พลิกการตอบสนองแรงกระตุ้นในการโน้มน้าวใจ

26

ในระหว่างการโน้มน้าวใจกับสัญญาณทำไมเราต้องพลิกการตอบสนองแรงกระตุ้นในระหว่างกระบวนการ?

convolution impulse-response

5

ครึ่งหลังของคำตอบนี้อาจช่วยให้คุณเข้าใจ

— Dilip Sarwate

3

นอกจากการอ่าน @ DilipSarwate คำตอบที่ยอดเยี่ยมมันเป็นแบบฝึกหัดที่ดีในการใช้กระดาษหนึ่งแผ่นและเพื่อคำนวณผลลัพธ์ของระบบ LTI แบบกราฟิกโดยการเพิ่มการตอบสนองแบบปรับเวลาและปรับขนาด

— Deve

1

โปรดทราบว่าคุณสามารถพลิกอาร์กิวเมนต์ได้ - ผลลัพธ์เหมือนกัน

— wakjah

29

ดัดแปลงมาจากคำตอบของคำถามอื่น (ตามที่กล่าวไว้ในความคิดเห็น) โดยหวังว่าคำถามนี้จะไม่ถูกโยนซ้ำ ๆ โดย Community Wiki เป็นหนึ่งในคำถามยอดนิยม ....

ไม่มี "การพลิก" ของการตอบสนองแบบอิมพัลส์โดยระบบเชิงเส้น (time-invariant) เอาต์พุตของระบบที่ไม่แปรผันตามเวลาเชิงเส้นคือผลรวมของการตอบสนองแบบอิมพัลส์แบบสเกลและแบบหน่วงเวลาไม่ใช่การตอบสนองแบบอิมพัลส์แบบ "พลิก"

เราแบ่งสัญญาณอินพุตเป็นผลรวมของสัญญาณพัลส์หน่วยปรับขนาด ระบบตอบสนองต่อสัญญาณพัลส์ยูนิต เป็นการตอบสนองแบบอิมพัลส์หรือพัลส์ตอบสนอง และด้วยคุณสมบัติการปรับสเกลค่าอินพุตเดี่ยวหรือถ้าคุณต้องการ สร้างการตอบสนอง $x$ $\cdots, ~0, ~0, ~1, ~0, ~0, \cdots$

h [0], h [1], \dots, h [n], \dots

$h[0], ~h[1], \cdots, ~h[n], \cdots$

x [0]

$x[0]$

x [0] (\dots, 0, 0, 1, 0, 0, \dots) = \dots 0, 0, x [0], 0, 0, \dots

$x[0](\cdots, ~0, ~0, ~1, ~0,~ 0, \cdots) = \cdots ~0, ~0, ~x[0], ~0, ~0, \cdots$

x [0] h [0], x [0] h [1], \dots, x [0] h [n], \dots

$x[0]h[0], ~~x[0]h[1], \cdots, ~~x[0]h[n], \cdots$

ค่าอินพุตเดี่ยวหรือสร้าง สร้างการตอบสนอง Notice ความล่าช้าในการตอบสนองต่อ[1] เราสามารถดำเนินการต่อไปในหลอดเลือดดำนี้ได้ แต่เป็นการดีที่สุดที่จะเปลี่ยนเป็นรูปแบบตารางเพิ่มเติมและแสดงผลลัพธ์ที่หลากหลายในเวลาที่เหมาะสม เรามี $x[1]$

x [1] (\dots, 0, 0, 0, 1, 0, \dots) = \dots 0, 0, 0, x [1], 0, \dots

$x[1](\cdots, ~0, ~0, ~0, ~1,~ 0, \cdots) = \cdots ~0, ~0, ~0, ~x[1], ~0, \cdots$

0, x [1] h [0], x [1] h [1], \dots, x [1] h [n - 1], x [1] h [n] \dots

$0, x[1]h[0], ~~x[1]h[1], \cdots, ~~x[1]h[n-1], x[1]h[n] \cdots$

x [1]

