y_en;

% plots
figure(1);
hold off;
plot(sn,'Color',[0.75 0.75 0.75]);
hold on;
plot(sn_sma,'b');
plot(sn_sg,'r');

legend('Noisy Signal','MA Smoothing','SG Smoothing, order 5','Location','NorthWest');

บันทึก

คำตอบก่อนหน้าของฉัน (ก่อนการแก้ไขนี้) แสดงว่าตัวกรอง Savitzky-Golay (SG) เป็นข้อมูลที่ไม่เป็นเชิงเส้นขึ้นอยู่กับการป้อนข้อมูลเวลาที่ไม่ถูกต้องเนื่องจากการตีความผิดพลาดก่อนกำหนดว่าตัวกรอง Savitzky-Golay (SG) คำนวณอย่างไร ตามลิงค์ของวิกิที่ให้ไว้ ดังนั้นตอนนี้ฉันจะแก้ไขเพื่อประโยชน์ของผู้ที่จะเห็นว่าตัวกรอง SG สามารถใช้งานได้อย่างไรโดยตัวกรอง FIR-LTI ขอบคุณ @MattL สำหรับการแก้ไขของเขาการเชื่อมโยงที่ยอดเยี่ยมที่เขาได้จัดเตรียมไว้และความอดทนที่เขามี (ที่ฉันไม่เคยเห็นมาก่อน) ระหว่างการสอบสวนปัญหาของฉัน แม้ว่าฉันจะซื่อสัตย์ชอบการคัดค้านอย่างละเอียดมากขึ้นซึ่งไม่จำเป็นต้องชัดเจน โปรดทราบว่าคำตอบที่ถูกต้องคือคำตอบอีกข้อหนึ่งนี่เป็นเพียงการชี้แจงเพิ่มเติมเกี่ยวกับคุณสมบัติ LTI ของตัวกรอง SG

ตอนนี้ก็ไม่น่าแปลกใจที่เมื่อใครบางคน (ที่ไม่เคยใช้ตัวกรองเหล่านั้นมาก่อน) เผชิญกับคำจำกัดความของตัวกรอง SG ในรูปแบบLSE ที่มีพหุนามต่ำเพื่อให้ได้รับข้อมูลเขา / เธอจะกระโดดลงไปทันที เวลา (กะ) เปลี่ยนแปลงตัวกรองปรับ

อย่างไรก็ตามขั้นตอนการปรับพอดีกับพหุนามถูกตีความอย่างชาญฉลาดโดย SG ซึ่งช่วยให้สามารถกรองข้อมูลได้อย่างอิสระไม่แปรเปลี่ยนเวลาและเป็นเส้นตรงจึงทำให้ SG เป็นตัวกรอง LTI-FIR คงที่

ด้านล่างนี้เป็นข้อมูลสรุปสั้น ๆ จากลิงก์ที่จัดหาโดย MattL สำหรับรายละเอียดใด ๆ ที่ดูเหมือนว่าหายไปโปรดอ่านเอกสารต้นฉบับหรือขอคำชี้แจง แต่ฉันไม่ต้องการผลิตเอกสารทั้งหมดที่นี่อีกครั้ง

ตอนนี้ให้พิจารณาค่าข้อมูลอินพุต ซึ่งอยู่กึ่งกลางและสิ่งที่เราต้องการให้พอดีกับพหุนามของคำสั่งโดยมีเป็นดัชนีเวลาจำนวนเต็ม:$2M+1$$x[-M],x[-M+1],...,x[0],x[1],...,x[M]$$n=0$$p[n]$$N$$n = -M,-M+1,...,-1,0,1,...M$

$$p[n] =\sum_{k=0}^{N} a_k n^k = a_0 + a_1 n + a_2 n^2 + ... + a_N n^N$$

LSE แบบโพลิโนเมียลแบบคลาสสิกขั้นตอนการคำนวณสัมประสิทธิ์เหล่านั้นเพื่อหาคำตอบที่ดีที่สุดคำสั่งพหุนามที่ช่วยลดผลรวมของความคลาดเคลื่อนกำลังสอง$a_k$$N^{th}$$p[n]$

$$\mathcal{E} = \sum_{-M}^{M} (p[n]-x[n])^2$$

เหนือเวกเตอร์ข้อมูลที่กำหนด{T}$x = \left[ x[-M],x[-M+1],...,x[0],x[1],...,x[M] \right]^{T}$

ค่าสัมประสิทธิ์พหุนามที่ดีที่สุดนั้นได้มาจากการตั้งค่าอนุพันธ์ของเป็นศูนย์:$a_k$$\mathcal{E}$

$$\frac{ \partial \mathcal{E} }{\partial a_i} = 0 ~~~,~~~ \text{for }~~~ i=0,1,..,N \tag{1}$$

