การใช้ตัวกรองเป็นการคูณหรือการแปลงมีความเสถียรหรือไม่

ฉันกำลังเขียนโปรแกรมเพื่อกรองสัญญาณ 20,000 ตัวอย่างด้วยตัวกรอง Butterworth ลำดับที่ห้าแบบออฟไลน์ ฉันสามารถใช้งาน FFT ได้ ดูเหมือนจะมีสองทางเลือกสำหรับการใช้งานการกรอง:

• การชักจูงสัญญาณด้วยการตอบสนองแบบอิมพัลส์ในโดเมนเวลาหรือ
• ทวีคูณสัญญาณด้วยการตอบสนองแบบอิมพัลส์ในโดเมนความถี่และแปลงผลลัพธ์ให้กลับด้าน

วิธีการเหล่านี้จะเหมือนกันในกรณี FT ทางทฤษฎี แม้ว่าจะทำในชีวิตจริงด้วย DFT แต่ฉันคิดว่าสิ่งต่าง ๆ หนึ่งในวิธีการเชิงตัวเลขมีเสถียรภาพมากขึ้นหรือไม่? มีปัญหาอื่น ๆ ที่ฉันควรทราบอีกหรือไม่ จำนวนการคำนวณไม่สำคัญ

ด้วย convolution คุณจะไม่พบปัญหาความมั่นคงใด ๆ เนื่องจากไม่มีการกรองแบบเรียกซ้ำดังนั้นคุณจะไม่สะสมข้อผิดพลาดใด ๆ กล่าวอีกนัยหนึ่งระบบคือศูนย์ทั้งหมดไม่มีเสา ผมเคยได้ยิน anecdotally แต่ไม่ได้รับการตรวจสอบสำหรับตัวเองว่า FFT-based บิดมีต่ำกว่าข้อผิดพลาดกว่าบิดโดเมนเวลาเพียงเพราะมันมี O (n log n) ดำเนินการทางคณิตศาสตร์มากกว่า O (n ^ 2)

โดยทั่วไปเท่าที่ฉันทราบตัวกรอง Butterworth จะถูกใช้งานเป็นตัวกรองแบบเรียกซ้ำ (IIR) ดังนั้นจึงเป็นหัวข้อที่แตกต่างกัน ตัวกรอง IIR มีเสาเช่นเดียวกับศูนย์ดังนั้นจึงอาจมีปัญหาความมั่นคงในทางปฏิบัติ นอกจากนี้สำหรับตัวกรอง IIR วิธีการที่ใช้ FFT ไม่ใช่ตัวเลือก แต่ในทางกลับกันตัวกรอง IIR มีแนวโน้มที่จะเรียงลำดับต่ำมาก

เท่าที่ปัญหาความมั่นคงของตัวกรอง IIR พวกเขามักจะมีปัญหาในการสั่งซื้อที่สูงขึ้น - ฉันแค่โยนตัวเลขและพูดว่าลำดับที่ 6 ประมาณว่ากำลังผลักดันมัน โดยปกติจะใช้งานเป็น biquads แบบเรียงซ้อน (ส่วนตัวกรองลำดับที่สอง) สำหรับตัวกรองลำดับที่ 5 ของคุณให้เขียนเป็นฟังก์ชันถ่ายโอนโดเมน z (มันจะเป็นฟังก์ชันระดับเหตุผล 5) จากนั้นแยกตัวกรองลงใน 5 ขั้วและ 5 ศูนย์ รวบรวมคอนจูเกตที่ซับซ้อนแล้วคุณจะมี biquads สองตัวและตัวกรองลำดับที่หนึ่ง โดยทั่วไปแล้วปัญหาความมั่นคงมักจะเกิดขึ้นเมื่อเสาเข้ามาใกล้กับหน่วยวงกลมมากขึ้น

นอกจากนี้ยังอาจมีปัญหาเกี่ยวกับสัญญาณรบกวนและ จำกัด รอบในตัวกรอง IIR ดังนั้นจึงมีโทโพโลยีตัวกรองที่แตกต่างกัน (เช่นรูปแบบโดยตรง I, รูปแบบโดยตรง II) ที่มีคุณสมบัติตัวเลขที่แตกต่างกัน แต่ฉันจะไม่คิดใหม่ ความแม่นยำและเกือบจะดีพอแน่นอน