$x[1]$

\begin{array}{llllllll} time \to & 0 & 1 & 2 & \dots & n & n + 1 & \dots \\ x [0] & x [0] h [0] & x [0] h [1] & x [0] h [2] & \dots & x [0] h [n] & x [0] h [n + 1] & \dots \\ x [1] & 0 & x [1] h [0] & x [1] h [1] & \dots & x [1] h [n - 1] & x [1] h [n] & \dots \\ x [2] & 0 & 0 & x [2] h [0] & \dots & x [2] h [n - 2] & x [2] h [n - 1] & \dots \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ \\ x [m] & 0 & 0 & 0 & \dots & x [m] h [n - m] & x [m] h [n - m + 1] & \dots \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ \end{array}

$\begin{array}{l|l|l|l|l|l|l|l} \text{time} \to & 0 &1 &2 & \cdots & n & n+1 & \cdots \\ \hline x[0] & x[0]h[0] &x[0]h[1] &x[0]h[2] & \cdots &x[0]h[n] & x[0]h[n+1] & \cdots\\ \hline x[1] & 0 & x[1]h[0] &x[1]h[1] & \cdots &x[1]h[n-1] & x[1]h[n] & \cdots\\ \hline x[2] & 0 & 0 &x[2]h[0] & \cdots &x[2]h[n-2] & x[2]h[n-1] & \cdots\\ \hline \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \\ \hline x[m] & 0 &0 & 0 & \cdots & x[m]h[n-m] & x[m]h[n-m+1] & \cdots \\ \hline \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{array}$ \ ddots \ end {} อาร์เรย์ แถวในอาร์เรย์ดังกล่าวข้างต้นได้อย่างแม่นยำลดขนาดและความล่าช้ารุ่นกระตุ้นการตอบสนองที่เพิ่มขึ้นถึงการตอบสนองต่อเพื่อป้อนสัญญาณx $y$ $x$ แต่ถ้าคุณถามคำถามที่เฉพาะเจาะจงมากขึ้นเช่น

เอาต์พุตที่เวลาคืออะไร $n$

จากนั้นคุณสามารถรับคำตอบได้โดยรวมคอลัมน์ -th เพื่อรับ สูตรการโน้มน้าวใจอันเป็นที่รักของนักเรียนรุ่นต่อรุ่นเนื่องจากการตอบสนองต่อแรงกระตุ้นดูเหมือนว่าจะ "พลิก" หรือย้อนกลับไปตามกาลเวลา แต่สิ่งที่ผู้คนดูเหมือนจะลืมคือเราสามารถเขียน เพื่อให้เป็นอินพุทที่ดูเหมือนว่า "พลิก" หรือย้อนกลับไปตามเวลา! กล่าวอีกนัยหนึ่งมันเป็นมนุษย์ $n$

\begin{aligned} y [n] & = x [0] h [n] + x [1] h [n - 1] + x [2] h [n - 2] + \dots + x [m] h [n - m] + \dots \\ = \sum_{m = 0}^{\infty} x [m] h [n - m], \end{aligned}

$\begin{align*} y[n] &= x[0]h[n] + x[1]h[n-1] + x[2]h[n-2] + \cdots + x[m]h[n-m] + \cdots\\ &= \sum_{m=0}^{\infty} x[m]h[n-m], \end{align*}$

\begin{aligned} y [n] & = x [n] h [0] + x [n - 1] h [1] + x [n - 2] h [2] + \dots + x [0] h [n] + \dots \\ = \sum_{m = 0}^{\infty} x [n - m] h [m], \end{aligned}

$\begin{align*} y[n] &= x[n]h[0] + x[n-1]h[1] + x[n-2]h[2] + \cdots + x[0]h[n] + \cdots\\ &= \sum_{m=0}^{\infty} x[n-m]h[m], \end{align*}$ ที่พลิกการตอบสนองแรงกระตุ้น (หรืออินพุต) มากกว่าเมื่อคำนวณการตอบสนองในเวลาที่โดยใช้สูตรการแปลง แต่ตัวระบบเองก็ไม่ได้เรียงลำดับอะไรเลย