ตอนนี้สำหรับผู้ที่คุ้นเคยกับกระบวนการ LSE polyfit ฉันจะเขียนสมการเมทริกซ์ที่ได้ (จากลิงค์) ที่กำหนดชุดสัมประสิทธิ์ที่เหมาะสม:

$$\boxed{ a = (A^{T}A)^{-1} A^{T} x = H x } \tag{2}$$ โดยที่คือเวกเตอร์ข้อมูลอินพุตคูณ 1,คือ LSE polyfit matrix และโดย matrixเป็นเมทริกซ์ทันทีของเวลา (พลังของจำนวนเต็มเวลา ); คือทราบว่าทั้งสองจึงมีค่ของข้อมูลเข้าเป็นค่าจะได้รับโดย:$x$$(2M+1) \times 1$$H$$2M+1$$N$$A$$n$$A$$H$$A$

$$A = \begin{bmatrix} \alpha_{n,i} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (-M)^0 & (-M)^1 & ... & (-M)^N \\ (-M+1)^0 & (-M+1)^1 & ... & (-M+1)^N \\ &... \\ (0)^0 & (0)^1 & ... & (0)^N \\ &...\\ (M)^0 & (M)^1 & ... & (M)^N \\ \end{bmatrix}$$

ทีนี้ลองย้อนกลับไปสักครู่แล้วพูดถึงประเด็นที่นี่

ตามที่ eq. (2) บ่งชี้อย่างชัดเจนแม้ว่าและจะไม่ขึ้นกับข้อมูลอินพุตและขึ้นอยู่กับดัชนีเวลาเท่านั้นสัมประสิทธิ์พหุนาม LSE ที่ดีที่สุดขึ้นอยู่กับข้อมูลอินพุต นอกจากนี้พวกเขายังขึ้นอยู่กับขนาดของหน้าต่างและคำสั่งของพหุนามNยิ่งไปกว่านั้นเมื่อหน้าต่างเลื่อนตามข้อมูลอินพุตค่าสัมประสิทธิ์ควรจะถูกคำนวณใหม่ (อัพเดท) ดังนั้นจึงขึ้นอยู่กับเวลาด้วยเช่นกัน นั่นคือวิธีที่ตัวกรอง SG ถูกกำหนดในลิงก์ที่หน้าคัดลอกมาด้านล่าง:$A$$H$$n$$a_k$$M$$N$$x[n]$$a_k$$2^{nd}$

... นี่ (LSE polyfit) สามารถทำซ้ำในแต่ละตัวอย่างของอินพุตแต่ละครั้งที่สร้างพหุนามใหม่และค่าใหม่ของลำดับเอาต์พุต y [n] ...

ดังนั้นเราจะเอาชนะความประหลาดใจที่ทำให้งงงวยนี้ได้อย่างไร โดยการตีความและกำหนดเอาต์พุตตัวกรอง SG ให้เป็นดังต่อไปนี้:

ตัวกรอง SG ของคำสั่งในแต่ละครั้งตัวอย่างยอมรับชุดอินพุตและสร้างตัวอย่างเอาต์พุตเดี่ยวกำหนดให้เป็นพหุนามประเมินที่ ; กล่าวคือ$N$$n$$x[n]$$y[n]$$p[n]$$n=0$

$$\boxed{ y[n] = y[0] = \sum_{m=0}^{N} a_m n^m = a_0 }$$

นั่นคือสำหรับแต่ละชุดอินพุตของตัวอย่างของ (กึ่งกลางประมาณ ) ตัวกรอง SG จะสร้างเอาต์พุตซึ่งแสดงโดยซึ่งเทียบเท่ากับค่าสัมประสิทธิ์เดียวของ LSE ที่ดีที่สุด พหุนามที่เกี่ยวข้องกับหน้าต่างโดยเฉพาะอย่างยิ่งที่กลุ่มตัวอย่าง[n] อนึ่งเมื่อหน้าต่างเลื่อนตามความยาวของข้อมูลที่ป้อนในทุกครั้งที่ตัวอย่างเอาต์พุตใหม่จะถูกคำนวณตามหน้าต่างของตัวอย่างM] นี่คือตัวกรอง nancusal$2M+1$$x[n]$$n=d$$y[n]$$a_0$$p[n]$$x[n]$$n=d$$y[d]$$x[d-M],x[d-M+1],...,x[d-1],x[d],x[d+1],...x[d+M]$

