วิธี 'ขาว' สัญญาณโดเมนเวลาได้อย่างไร

ฉันพยายามที่จะเข้าใจวิธีการใช้งานสิ่งที่เรียกว่าตัวกรอง 'pre-whitening' หรือเพียงแค่ตัวกรอง 'whitening'

ฉันเข้าใจว่าจุดประสงค์คือทำให้เดลต้าเป็นฟังก์ชั่นความสัมพันธ์อัตโนมัติ แต่ฉันไม่แน่ใจว่าจะทำสิ่งนี้ได้อย่างไร

บริบทที่นี่มีดังต่อไปนี้: รับสัญญาณที่ตัวรับสัญญาณที่แตกต่างกันสองตัวและคำนวณความสัมพันธ์ข้าม ความสัมพันธ์ข้ามสามารถมีลักษณะเป็นรูปสามเหลี่ยมหรือรูปทรงอื่น ๆ ที่ได้รับพระเจ้า ด้วยเหตุนี้จึงเป็นการยากที่จะค้นหาจุดสูงสุดของสัญญาณข้ามสหสัมพันธ์ ในกรณีนี้ฉันได้ยินเกี่ยวกับการต้อง 'ขาว' สัญญาณก่อนที่ความสัมพันธ์ข้ามจะดำเนินการกับพวกเขาเช่นนั้นข้ามความสัมพันธ์เป็นเหมือนเดลต้า

สิ่งนี้ทำได้อย่างไร

ขอบคุณ!

สมมติว่าคุณมีสัญญาณและซึ่งมีฟังก์ชันความสัมพันธ์ข้ามไม่ใช่สิ่งที่คุณต้องการ คุณต้องการให้เป็นแบบดั่งแรงกระตุ้น โปรดทราบว่าในโดเมนความถี่ ดังนั้นคุณกรองสัญญาณผ่านตัวกรองเชิงเส้นและตามลำดับเพื่อรับ ,และ , , และตอนนี้ฟังก์ชั่นความสัมพันธ์ข้ามคือ ซึ่งการแปลงฟูริเยร์ $x(t)$$y(t)$$R_{x,y}(t)$$R_{x,y}$

$$\mathcal{F}[R_{x,y}] = S_{x,y}(f) = X(f)Y^*(f).$$ $g$$h$$\hat{x}(t) = x*g$$\hat{X}(f) = X(f)G(f)$$\hat{y} = y*h$$\hat{Y}(f) = Y(f)H(f)$$R_{\hat{x},\hat{y}}$ $$\begin{align*} \mathcal{F}[R_{\hat{x},\hat{y}}] = S_{\hat{x},\hat{y}}(f) &= [X(f)G(f)][Y(f)H(f)]^*\\ &= [X(f)Y^*(f)][G(f)H^*(f)]\\ &= [X(f)Y^*(f)][G^*(f)H(f)]^*, \end{align*}$$ นั่นคือเป็นข้ามความสัมพันธ์ของกับ g} คุณต้องการเลือกและเพื่อให้ความหนาแน่นข้ามสเปคตรัมของและเป็นอินเวอร์สคูณของ ความหนาแน่นข้ามสเปคตรัมของและ$R_{\hat{x},\hat{y}}$$R_{x,y}$$R_{h,g}$$g$$h$ $G(f)H^*(f)$$g$$h$ $X(f)Y^*(f)$$x$$y$หรือบางสิ่งที่ใกล้เคียง หากคุณมีสัญญาณเดียวและตัวกรองเดียวคุณจะได้รับผลลัพธ์ที่ได้รับจาก Hilmar (พร้อมการแก้ไขตามที่ระบุไว้ในความคิดเห็นของฉันที่นั่น) ไม่ว่าในกรณีใดปัญหาของการชดเชยสเปกตรัมว่างหรือโดยทั่วไปแถบความถี่ที่สัญญาณยังคงมีพลังงานอยู่เล็กน้อย

การฟอกสีฟันล่วงหน้าสามารถทำได้โดยการกรองด้วยฟังก์ชั่นการถ่ายโอนซึ่งเป็นค่าผกผันของสเปกตรัมพลังงานของสัญญาณ สมมติว่าคุณมีสัญญาณเสียงที่เป็นสีชมพูประมาณ เพื่อให้ขาวขึ้นคุณจะใช้ตัวกรองสีชมพูผกผัน (การตอบสนองความถี่เพิ่มขึ้น 3 dB ต่อคู่)

