อย่างไร

ฉันเป็นสามเณรใน DSP และฉันมีข้อสงสัยเล็กน้อยเกี่ยวกับ $\mathcal Z$- การแปลงและขอบเขตของการลู่เข้า (ROC)

ฉันรู้ว่า $\mathcal Z$- รูปแบบคือ แต่ฉันมีปัญหากับการเข้าใจ ROC ก่อนอื่นฉันมีความสับสนด้วย$X(z)$ และ $x(z)$. ฉันถูกจับได้ง่าย ๆ โดยการแลกเปลี่ยนคำศัพท์เหล่านี้ ฉันรู้ว่า ROC กำหนดภูมิภาคของที่$\mathcal Z$- การเปลี่ยนแปลงมีอยู่ จากเว็บและหนังสือของฉันระบุว่า:

ถ้า $x[n]$ เป็นลำดับระยะเวลาที่ จำกัด จากนั้น ROC คือทั้งหมด $z$- เครื่องบินยกเว้นที่เป็นไปได้ $z = 0$ หรือ $\lvert z\rvert = \infty$. ลำดับระยะเวลา จำกัด เป็นลำดับที่ไม่ใช่ศูนย์ในช่วงเวลา จำกัด$n_1 \le n \le n_2$

และต่อมาก็มีข้อความว่า:

เมื่อไหร่ $n_2 > 0$ จะมี $z^{-1}$ ระยะเวลาและ ROC จะไม่รวม $z=0$. เมื่อไหร่$n_1 < 0$ จากนั้นผลรวมจะไม่มีที่สิ้นสุดและดังนั้น ROC จะไม่รวม $\lvert z\rvert=\infty$.

นี่คือสิ่งที่ฉันติดอยู่! สิ่งที่พวกเขาพยายามพูดในบรรทัดด้านบน " เมื่อใด$n_2 > 0$ จะมี $z^{-1}$ ระยะเวลาและ ROC จะไม่รวม $z=0$พวกเขาหมายถึงอะไร $z=0$? พวกเขาจะทดแทน$z$ เช่น $0$ถ้าเป็นเช่นนั้นในสมการใด

เราจะคำนวณขอบเขตของการลู่เข้าสำหรับลำดับที่ไม่มีที่สิ้นสุดได้อย่างไร

เพื่อความซื่อสัตย์อย่างสมบูรณ์ฉันคิดว่าทฤษฎีที่อยู่เบื้องหลังการแปลงรูป Z นั้นเป็นความขุ่นเคืองในวิทยาลัยเช่นกัน ในการเข้าใจย้อนหลังการเข้าคอร์สในการวิเคราะห์ที่ซับซ้อนจะทำให้ชัดเจนยิ่งขึ้น และฉันก็ไม่ชอบอนุสัญญาสัญกรณ์ที่ดูเหมือนจะใช้กับสิ่งนี้ พูดอย่างเคร่งครัดการประชุมตามปกติที่นี่ก็คือ

• $x[n]$ หมายถึงลำดับเวลาที่ไม่ต่อเนื่อง
  • $n\in \mathbb{Z}$
  • วงเล็บแสดงอาร์กิวเมนต์ที่ไม่ต่อเนื่อง
• $X(z)$ หมายถึงฟังก์ชันที่แปลงค่าอย่างต่อเนื่อง
  • $z\in\mathbb{C}$ (เป็นจำนวนเชิงซ้อน)
  • วงเล็บหมายถึงฟังก์ชั่นที่ยอมรับพารามิเตอร์ที่มีค่าต่อเนื่อง
  • เมืองหลวง $X$ หมายถึงรุ่นแปลงของฟังก์ชั่น / ลำดับอื่น ๆ $x$ (สัญกรณ์ที่คล้ายกันใช้สำหรับการแปลงฟูริเยร์: $F(j\omega)\leftrightarrow f(t)$

พวกเขาหมายถึงอะไรโดย z = 0 พวกเขาแทน z เป็น 0 หรือไม่ถ้าใช่ในสมการใด?

พวกเขาหมายถึงเพียงแค่เสียบ $z=0$ เป็นคำจำกัดความตามปกติของ Z-transform

$X(z) = \sum_{n=\infty}^{\infty} x[n] z^{-n}$

โดยทั่วไป (แม่นยำยิ่งขึ้นเมื่อ $x[n] \ne 0$ สำหรับบางคน $n \ne 0$) ผลรวมนี้จะแตกต่าง (สำหรับอินฟินิตี้) สำหรับบางกลุ่ม $z$. ตัวอย่างเช่นให้$x[0] = 1, x[1] = 1$และ $x[n]=0$ สำหรับ $n<0$ และ $n>1$. แล้วก็$X(z) = 1 + z^{-1}$. ROC ไม่รวม$z=0$สำหรับ $\lim_{z\rightarrow 0} X(z)=\infty$

เมื่อข้อความของคุณพูดว่า " เมื่อใด$n_2>0$ จะมี $z^{−1}$ ระยะเวลาและ ROC จะไม่รวม $z=0$"สิ่งที่พวกเขาหมายถึงคือเมื่อ $x[n]$ ไม่ใช่ศูนย์สำหรับบางคน $n>0$มันเป็นสิ่งที่หลีกเลี่ยงไม่ได้สำหรับ z-transform ที่จะรวม a $z^{-n}$ เทอม, ซึ่งเบี่ยงเบนไปหาอนันต์ที่ $z=0$. นั่นคือทั้งหมดที่

เราจะคำนวณขอบเขตของการลู่เข้าสำหรับลำดับที่ไม่มีที่สิ้นสุดได้อย่างไร

คณิตศาสตร์มากมาย ฮา!

srsly วิธีที่จะทำคือการได้รับสูตรพีชคณิตสำหรับลำดับในคำถามเสียบเข้ากับคำนิยาม Z- แปลงและใช้เครื่องมือที่มีอยู่จากการวิเคราะห์ของชุดเรขาคณิต (และชุดพลังงานที่ซับซ้อน) เพื่อกำหนดที่ Z นี้ -transform converges / diverges ในทางปฏิบัติกำหนดว่า$|z|=1$ การมาบรรจบกันเป็นคำถามที่สำคัญที่สุดที่จะต้องตอบเพราะนั่นเป็นตัวกำหนดความเสถียรและคุณสามารถรับการตอบสนองความถี่จากระบบได้หรือไม่ แต่ทว่าสาเหตุอาจสำคัญเช่นกันขึ้นอยู่กับว่าคุณกำลังทำอะไร