ทำไมความสัมพันธ์อัตโนมัติได้รับจุดสูงสุดที่ศูนย์?

11

ฉันรู้ว่าฟังก์ชั่นการเปลี่ยนภาพอัตโนมัติเป็นศูนย์มีค่าเท่ากับพลังงาน แต่ฉันต้องการที่จะเข้าใจว่าทำไมจุดสูงสุดเป็นศูนย์

autocorrelation

นี่คือคำอธิบายที่ดีสนุกได้เลย! personal.maths.surrey.ac.uk/st/J.Deane/Teach/eee2035/…

— ampholyte

10

คุณกำลังมองหาหลักฐานอย่างเป็นทางการหรือปรีชาหลังนี้หรือไม่? ในกรณีต่อมา: "ไม่มีอะไรที่คล้ายคลึงกับฟังก์ชั่นมากกว่าตัวของมันเอง" อัตที่ล่าช้ามาตรการความคล้ายคลึงกันระหว่างฟังก์ชั่นและฟังก์ชั่นเดียวกันโดยขยับτโปรดสังเกตว่าถ้าเป็นคาบเลื่อนด้วยจำนวนเต็มใด ๆ ของและเหมือนกันดังนั้น autocorrelation จึงมีรูปร่างหวี - โดยมียอดเขาที่จำนวนเต็มทวีคูณของช่วงเวลาที่มีความสูงเท่ากับจุดสูงสุดกลาง $\tau$ $f$ $\tau$ $f$ $f$ $\tau$ $f$

— pichenettes
แหล่งที่มา

2

@JasonR สัญญาณจำกัด พลังงาน (ซึ่งเป็นสิ่งที่ OP ถามเกี่ยวกับเนื่องจากเขาบอกว่าฟังก์ชั่น autocorrelation ที่ zero lag เป็นพลังงาน) ไม่สามารถเป็นระยะและดังนั้นครึ่งหลังของคำตอบนี้ไม่สามารถใช้กับคำถามของ OP ได้ แต่จะนำไปใช้กับฟังก์ชั่น autocorrelation เป็นระยะซึ่งเป็นตัวกำหนดสำหรับสัญญาณเป็นระยะ ในคำตอบของฉันฉันได้พยายามแยกแยะระหว่างสองกรณีนี้และยังชี้ให้เห็นว่าฟังก์ชั่น autocorrelation ของสัญญาณเป็นระยะอาจมีหุบเขาเป็นระยะลึกกว่าจุดยอด

— Dilip Sarwate

@Dilip: เช่นเคยคะแนนที่ดี

— Jason R

มันไม่ได้เป็นข้อพิสูจน์ไม่ได้ใกล้เคียงกับการพิสูจน์ คำที่ใช้งานได้เพียงเพราะคุณรู้คำตอบ

— John Smith

7

ฟังก์ชั่น autocorrelation ของสัญญาณ จำกัด พลังงานแบบไม่ต่อเนื่อง - เวลา aperiodic ถูกกำหนดโดย

R_{x} [n] = \sum_{m = - \infty}^{\infty} x [m] x [m - n] or R_{x} [m] = \sum_{m = - \infty}^{\infty} x [m] (x [m - n])^{*}

$R_x[n] = \sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]x[m-n]~~~~ \text{or}~~~ R_x[m] = \sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m](x[m-n])^*$ สำหรับสัญญาณจริงและสัญญาณที่ซับซ้อนตามลำดับ การ จำกัด ตัวเองให้สัญญาณจริงเพื่อความสะดวกในการแสดงออกให้เราพิจารณาตัวตั้ง

x [m] x [m - n]

$x[m]x[m-n]$ ]

สำหรับการหน่วงเวลาคงที่

n

$n$ และ a ที่กำหนด

m

$m$ ,

x [m] x [m - n]

$x[m]x[m-n]$ โดยทั่วไปจะมีค่าเป็นบวกหรือลบ หากเกิดขึ้นเช่นนั้นสำหรับความล่าช้าที่เฉพาะเจาะจง

n

$n$ ,

x [m] x [m - n]

$x[m]x[m-n]$ นั้นไม่จำเป็นสำหรับทุกคน

m

$m$ แล้วทุกเงื่อนไขในผลรวมจะเพิ่มขึ้น (ยกเลิก) และอื่น ๆ

R_{x} [n]

$R_x[n]$ รับประกันได้ว่าจะมีค่าเป็นบวก ในความเป็นจริงผลรวมจะใหญ่ที่สุดถ้ายอดทั้งหมดใน

x [m - n]

$x[m-n]$ สอดคล้องกับยอดใน

x [m]

$x[m]$ และหุบเขาใน

x [m - n]

$x[m-n]$ สอดคล้องกับหุบเขาใน

x [m]

$x[m]$ ]