ในเกือบทุกกรณีตัวเลือกที่ดีที่สุดของคุณไม่ใช่การแปลงหรือ FFT แต่ใช้ตัวกรอง IIR โดยตรง (ใช้เช่นฟังก์ชัน sosfilt ()) สิ่งนี้จะมีประสิทธิภาพมากกว่าในแง่ของการใช้ CPU และหน่วยความจำ

การสร้างความแตกต่างเชิงตัวเลขขึ้นอยู่กับตัวกรองเฉพาะหรือไม่ กรณีเดียวที่ความแตกต่างบางอย่างอาจคืบคลานเข้ามาคือถ้าเสานั้นอยู่ใกล้กับวงกลมหน่วยมาก แม้จะมีเทคนิคเล็กน้อยที่สามารถช่วยได้ อย่าใช้ฟังก์ชันการถ่ายโอนการเป็นตัวแทนและตัวกรอง () แต่ใช้เสาและศูนย์ด้วย sosfilt () นี่คือตัวอย่างของความแตกต่าง

n = 2^16;  % filter length
fs = 44100; % sample rate
x = zeros(n,1); x(1) = 1;
f0 = 15; % cutoff frequency in Hz
% design with poles and zeroes
[z,p,k] = butter(5,f0*2/fs);
clf
plot(sosfilt(zp2sos(z,p,k),x));
% design with transfer function
[b,a] = butter(5,f0*2/fs);
hold on
plot(filter(b,a,x),'k');

ตัวกรอง () ทำงานผิดพลาดเมื่อตัดประมาณ 15Hz @ 44.1kHz สำหรับ sosfilt () ค่าการตัดต่ำกว่า 1/100 ของ Hz @ 44.1kHz โดยไม่มีปัญหาใด ๆ

หากคุณมีปัญหาด้านความมั่นคง FFT ก็ไม่ได้ช่วยอะไรมาก เนื่องจากตัวกรองของคุณเป็นตัวกรอง IIR การตอบสนองต่อแรงกระตุ้นจึงไม่มีที่สิ้นสุดและจะต้องถูกตัดทอนก่อน ที่ความถี่ต่ำมากการตอบสนองแบบอิมพัลส์นั้นนานจน FFT ไม่สามารถใช้งานได้เช่นกัน

ตัวอย่างเช่นหากคุณต้องการการตัดออกที่ 1/100 Hz ที่ 44.1 kHz และต้องการช่วงไดนามิกในการตอบสนองแบบอิมพัลส์ที่ 100 เดซิเบลคุณต้องการตัวอย่างประมาณ 25 ล้านตัวอย่าง !!! นั่นคือเกือบ 10 นาทีที่ 44.1 kHz และนานกว่าสัญญาณดั้งเดิมของคุณหลายเท่า

ทำไมคุณคิดว่าสิ่งต่าง ๆ จะแตกต่างกัน? แนวคิดเชิงทฤษฎีควรแปลเป็นแอปพลิเคชั่นที่ใช้งานได้จริงโดยมีความแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือประเด็นประเด็นลอยซึ่งเราไม่สามารถหลบหนีได้ คุณสามารถตรวจสอบได้อย่างง่ายดายด้วยตัวอย่างง่ายๆใน MATLAB:

x=randn(5,1);
y=randn(5,1);
X=fft(x,length(x)+length(y)-1);
Y=fft(y,length(x)+length(y)-1);

z1=conv(x,y);z2=ifft(X.*Y);
z1-z2

ans =

   1.0e-15 *

   -0.4441
   -0.6661
         0
   -0.2220
    0.8882
   -0.2220
         0
   -0.4441
    0.8882

อย่างที่คุณเห็นข้อผิดพลาดนั้นเป็นเรื่องของความแม่นยำของเครื่อง ไม่มีเหตุผลใดที่จะไม่ใช้วิธี FFT ดังที่เอนโดลิ ธ กล่าวถึงมันเป็นเรื่องธรรมดามากที่จะใช้วิธีการ FFT ในการกรอง / โน้มน้าว / ข้ามสัมพันธ์และอื่น ๆ และเร็วกว่ามากยกเว้นตัวอย่างที่มีขนาดเล็กมาก (เช่นในตัวอย่างนี้) ไม่ใช่การประมวลผลโดเมนเวลาที่ไม่เคยทำ ... มันทำให้ทุกอย่างลงในแอปพลิเคชันความต้องการและข้อ จำกัด