n

$n$

— Dilip Sarwate
แหล่งที่มา

4

นี่คือตัวอย่าง C / C ++ ที่แสดงให้เห็นว่าสามารถทำได้โดยไม่ต้องใช้การตอบสนองแบบอิมพัลส์ย้อนกลับ หากคุณตรวจสอบconvolve_scatter()ฟังก์ชั่นจะไม่ทำให้เกิดตัวแปรใด ๆ นี่คือการกระจายการบิดที่แต่ละตัวอย่างอินพุตถูกกระจาย (สรุปรวม) ไปยังตัวอย่างเอาต์พุตจำนวนมากในหน่วยความจำโดยใช้น้ำหนักที่กำหนดโดยการตอบสนองแบบอิมพัลส์ สิ่งนี้สิ้นเปลืองเพราะตัวอย่างเอาต์พุตจะต้องอ่านและเขียนหลายครั้ง

ปกติบิดจะทำในขณะที่การชุมนุมconvolve_gather()บิดในขณะที่ ในวิธีการนี้แต่ละตัวอย่างผลลัพธ์จะถูกสร้างขึ้นแยกจากกันโดยรวบรวม (รวม) ไปยังตัวอย่างอินพุตโดยมีการตอบสนองแบบอิมพัลส์ย้อนกลับเป็นน้ำหนัก ตัวอย่างเอาต์พุตอยู่ในรีจิสเตอร์ของตัวประมวลผลที่ใช้เป็นตัวสะสมในขณะที่ทำเช่นนี้ นี่เป็นวิธีการที่เลือกเพราะปกติจะมีเพียงหนึ่งหน่วยความจำเขียนต่อแต่ละตัวอย่างกรอง ขณะนี้มีการอ่านอินพุตของหน่วยความจำมากกว่า แต่มีเพียงเท่าที่มีหน่วยความจำอ่านของเอาต์พุตในวิธีการกระจาย

#include <stdio.h>

const int Nx = 5; 
const int x[Nx] = {1, 0, 0, 0, 2};
const int Ny = 3; 
const int y[Ny] = {1, 2, 3};
const int Nz = Nx+Ny-1;
int z[Nz];

void convolve_scatter() { // z = x conv y
  for (int k = 0; k < Nz; k++) {
    z[k] = 0;
  }
  for (int n = 0; n < Nx; n++) {
    for (int m = 0; m < Ny; m++) {
      z[n+m] += x[n]*y[m]; // No IR reversal
    }
  }
}

void convolve_gather() { // z = x conv y
  for (int k = 0; k < Nz; k++) {
    int accu = 0;
    for (int m = 0; m < Ny; m++) {
      int n = k+m - Ny + 1;
      if (n >= 0 && n < Nx) {
        accu += x[n]*y[Ny-m-1]; // IR reversed here
      }
    }
    z[k] = accu;
  }
}

void print() {
  for (int k = 0; k < Nz; k++) {
    printf("%d ", z[k]);
  }
  printf("\n");
}

int main() {
  convolve_scatter();
  print();
  convolve_gather();
  print();
}

มันโน้มน้าวลำดับ:

1 0 0 0 2
1 2 3

และใช้ทั้งสองวิธีการส่งออก convolution:

1 2 3 0 2 4 6

ฉันไม่สามารถจินตนาการได้ว่าใครก็ตามที่ใช้วิธีการกระเจิงยกเว้นว่าตัวกรองนั้นแตกต่างกันไปตามเวลาซึ่งในกรณีนี้ทั้งสองวิธีจะให้ผลลัพธ์ที่แตกต่างกันและวิธีหนึ่งอาจเหมาะสมกว่า

— Olli Niemitalo
แหล่งที่มา

! ที่น่าสนใจ ดังนั้นข้อสรุปสุดท้ายคือสิ่งที่ฉันสนใจที่จะเห็น

— นักวิทยาศาสตร์ที่ล้มเหลว

ความกังวลด้านสถาปัตยกรรมของคุณน่าสนใจ เมื่อพิจารณาถึงแคชที่มีอยู่คำสั่ง SIMD (SSE, AVX) และสถาปัตยกรรมแบบมัลติคอร์วิธีกระจัดกระจายดูเหมือนจะเหมาะสมกว่าสำหรับการคำนวณแบบขนานหรือไม่ แต่ฉันยังไม่ได้ทำการวิเคราะห์อย่างละเอียดว่า ...

