เหตุใดการเปลี่ยนแปลงแบบสองทางในคู่มือนี้จึงให้ผลลัพธ์ที่แตกต่างจาก Matlab

10

ฉันมีตัวกรองบัตเตอร์เวิลำดับแรกที่มีความถี่ในการตัด\ฟังก์ชั่นการถ่ายโอนของมันคือตอนนั้น $\omega_c$

H (s) = \frac{ω_{c}}{s + ω_{c}}

$H(s) = \frac{\omega_c}{s+\omega_c}$

การใช้การแปลงบิลิแนร์เพื่อหา (ฟังก์ชั่นนั้นเรียกว่าอะไร?) ฉันได้รับ $H(z)$

H (z) = \frac{ω_{c}}{\frac{2}{T} \frac{z - 1}{z + 1} + ω_{c}} = \frac{ω_{c} z + ω_{c}}{(\frac{2}{T} + ω_{c}) z + ω_{c} - \frac{2}{T}}

$H(z)=\frac{\omega_c}{\frac{2}{T}\frac{z-1}{z+1} + \omega_c} = \frac{\omega_c z + \omega_c}{\left(\frac{2}{T}+\omega_c\right)z + \omega_c-\frac{2}{T}}$

อย่างไรก็ตามฉันไม่สามารถตกลงผลลัพธ์นี้กับสิ่งที่ Matlab กำลังทำอยู่ ดูเหมือนว่าผิดไม่ว่ามูลค่าของเท่าฉันคิดว่าและด้านล่างนี้มีค่าสัมประสิทธิ์ของ(z) $T$ BA $H(z)$

>> [B,A] = butter(1,0.5)
B = 0.5000    0.5000
A = 1.0000   -0.0000
>> [B,A] = butter(1,0.6)
B = 0.5792    0.5792
A = 1.0000    0.1584
>> [B,A] = butter(1,0.7)
B = 0.6625    0.6625
A = 1.0000    0.3249
>> [B,A] = butter(1,0.8)
B = 0.7548    0.7548
A = 1.0000    0.5095

ฉันเข้าใจผิดอะไร

filters matlab

— อันเดรีย
แหล่งที่มา

MATLAB ไม่ได้ใช้การแปลงแอนะล็อกเป็นดิจิทัล มันออกแบบตัวกรองแบบดิจิทัลดังนั้นแนวคิดการแปลงไบนิอาร์อาจไม่สามารถใช้ได้

— Phonon

1

@Phonon: คำตอบนี้ดูเหมือนจะบ่งบอกว่า Matlab ใช้การแปลงไบลิเนียร์ในทางใดทางหนึ่ง

— Andreas

มาช้าไปที่เกมตรงนี้ แต่ฟังก์ชั่นตัวพิมพ์ใหญ่ทั้งหมด H ของ z / s / \ omega มักจะเรียกว่าฟังก์ชันถ่ายโอน เมื่อการโต้แย้งเป็นเวลาหรือตัวอย่างมันเรียกว่าการตอบสนองต่อแรงกระตุ้นและมักจะลดระดับลง h ดังนั้นฟังก์ชั่นการถ่ายโอนคือการแปลง (Z, ฟูริเยร์, Laplace ขึ้นอยู่กับการใช้งาน) ของการตอบสนองแบบอิมพัลส์

— Emanuel Landeholm

10

สิ่งที่สอง:

ก่อนที่จะทำการแทนที่คุณต้องprewarpความถี่ cutoff โดยทำการแทนที่: $s = \frac{2}{T} \frac{z-1}{z+1}$

ω_{c, w} = \frac{2}{T} \tan (ω_{c} \frac{T}{2})

$\omega_{c,w} = \frac{2}{T} \tan (\omega_c\frac{T}{2})$

โดยที่คือความถี่ตัดยอดที่แปรปรวน สิ่งนี้เป็นสิ่งจำเป็นเนื่องจากการแปลงรูปแบบไบลิเนียร์จะทำแผนที่ระนาบครึ่งซ้ายในโดเมน Laplace (ใช้ในการออกแบบตัวกรองแบบอะนาล็อก) ไปยังหน่วยวงกลมในโดเมนในโดเมนแบบไม่เชิงเส้น ดังนั้นเมื่อคุณเข้าใกล้อัตรา Nyquist (ความถี่ดิจิตอลของ ) การประมาณต้นแบบตัวกรองแบบอะนาล็อกจะไม่ถูกต้อง $\omega_{c,w}$ $z$ $\pm \pi$

นอกจากนี้พารามิเตอร์ที่สองที่คุณจะผ่านไปยังbutterฟังก์ชั่นเป็นตัดความถี่ปกติไม่ได้สุ่มตัวอย่างช่วงTความถี่ปกติที่ใช้โดยฟังก์ชันนั้นอยู่ในช่วงและเท่ากับอัตราส่วนของความถี่คัตออฟที่ต้องการต่ออัตรา Nyquist: $T$ $(0,1)$

ω_{n} = \frac{ω_{c}}{2 π \frac{f_{s}}{2}}

$\omega_n = \frac{\omega_c}{2 \pi \frac{f_s}{2}}$

ω_{n} = \frac{ω_{c}}{π f_{s}}

$\omega_n = \frac{\omega_c}{\pi f_s}$

ω_{n} = \frac{ω_{c} T}{π}

$\omega_n = \frac{\omega_c T}{\pi}$

— เจสันอาร์
แหล่งที่มา

ขอบคุณ! ตอนนี้ฉันได้ค่าสัมประสิทธิ์ที่ถูกต้องแล้ว นี่ฉันแทนที่สำหรับในการแสดงออกสำหรับ(z) สิ่งนี้ทำงานได้เพราะฉันรู้ว่าความถี่คัตออฟมีผลต่อตัวกรอง Butterworth หรือไม่ เกิดอะไรขึ้นถ้าฉันมีตัวกรองทั่วไปและเพิ่งรู้ว่าเสา (และเลขศูนย์) ของ ? ฉันจะรู้ได้อย่างไรว่าค่าใดที่จะทดแทน

ω_{c}

$\omega_c$

o m e g a_{c}, w

$omega_c,w$

H (z)

$H(z)$

H (s)

$H(s)$

— Andreas

เพราะฉันคิดว่าการแปลง bilinear ของเหตุผลสามารถทำได้โดยรู้เพียงแค่ความถี่ตัวอย่างไม่ใช่ความถี่ cutoff (ปกติ)?

H (s)

$H(s)$

— Andreas

คุณสามารถใช้การแปลง bilinear เพื่อแมประบบ -domain ใด ๆเป็นการประมาณในโดเมนไม่จำเป็นต้อง prewarping แต่ข้อแม้ที่ทำให้ระบบไม่ต่อเนื่อง - เวลาเป็นเพียงการประมาณกับระบบแอนะล็อกใช้ Prewarping ความถี่ใด ๆ ที่น่าสนใจช่วยให้คุณ "ยืด" การทำแผนที่เพื่อให้ภูมิภาคของแถบความถี่ที่คุณสนใจมากที่สุดนั้นมีความเพี้ยนเล็กน้อยจากตัวกรองต้นแบบที่สุดเท่าที่จะทำได้

s

$s$

z

$z$

— Jason R

5

เมื่อเปิดรหัสสำหรับbutterฟังก์ชั่นของ MATLAB เราจะเห็นว่ามันใช้ความถี่ก่อนการแปรปรวน :

%# step 1: get analog, pre-warped frequencies
if ~analog,
    fs = 2;
    u = 2*fs*tan(pi*Wn/fs);
else
    u = Wn;
end

— phonon
แหล่งที่มา