อย่างไรก็ตามฉันไม่แน่ใจว่าสิ่งนี้จะช่วยคุณได้หรือไม่ การฟอกสีฟันล่วงหน้ามีแนวโน้มที่จะขยายส่วนพลังงานต่ำในสัญญาณซึ่งอาจมีเสียงดังและเพิ่มเสียงโดยรวมในระบบของคุณ หากคุณพยายามที่จะกำหนดว่าสัญญาณสองสัญญาณนั้นมีการจัดเรียงเวลา (หรือเวลาคืออะไร) ก็จะมีปัญหาทางธรรมชาติที่เกี่ยวข้องกับแบนด์วิดท์ของสัญญาณ นั่นแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนในรูปแบบโดเมนเวลาของฟังก์ชันความสัมพันธ์อัตโนมัติ 

มีวิธีที่ง่ายทั่วไปในการทำให้เวกเตอร์ได้รับชุดข้อมูลตัวอย่าง มันยังไม่ชัดเจนจากคำถามของคุณหากขนาดของจะเป็น 2 หรือถ้าคุณกำลังรวมหน้าต่างชั่วคราวแบบเลื่อน อย่างไรก็ตามคุณต้องการ decorrelate องค์ประกอบของx การทำเช่นนี้ในโดเมนความถี่สำหรับปัญหาอย่างง่ายนั้นยากลำบาก$\bf x$$\bf x$$\bf x$

สมมติว่าคุณเริ่มต้นด้วยชุดข้อมูลตัวอย่างที่ประกอบด้วยตัวอย่างของเวกเตอร์ข้อมูล - นี่อาจเป็นชุดตัวอย่างของสัญญาณทั้งสองในเวลาที่ต่างกัน คุณลบชุดข้อมูลหมายความว่าค่าเฉลี่ยของเป็นศูนย์ จากนั้นคุณต้องคำนวณเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมของข้อมูลโดยที่คือจำนวนตัวอย่างข้อมูลและเป็นดัชนีขององค์ประกอบของซึ่งหากมี 2 สัญญาณเพิ่งเปลี่ยนจาก 0 ถึง 1 เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมในกรณีนี้จะเป็น 2x2C i j = $\bf x$Ni,j$C_{ij} = \frac{1}{N}\sum_{{\bf x}\in Data}x_i x_j$$N$$i,j$$\bf x$

เมื่อคุณมีเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมนี้คุณสามารถคำนวณการแปลงไวท์เทนนิ่งในรูปแบบของเมทริกซ์เพื่อคูณข้อมูลเพื่อให้ได้รุ่นที่ขาวขึ้น ความแปรปรวนร่วมของข้อมูลสีขาวใหม่นี้คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

ข้อมูลจะเป็นสีขาวx} นี่เป็นเพียงเวอร์ชันเมทริกซ์ในการคำนวณความแปรปรวนของชุดข้อมูลตัวอย่างแล้วหารข้อมูลใหม่ด้วยสแควร์รูทของความแปรปรวนเพื่อทำให้มาตรฐานเบี่ยงเบนมาตรฐาน${\bf y} = C^{-1/2}{\bf x}$

คุณสามารถคำนวณโดยใช้การสลายตัว Cholesky ที่ T สำหรับเมทริกซ์ 2x2 มันเป็นเรื่องง่ายมากใช้พีชคณิตง่าย ข้อมูลสีขาวถูกกำหนดโดยซึ่งเป็นรูปสามเหลี่ยมที่ต่ำกว่าสามารถคำนวณได้อย่างมีประสิทธิภาพโดยนักแก้ปัญหาทั่วไปโดยไม่ต้องสร้างผกผัน C = L L T Y = L - 1 x$C^{-1/2}$$C=LL^T$${\bf y}=L^{-1}{\bf x}$$L$

หากเป็นเพียงวิธีการกรองชิ้นส่วนพลังงานต่ำในสัญญาณคุณสามารถใช้ตัวกรอง lowpass ได้หรือไม่? มีการใช้งานบางอย่างเกี่ยวกับเรื่องนี้

ถ้าเป็นประโยชน์ของเขา: บทความนี้จาก Karjalaien และ อัลเป็นเรื่องเกี่ยวกับตัวกรองฟอกสีฟันและวิธีการทำนายเชิงเส้นโค้งซึ่งถูกใช้โดยตัวกรอง