— Fat32

@ Fat32 ฉันไม่! คุณหมายถึงการสะสมในการรวบรวมสังวัตนาอาจกลายเป็นคอขวดที่มีหลายคอร์ที่ทำงานเกี่ยวกับการคูณ? ที่สามารถลดได้โดยให้แต่ละคอร์สะสมของตัวเองและรวมพวกเขาในตอนท้าย ฉันคิดว่าค่าโสหุ้ยนี้จะไม่มากเมื่อเทียบกับหน่วยความจำเพิ่มเติมที่เขียนในรูปแบบที่กระจัดกระจาย

— Olli Niemitalo

จริงๆแล้วฉันกังวลเกี่ยวกับประสิทธิภาพของฟอร์มที่กระจัดกระจายมากกว่าคอขวดที่รวบรวมรหัสการกรอง C ปัจจุบันของฉันคือ (ส่วนใหญ่อาจ) ในรูปแบบการรวบรวม แต่เมื่อมาถึงรหัส ASM ฉันมักจะเขียนพวกเขาในส่วนขยาย SIMD SSE ซึ่งมากกว่า รูปแบบที่เหมาะสมที่จะกระจาย ฉันต้องอัปเดต tets ของฉันอย่างไรก็ตาม :-))) หน่วยความจำ IO เป็นปัญหาเมื่อเทียบกับการลงทะเบียนการสะสม และบางทีฉันอาจพลาดโทษของความทรงจำที่ซ้ำซ้อน IO ...

— Fat32

ใครรู้คำที่ดีกว่ากระจัดกระจายและรวบรวม? ฉันไม่แน่ใจว่าสิ่งเหล่านี้สงวนไว้สำหรับกระโชกโฮกฮากหรือไม่

— Olli Niemitalo

3

เป็นเพียง 'พลิก' สำหรับการคำนวณแบบจุด

@Dilip อธิบายว่า Convolt / Integation หมายถึงอะไร แต่เพื่ออธิบายว่าทำไมหนึ่งในสองฟังก์ชั่นอินพุต (บ่อยครั้งh(t)) ถูกพลิกเพื่อการคำนวณให้พิจารณาระบบที่ไม่ต่อเนื่องที่มีการป้อนข้อมูลx[n]และการตอบสนองต่อแรงกระตุ้นh[n]:

คุณสามารถใช้ฟังก์ชั่นอินพุตของคุณx[n]และสำหรับแต่ละตัวอย่างที่ไม่ใช่ศูนย์ * x[n]คำนวณการตอบสนองแรงกระตุ้นที่ปรับขนาดจากตัวอย่างnและเปิดจนกว่าการเปลี่ยนเวลาh[n]จะตายลงเป็นศูนย์ (สมมติว่าเป็นสาเหตุh[n]) นี้จะเกี่ยวข้องกับการไม่มี 'พลิก' (หรือมากกว่าถูกต้อง 'เวลาโอนกลับ) อย่างใดอย่างหนึ่งหรือx[n] h[n]อย่างไรก็ตามในตอนท้ายคุณจะต้องมีการเพิ่ม / เติมเหล่านี้ทั้งหมด + ปรับเปลี่ยน 'สะท้อน' x[n]ของการตอบสนองแรงกระตุ้นสำหรับแต่ละไม่ใช่ศูนย์
หรือเพื่อความสะดวกคุณสามารถย้อนเวลากลับไปหนึ่งในฟังก์ชั่นเกี่ยวกับที่มาของเวลา (โดยปกติคือ 0) ทำให้การคำนวณของคุณ {คูณ, เพิ่ม, คูณ, เพิ่ม, ... } แทน {คูณ, ทวีคูณ, ... , เพิ่ม , เพิ่ม, ... } ซึ่งส่งผลให้สัญญาณเอาต์พุตเดียวกันเพราะจะทำการคูณและเพิ่มการดำเนินการที่แน่นอน ยกตัวอย่างเช่นคิดเกี่ยวกับการมีส่วนร่วมในการส่งออกจากที่ไม่ใช่ศูนย์สัญญาณอินพุตในเวลา x[0]0 เมื่อk= 0 สำหรับสมการการตอบสนองแบบอิมพัลส์จะกลับด้านเวลา แต่ไม่เปลี่ยนกลับทำให้เราตอบกลับตัวอย่างแรกสำหรับซึ่ง เป็น จากนั้นการเพิ่มทีละหนึ่งจะเลื่อนไปทางขวาหนึ่งขั้นตอนเช่นเวลาที่ย้อนกลับ
$\sum_{k = - \infty}^{\infty} x [k] h [n - k]$ $\sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]h[n-k]$ h[n]x[n]x[0]h[0]kh[n]h[n]รายการที่สอง ( h[1]) จะถูกวางไว้ด้านบนของx[0]รอที่จะถูกคูณ สิ่งนี้จะให้การสนับสนุนที่ต้องการx[0]h[1]ในเวลาn=1เช่นเดียวกับที่เคยทำในวิธีการก่อนหน้านี้