ตอนนี้เป็นเวลาที่จะแสดงให้เห็นว่าค่าสัมประสิทธิ์จะได้รับเป็นรวมกันเชิงเส้นของค่าสัญญาณอินพุตในหน้าต่างและกรองเอาท์พุทดังนั้นจึงเป็นเรื่องการรวมกันเชิงเส้นของค่าที่ป้อนเข้า[N] และนี่คือคำจำกัดความของการโน้มน้าว (LTI) ผ่านตัวกรอง FIR การส่งออกในเวลาที่เป็นชุดเชิงเส้นของปัจจัยการผลิตและค่าสัมประสิทธิ์กรอง[N] แต่แล้วค่าสัมประสิทธิ์ตัวกรองสำหรับตัวกรอง SG นี้คืออะไร มาดูกัน.$a_0$$x[n]$$y[n]$$x[n]$$n$$x[n]$$h[n]$

พิจารณาการคำนวณอีกครั้ง:$a_k$

$$a = H x$$

$$\begin{bmatrix} a_0 \\ a_1 \\ \vdots \\ a_N \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} h(0,0) & h(0,1) & ... & h(0,2M) \\ h(1,0) & h(1,1) & ... & h(1,2M) \\ &... \\ h(N,0) & h(0,1) & ... & h(0,2M) \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x[-M] \\ x[-M+1] \\ ... \\ x[M] \\ \end{bmatrix}$$

จากที่เราจะเห็นว่าเดียวได้รับจากผลคูณของจุดของแถวแรกของกับเวกเตอร์ข้อมูลอินพุต ; กล่าวคือ$a_0$$H$$x$

$$a_0 = H(0,n) \cdot x = \sum H(0,k) x[k] = H(0,-n) \star x[n]$$

โดยที่ในความเท่าเทียมกันครั้งสุดท้ายเราได้ตีความผลคูณของดอทโปรดักท์เป็นผลรวมของการแปลงโดยพิจารณาการตอบสนองแบบอิมพัลส์ของตัวกรอง SG ให้เป็น ,

$$\boxed{ h[n] = H(0,-n) }$$

มากขึ้นโดยเฉพาะมันกระตุ้นการตอบสนองของตัวกรองของการสั่งซื้อที่ SGที่มีความยาวของหน้าต่าง 1$N$$2M+1$

และเอาต์พุตที่สมบูรณ์ของตัวกรอง SG ลำดับที่ N ที่มีขนาดหน้าต่างสำหรับอินพุตของความยาวได้มาจากการแปลง LTI แบบเดี่ยวพร้อมการตอบสนองแบบแรงกระตุ้น$y[n]$$2M+1$$x[n]$$L$$h_N[n]$

$$\boxed{ y[n] = x[n] \star h_N[n] }$$

แสดงความคิดเห็น

ความจริงที่ว่าค่าสัมประสิทธิ์พหุนามขึ้นอยู่กับข้อมูลอินพุตไม่ได้ป้องกันตัวกรองจากการเป็น LTI FIR เนื่องจากการตอบสนองต่อแรงกระตุ้นสามารถกำหนดให้เป็นตัวแทนของเอาต์พุตที่จะคำนวณจากชุดค่าผสมเชิงเส้นของตัวอย่างอินพุต การรวมกันเชิงเส้นของตัวอย่างอินพุตถูกบอกเป็นนัยโดยผลิตภัณฑ์เมทริกซ์ที่กำหนดสัมประสิทธิ์ที่ดีที่สุดของดังนั้นการรวมกันเชิงเส้นของก็จะส่งผลให้ตัวกรอง FIR LTIเป็นตัวแทน โพรซีเดอร์การพอดี LSE ของ LSE$a_k$$h[n]$$y[n]$$x$$a = H x$$a_k$$p[n]$$a_k$$h[n]$

รหัส MATLAB / OCTVE

MATLAB / OCTAVE อย่างง่ายต่อไปนี้สามารถใช้ในการคำนวณการตอบสนองฟิลเตอร์ SG ได้ (โปรดทราบว่าตัวออกแบบ SG ที่สร้างขึ้นในตัวมันอาจสร้างชุดแตกต่างกันตามลิงก์ -dd)$h[n]$$h[n]$

% Savitzky-Golay Filter
% 
clc; clear all; close all;

N = 3;                      % a0,a1,a2,a3 : 3rd order polynomial
M = 4;                      % x[-M],..x[M] . 2M + 1 data

A = zeros(2*M+1,N+1);
for n = -M:M
    A(n+M+1,:) = n.^[0:N];
end

H = (A'*A)^(-1)* A';        % LSE fit matrix

h = H(1,:);                 % S-G filter impulse response (nancausal symmetric FIR)

figure,subplot(2,1,1)
stem([-M:M],h);
title(['Impulse response h[n] of Savitzky-Golay filter of order N = ' num2str(N), ' and window size 2M+1 =  ' , num2str(2*M+1)]);

subplot(2,1,2)
plot(linspace(-1,1,1024), abs(fftshift(fft(h,1024))));
title('Frequency response magnitude of h[n]');

ผลลัพธ์คือ:

หวังว่านี่จะช่วยแก้ปัญหา