มีเทคนิคการประมาณค่าใดสำหรับฟังก์ชัน super-root

ฉันต้องใช้การประมาณค่ากับการผกผันของนั่นคือฟังก์ชันsquare super-root (ssrt) ยกตัวอย่างเช่นหมายความว่า 2ฉันไม่สนใจความถูกต้อง / ความลึกบิตใด ๆ โดยเฉพาะในขณะที่ฉันเข้าใจว่าตัวเลือกของฉันแตกต่างจากวิธีการที่ตรงไปตรงมามากขึ้นโดยใช้ซีรีย์พลังงาน $x^x$ $\mathrm{ssrt}(2) \approx 1.56$ $1.56^{1.56} \approx 2$

Wolfram Alpha ให้ดีวิธีการแก้ปัญหาที่เป็นสัญลักษณ์ในแง่ของฟังก์ชั่นแลมเบิร์ W (เช่น ) วิกิพีเดียให้สูตรเดียวกันเช่นเดียวกับเทียบเท่า )เนื่องจากมีข้อมูลจำนวนหนึ่งที่สมเหตุสมผลเกี่ยวกับการคำนวณ [1] [2] ในทางเทคนิคแล้วนั่นคือทุกสิ่งที่จำเป็นในการใช้งานบางอย่าง $\ln(x)/W(\ln(x))$ $e^{W(\ln(x))}$ $W(x)$ สำหรับความต้องการที่หลากหลาย ฉันรู้หนังสืออย่างน้อยสองเล่มที่มีรายละเอียดมากมายเกี่ยวกับการประมาณ [3] [4] ดังนั้นจึงมีพื้นที่เหลือเฟือที่จะปรับให้เหมาะสมจากทิศทางนั้น $\ln(x)$

อย่างไรก็ตามฉันมีสองคำถาม:

มีเทคนิคการประมาณเฉพาะสำหรับฟังก์ชั่นนี้ที่ถูกเผยแพร่ทุกที่หรือไม่?
มันใช้ชื่ออื่นนอกเหนือจาก "square super-root" ที่จะทำให้การค้นหาอ้างอิงง่ายขึ้นอีกนิดหรือไม่?

Wikipedia / Google ได้เปิดการอ้างอิงบางส่วนที่อุทิศให้กับฟังก์ชั่น "tetration" ทั่วไปซึ่งรวมถึงเป็นกรณีพิเศษ แต่ส่วนใหญ่ดูเหมือนจะเหมาะสำหรับการสำรวจ / กำหนดกรณีทั่วไปมากขึ้น $\mathrm{ssrt}(x)$

Corless, R .; Gonnet, G .; Hare, D. .; เจฟฟรีย์, D. ; Knuth, Donald (1996), "On the Lambert W function" http://www.apmaths.uwo.ca/~djeffrey/Offprints/W-adv-cm.pdf
ห้องสมุดดิจิตอลของฟังก์ชั่นทางคณิตศาสตร์ http://dlmf.nist.gov/4.13
Crenshaw, Jack W. (2000), Toolkit คณิตศาสตร์สำหรับการเขียนโปรแกรมแบบเรียลไทม์
ฮาร์ตจอห์นเอฟ (1978) คอมพิวเตอร์ประมาณ
Chapeau-Blondeau, F. และ Monir, A. (2002) การประเมินเชิงตัวเลขของฟังก์ชั่น Lambert W และการประยุกต์ใช้กับการสร้างเสียงเกาส์ทั่วไปที่มีเลขชี้กำลัง 1/2 ธุรกรรม IEEE เกี่ยวกับการประมวลผลสัญญาณ 50, 2160-2165 http://www.istia.univ-angers.fr/~chapeau/papers/lambertw.pdf
Minero, Paul ประมาณจานแลมเบิร์ W http://www.machinedlearnings.com/2011/07/fast-approximate-lambert-w.html

ปรับปรุง

หลังจากทำการวิจัยเพิ่มเติมในช่วงไม่กี่วันที่ผ่านมาฉันยังไม่พบชนิดของการปฏิบัติ "Crenshaw style" การรักษาฉันหวังไว้ แต่ฉันหาใหม่ เอกสารอ้างอิงมูลค่าที่นี่ บนหน้าสามมีส่วนหัวข้อ "จานประมาณ" ที่จะเข้าสู่รายละเอียดที่ดีเกี่ยวกับการใกล้เคียงกับคำถามเกี่ยวกับการตรวจสอบการตัดสัญญาณ $[3]$ $\mathrm{ssrt}(x)$ $[5]$ $W(x)$ ในบริบทของการสร้างเสียง ในฐานะที่เป็นสิ่งที่น่าสนใจกันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของ "เสียงเกาส์เซียนกับเลขชี้กำลัง 1/2" [ในกระดาษ] ดูคล้ายกับฮิสโตแกรมในคำตอบของKellenjb

นอกจากนี้ลิงก์ที่ให้โดยrwongในความคิดเห็นเป็นแหล่งข้อมูลที่ยอดเยี่ยมสำหรับการใช้งานและยังเชื่อมโยงไปยังโครงการที่ได้รับอนุญาต BSD ของผู้เขียนชื่อfastapproxซึ่งรวมถึงการดำเนินการตามที่อธิบายไว้ $[6]$ $W(x)$

approximation

— นักเล่นเกม
แหล่งที่มา

machinedlearnings.com/2011/07/fast-approximate-lambert-w.html

— rwong

ฉันถามเรื่องนี้ใน Meta เนื่องจากช่องแสดงความคิดเห็นไม่ได้มีไว้สำหรับการอภิปรายเพิ่มเติม โปรดแนะนำวิธีที่เราควรจัดการกับคำถามเหล่านี้ที่นี่: มีคำถามเกี่ยวกับการวิเคราะห์เชิงตัวเลขในหัวข้อหรือไม่