* ผมพูดไม่เป็นศูนย์x[n]เพราะกระตุ้นการตอบสนองจะถูกปรับขนาดให้เป็นศูนย์จึงเอื้ออะไรเพื่อผลลัพธ์สุดท้าย

\forall x [n] = 0

$\forall x[n] = 0$ h[n]y[n]

— abc
แหล่งที่มา

"คุณสามารถใช้ฟังก์ชั่นอินพุตของคุณ x [n] และสำหรับแต่ละตัวอย่างที่ไม่เป็นศูนย์ * ตัวอย่าง x [n] คำนวณการตอบสนองของแรงกระตุ้นที่ปรับขนาดจากตัวอย่าง n และเปิดจนกว่าจะเปลี่ยนเวลา h [n] ลงเป็นศูนย์ สาเหตุ h [n]) "ห้าที่เกิดขึ้นในประโยคนี้มีจำนวนเท่ากันหรือแตกต่างกันหรือไม่?

n

$n$

— Dilip Sarwate

@Dilip ทั้งหมด n เหมือนกันยกเว้น 'time-shifted h [n]' ซึ่งหมายถึง 'h [nk]' โดยที่ 'k' เป็นค่าคงที่ที่ใช้ในการเปลี่ยนการตอบสนองต่อแรงกระตุ้นไปยังจุดที่ต้องการสัญญาณ x [n ] เช่น: h [n-2] สำหรับการคำนวณการตอบสนองต่อสัญญาณที่ x [2]

— abc

3

ที่ index c [n] การบิดของ [n] และ b [n] เป็นเช่นนั้น:

"c [n] คือผลรวมของผลิตภัณฑ์ทั้งหมด (a [k] b [m]) เช่นนั้น m + k = n," ดังนั้น m = n - k หรือ k = n - m ซึ่งหมายความว่าหนึ่งในลำดับ จะต้องพลิก

ตอนนี้ทำไมการบิดจึงทำตัวแบบนี้ตั้งแต่แรก? เนื่องจากการเชื่อมต่อกับพหุนามคูณ

การเพิ่มชื่อพหุนามสองผลในพหุนามใหม่ที่มีประสิทธิภาพร่วม ค่าประสิทธิภาพร่วมของพหุนามผลิตภัณฑ์กำหนดการทำงานของการบิด ตอนนี้ในการประมวลผลสัญญาณ, ฟังก์ชั่นการถ่ายโอนการแปลง Laplace หรือ z-แปรรูปเป็นชื่อพหุนามซึ่งแต่ละค่าใช้จ่ายร่วมกันสอดคล้องกับการหน่วงเวลาที่แตกต่างกัน การจับคู่ประสิทธิภาพร่วมของผลิตภัณฑ์และผลคูณในข้อเท็จจริงที่ว่า 'การคูณในการแทนค่าหนึ่งสอดคล้องกับการแปลงในการแทนการแปลง'

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

— Mahesh Shastry
แหล่งที่มา

0

ในระหว่างการโน้มน้าวใจไม่จำเป็นต้องมี "การพลิก" ของการตอบสนองต่อแรงกระตุ้นที่จะเกิดขึ้นเลย ...