ตัวอย่างเช่นถ้า

x

$x$ เป็นฟังก์ชัน sinc ที่สุ่มตัวอย่างมากขึ้นให้พูดว่า

x [m] = {\begin{cases} \frac{\sin (0.1 π m)}{0.1 π m}, & m \neq 0, \\ 1, & m = 0 \end{cases}

$x[m] = \begin{cases} \frac{\sin(0.1 \pi m)}{0.1 \pi m}, & m \neq 0,\\ 1, & m = 0\end{cases}$ โดยมี peaks ที่

m = 0, \pm 25, \pm 45, \dots

$m = 0, \pm 25, \pm 45, \ldots$ และหุบเขาที่

\pm 15, \pm 35, \pm 55, \dots

$\pm 15, \pm 35, \pm 55, \ldots$

x (t)

$x(t)$ จากนั้น

R_{x} [n]

$R_x[n]$ จะมีค่า สูงสุดที่

n = 0, \pm 25, \pm 45, \dots

$n = 0, \pm 25, \pm 45, \ldots$ (และด้วยโทเค็นเดียวกันจะมีminimaที่

n = \pm 15, \pm 35, \pm 55, \dots

$n = \pm 15, \pm 35, \pm 55, \ldots$ เมื่อยอดเขาเข้าแถวกับหุบเขา) ทั่วโลกสูงสุดของ

R_{x} [n]

$R_x[n]$ จะเห็นได้ชัดที่ล่าช้า

n = 0

$n = 0$ เมื่อยอดเขาที่สูงที่สุดใน

x [m]

$x[m]$ และ

x [m - n]

$x[m-n]$ ตรง อันที่จริงข้อสรุปนี้ใช้ไม่ได้กับสัญญาณ sinc เท่านั้น แต่ใช้กับทุกคนสัญญาณ. ที่lag

n = 0

$n = 0$ เรามี

R_{x} [0] = \sum_{m = - \infty}^{\infty} (x [m])^{2}

$R_x[0] = \sum_{m=-\infty}^\infty (x[m])^2$ และเรารับประกันว่าไม่เพียง แต่เป็นยอดเขาและหุบเขาทั้งหมดที่เรียงรายกัน (ไม่ว่าจะอยู่ที่ใด เกิดขึ้นใน

x [m]

$x[m]$ ) แต่ยังรวมถึงจุดสูงสุดและหุบเขาที่ลึกที่สุด

อย่างเป็นทางการมากขึ้นสำหรับคนเดินถนนเช่น @JohnSmith ที่ต้องการการพิสูจน์อย่างเป็นทางการความไม่เท่าเทียมกันของ Cauchyกล่าวว่าสำหรับลำดับที่ซับซ้อนที่มีมูลค่า $u$ และ $v$ ,

{| \sum_{m} u [m] (v [m])^{*} |}^{2} \leq \sum_{m} | u [m] |^{2} \sum_{n} | v [m] |^{2} .

- \sqrt{\sum_{m} {(u [m])}^{2} \sum_{m} {(v [m])}^{2}} \leq \sum_{m} u [m] v [m] \leq \sqrt{\sum_{m} {(u [m])}^{2} \sum_{m} {(v [m])}^{2}}

$-\sqrt{\sum_m \left(u[m]\right)^2 \sum_m \left(v[m]\right)^2} \leq \sum_m u[m]v[m] \leq \sqrt{\sum_m \left(u[m]\right)^2 \sum_m \left(v[m]\right)^2}$ ที่ความเสมอภาคอยู่ในขอบเขตบน (ล่าง) หากมีจำนวนบวก (ลบ)

λ

$\lambda$ เช่นนั้น

u = λ v

$u = \lambda v$ (นั่นคือ

u [m] = λ v [m] \forall m

$u[m]=\lambda v[m] ~ \forall m$ โดยที่

λ > 0

$\lambda > 0$ (

λ < 0

$\lambda < 0$ )) จำได้ว่าเงินก้อนภายในรากเป็นพลังงาน

E_{u}

$\mathcal E_u$ และ

E_{v}

$\mathcal E_v$ ของลำดับที่เราสามารถเขียนว่า

- \sqrt{E_{u} E_{v}} \leq \sum_{m} u [m] v [m] \leq \sqrt{E_{u} E_{v}}

$-\sqrt{\mathcal E_u \mathcal E_v} \leq \sum_m u[m]v[m] \leq \sqrt{\mathcal E_u \mathcal E_v}$ การตั้งค่า

u [m] = x [m]

$u[m] = x[m]$ และ

v [m] = x [m - n]

$v[m] = x[m-n]$ โดยที่

n

$n$ คือจำนวนเต็มบางส่วนเรามี

- \sqrt{\sum_{m} {(x [m])}^{2} \sum_{m} {(x [m - n])}^{2}} \leq R_{x} [n] \leq \sqrt{\sum_{m} {(x [m])}^{2} \sum_{m} {(x [m - n])}^{2}}