@datageist - ข้อสรุปเบื้องต้นจากคำถามเมตาคือว่าถ้าคุณต้องการใช้การวิเคราะห์เชิงตัวเลขเพื่อประมวลผลข้อมูล DSP นั่นเป็นหัวข้อ ถ้าไม่เช่นนั้นไม่ได้ สิ่งนี้เกี่ยวข้องกับ DSP ได้อย่างไร

— Kevin Vermeer

@ เควินมันเกิดขึ้นในบริบทของการพัฒนาเอฟเฟกต์เสียง

— เก็บข้อมูล

เมื่อใดก็ตามที่ฉันต้องการเขียนกิจวัตรประจำวันสำหรับฟังก์ชั่น Lambert ฉันมักจะใช้การประมาณที่กำหนดไว้ในบทความนี้แล้วขัดเงาด้วย Newton-Raphson, Halley หรือวิธีการวนซ้ำอื่น ๆ คุณสามารถปรับวิธีการนี้ในการแปลงกลับ

...

x^{x}

$x^x$

แทงตัวเลขในที่มืดให้ผลต่อไปนี้สำหรับวิธีการวนซ้ำ:

เรากำลังหาทางแก้ปัญหา y = f (x) โดยที่ y ^ y = x

y \ln y = \ln x

$y \ln y = \ln x$

y = g (x, y) = e^{\frac{\ln x}{y}}

$y = g(x,y) = e^{\frac{\ln x}{y}}$

ค่าของเป็นจุดคงที่ของสมการข้างต้นและสังเกตุดูเหมือนว่าจะรวมกันเป็นค่า $y$ $x$ แต่สำหรับค่าที่มากขึ้นของมันสั่นหรือ diverges $x$

จากนั้นฉันลองวิธีที่คล้ายกับรากที่สองซ้ำของนิวตัน:

y = \frac{y_{p r e v i o u s} + y_{*}}{2} = \frac{y + e^{\frac{\ln x}{y}}}{2}

$y = \frac{y_{previous} + y_{*}}{2} = \frac{y + e^{\frac{\ln x}{y}}}{2}$

โดยที่ y * ควรแสดงถึงคำตอบแบบไม่รวม แต่คำตอบในแง่ดีที่รักษาความถูกต้องหากคุณคาดเดาค่าเริ่มต้นที่ถูกต้อง (ในรากที่สอง y ² = x, มันคือ y * = x / y)

สิ่งนี้ดูเหมือนจะเป็นการบรรจบกัน แต่ช้ามากที่จุดต่ำสุดของ (ใกล้ $x$ $x_{min} = (\frac{1}{e})^{\frac{1}{e}}$ )

นอกจากนี้ยังมีลักษณะเหมือนเดาเริ่มต้นที่ดีคือ 1 $y_0 = \ln(x)+1$

ดังนั้นฉันคิดว่าอาจจะมีทางออกที่ดีกว่า:

$y = (1-a) \times y + a \times g(x,y)$ $a$ $x$

จากนั้นฉันก็พบสิ่งที่น่าสนใจ

$y$ $y^y = x$ $y_2 = g(x,y+ \epsilon) = e^{\frac{\ln(x)}{y+\epsilon}}$ $y_2-y$ $\epsilon \times (-\ln(y))$ $y_1 = y + \epsilon$ $\epsilon$ $y_2 = g(x,y_1)$ $(y_2 - y) \approx \epsilon \times (-\ln(y)) = (y_1 - y) \times (-\ln(y))$ )(เพื่อชี้แจงฉันไม่มีการวิเคราะห์เพื่อตรวจสอบนี้ แต่ตัวเลขเพิ่งโผล่ออกมาจากการประเมินตัวเลขที่ฉันได้ดำเนินการ)

$y$ $y = \dfrac{y_2 + \ln(y) \times y_1}{1 + \ln(y)}$ $\ln(y_1)$ $\ln(y)$

\begin{aligned} Y [n + 1] & = \frac{ก. (x, Y [n]) + LN (Y [n]) \times Y [n]}{1 + LN (Y [n])} \\ = \frac{{อี}^{\frac{LN (x)}{Y [n]}} + LN (Y [n]) \times Y [n]}{1 + LN (Y [n])} \end{aligned}

$\begin{align*} y[n+1] &= \frac{g(x,y[n]) + \ln(y[n])\times y[n]}{1+\ln(y[n])}\\ &= \frac{e^{\frac{\ln(x)}{y[n]}} + \ln(y[n])\times y[n]}{1+\ln(y[n])} \end{align*}$

สิ่งนี้ดูเหมือนจะทำงานได้ดีมากโดยมีการเดาเริ่มต้น $y = 1+\ln(x)$ และดูเหมือนว่าจะมาบรรจบกันภายใน 4 หรือ 5 รอบซ้ำ

(บางคนอาจแสดงให้เห็นว่านี่เทียบเท่ากับ Newton-Raphson แต่อย่างใด แต่ฉันคิดว่ามันเกินความสามารถของฉัน)

— เจสันเอส
แหล่งที่มา