อย่างไรก็ตามหากคุณต้องการป้องกันการเปลี่ยนแปลงเฟสใด ๆ คุณสามารถโน้มน้าวสัญญาณด้วยการตอบสนองแบบอิมพัลส์จากนั้นย้อนกลับการตอบสนองแบบอิมพัลส์และปรับเปลี่ยนรูปแบบใหม่เพื่อยกเลิกผลเฟส

ในการประมวลผลออฟไลน์คุณสามารถย้อนกลับสัญญาณได้อย่างง่ายดายหลังจากการสังวัตนาครั้งแรกเพื่อให้ได้ข้อสรุปเดียวกัน (ตามความคิดเห็นที่แนะนำ)

— learnvst
แหล่งที่มา

3

y (t) = \int_{- \infty}^{\infty} x (τ) h (t - τ) d τ

$y(t) = \int_{-\infty}^{\infty}x(\tau) h(t-\tau) d\tau$

h (t)

$h(t)$

x (t) * h (t) = h (t) * x (t)

$x(t) * h(t) = h(t) * x(t)$

@JasonR อ๊ะโอ้โห! บางครั้งก็ยากที่จะดูว่าคำถามนี้เกิดขึ้นที่ใด Izhak เมื่อคุณเข้าใจคำตอบที่คุณกำลังมองหาคุณจะเข้าใจว่าฉันกำลังจะไปที่ไหน ไม่สนใจฉันตอนนี้!

— เรียนรู้เริ่ม

0

\int_{- \infty}^{\infty} f (τ) g (t - τ) d τ

$\int_{-\infty}^\infty f(\tau) g(t-\tau) d\tau$

\iint_{t_{1} + t_{2} = t} f (t_{1}) g (t_{2}) d t_{1} d t_{2}

$\iint\nolimits_{t_1+t_2 = t} f(t_1) \, g(t_2) \, dt_1\, dt_2$

f

$f$

g

$g$

t

$t$

ตอนนี้แบบฟอร์มการทอผ้าด้วยมือแสดงให้เห็นถึงความสมมาตรที่เกี่ยวข้องอย่างชัดเจนและไม่มี "การพลิก" ที่เกี่ยวข้อง อย่างไรก็ตามการแปลงให้เป็นอินทิกรัลมิติเดียวที่เหมาะสมต้องทำให้อาร์กิวเมนต์หนึ่งในสองตัวนั้นเป็นตัวแปรการรวมที่เกิดขึ้นจริง ไม่ว่าจะเป็นหรือการหารูปแบบสมมาตรแบบแข็งไม่เกี่ยวข้องกับการล้างมือ หลังมีเล่ห์เหลี่ยม โดยทั่วไปคุณจะต้องกลับสู่ภาวะปกติทำให้บางอย่าง (เมื่อใช้ฟังก์ชัน / การแจกจ่ายเดลต้าเดลต้า) เช่น ถ้าคุณจัดเรียงใหม่ในทางเดียวคุณจะได้รับ และจากคุณสมบัติการกรองของผู้ประกอบการ Dirac

\iint_{t_{1}, t_{2}} f (t_{1}) g (t_{2}) δ (t - t_{1} - t_{2}) d t_{1} d t_{2}

$\iint_{t_1,t_2} f(t_1)\,g(t_2)\,\delta(t-t_1-t_2)\,dt_1\,dt_2$

\int_{t_{1}} f (t_{1}) d t_{1} \int_{t_{2}} g (t_{2}) δ (t - t_{1} - t_{2}) d t_{2}

$\int_{t_1}f(t_1)\, dt_1\int_{t_2}g(t_2) \delta(t-t_1-t_2) \,dt_2$

\int_{t_{1}} f (t_{1}) d t_{1} g (t - t_{1})

$\int_{t_1}f(t_1)\,dt_1\,g(t-t_1)$ ซึ่งเป็นส่วนประกอบดั้งเดิมที่มีการเปลี่ยนชื่อเล็กน้อย