$-\sqrt{\sum_m \left(x[m]\right)^2 \sum_m \left(x[m-n]\right)^2} \leq R_x[n] \leq \sqrt{\sum_m \left(x[m]\right)^2 \sum_m \left(x[m-n]\right)^2}$ และตระหนักว่าตอนนี้

E_{u} = E_{v} = E_{x}

$\mathcal E_u = \mathcal E_v = \mathcal E_x$ เรามี

- E_{x} \leq R_{x} [n] \leq E_{x}

$-\mathcal E_x \leq R_x[n] \leq \mathcal E_x$ ด้วยความเสมอภาค ถือหนึ่งในขอบเขตถ้า

x [m] = λ x [m - n]

$x[m] = \lambda x[m-n]$ สำหรับทุกเมตร

m

$m$ ในที่สุดการสังเกตว่า

E_{x} = \sum_{m} (x [m])^{2} = R_{x} [0]

$\mathcal E_x = \sum_m (x[m])^2 = R_x[0]$ และเมื่อ

n = 0

$n=0$ ลำดับ

u [m] = x [m]

$u[m] = x[m]$ จะเหมือนกับลำดับ

v [m] = x [m - n] = x [m - 0] = x [m]

$v[m] = x[m-n] = x[m-0] = x[m]$ (นั่นคือ

λ = 1

$\lambda = 1$ เป็นจำนวนจริงบวกดังกล่าวว่า

u [m] = λ v [m]

$u[m] = \lambda v[m]$ สำหรับทุก

m

$m$ ) เรามีที่

- R_{x} [0] \leq R_{x} [n] \leq R_{x} [0]

$-R_x[0] \leq R_x[n] \leq R_x[0]$ แสดงว่า

R_{x} [n]

$R_x[n]$ มีค่าสูงสุดที่

n = 0

$n=0$ ค่า autocorrelation อื่น ๆ ทั้งหมดนั้นเล็กกว่าค่าสูงสุดนี้

$x[m]$ $R_x[n]$

R_{x} [n] = \sum_{m = 0}^{N - 1} x [m] (x [m - n])

$R_x[n] = \sum_{m=0}^{N-1} x[m](x[m-n])$

N

$N$

x [m]

$x[m]$

x [m] = x [m - N]

$x[m] = x[m-N]$

m

$m$

R_{x} [n]

$R_x[n]$

n

$n$

R_{x} [0] \geq | R_{x} [n] |

$R_x[0] \geq |R_x[n]|$

1 < n < N

$1 < n < N$

R_{x} [0]

$R_x[0]$

R_{x} [k N] = R_{x} [0]

$R_x[kN] = R_x[0]$

k

$k$

R_{x} [n] = - R_{x} [0]

$R_x[n] = -R_x[0]$

n \in {1, 2, \dots, N - 1}

$n \in \{1, 2, \ldots, N-1\}$

n = N / 2

$n = N/2$

N

$N$

N = 2

$N=2$

[1 - 1]

$[1 ~ -1]$

[2 - 2]

$[2 ~ -2]$

R_{x} [n]

$R_x[n]$

2

$2$

n

$n$

0

$0$

- 2

$-2$

n

$n$

N

$N$

\vec{x}

$\vec{x}$

[\vec{x^{'}}, - \vec{x^{'}}]

$[\vec{x^\prime}, -\vec{x^\prime}]$

— Dilip Sarwate
แหล่งที่มา

3

การใช้

{(x [n] - x [n + m])}^{2} = x^{2} [n] + x^{2} [n + m] - 2 x [n] x [n + m]

$\left(x[n] - x[n+m] \right)^2 = x^2[n] + x^2[n+m] - 2x[n]x[n+m]$

ใครสามารถแสดงให้เห็นว่า

\begin{aligned} R_{x} [m] & = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] x [n + m] \\ = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x^{2} [n] - \frac{1}{2} \sum_{n = - \infty}^{\infty} {(x [n] - x [n + m])}^{2} \\ = R_{x} [0] - \frac{1}{2} \sum_{n = - \infty}^{\infty} {(x [n] - x [n + m])}^{2} \end{aligned}

$\begin{align} R_x[m] & = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]x[n+m] \\ & = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x^2[n] - \frac{1}{2} \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(x[n] - x[n+m] \right)^2 \\ & = \ R_x[0] \quad \quad - \frac{1}{2} \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(x[n] - x[n+m] \right)^2 \\ \end{align}$

$R_x[0]$ $R_x[m]$ $R_x[0]$ $m$

— โรเบิร์ตบริสโต - จอห์นสัน
แหล่งที่มา

1

คำตอบที่ถูกต้องเท่านั้นที่นี่ ขอบคุณมากฉันมีปัญหาในการค้นหาด้วยตนเอง

— John Smith