เวฟเล็ตแปลงค่าสัมประสิทธิ์ความถี่ใด

ด่วนแปลงฟูเรียใช้เวลาการดำเนินงานในขณะที่จานด่วนแปลงเวฟเล็ตใช้เวลา(N) แต่ FWT คำนวณอะไรโดยเฉพาะ?$\mathcal O(N \log N)$$\mathcal O(N)$

แม้ว่าจะมีการเปรียบเทียบบ่อยครั้ง แต่ดูเหมือนว่า FFT และ FWT เป็นแอปเปิ้ลและส้ม ตามที่ฉันเข้าใจมันจะเป็นการดีกว่าที่จะเปรียบเทียบ STFT (FFTs ของชิ้นเล็ก ๆ เมื่อเวลาผ่านไป) กับMorlet WT ที่ซับซ้อนเนื่องจากทั้งคู่เป็นตัวแทนความถี่เวลาตามไซนัสที่ซับซ้อน (โปรดแก้ไขฉันหากฉันผิด ) นี่มักจะแสดงด้วยแผนภาพดังนี้:

( อีกตัวอย่าง )

ทางด้านซ้ายแสดงให้เห็นว่า STFT เป็นพวงของ FFTs ซ้อนกันอยู่ด้านบนของเวลาที่ผ่านไป (การแสดงนี้เป็นที่มาของspectrogram ) ในขณะที่ด้านขวาแสดง dyadic WT ซึ่งมีความละเอียดเวลาที่ดีกว่าที่ความถี่สูงและความถี่ที่ดีขึ้น ความละเอียดที่ความถี่ต่ำ (การแสดงนี้เรียกว่าscalogram ) ในตัวอย่างนี้สำหรับ STFT เป็นจำนวนคอลัมน์แนวตั้ง (6) และเป็นหนึ่งเดียวการดำเนินการ FFT คำนวณแถวเดียวของสัมประสิทธิ์จากตัวอย่าง รวมเป็น 8 FFTs ของ 6 คะแนนแต่ละหรือ 48 ตัวอย่างในโดเมนเวลาO ( N บันทึกN ) N $N$$\mathcal O(N \log N)$$N$$N$

สิ่งที่ฉันไม่เข้าใจ:

• สัมประสิทธิ์การคำนวณการดำเนินงาน FWT เดียวมีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเท่าใดและพวกเขาอยู่ที่ไหนในแผนภูมิเวลาความถี่ด้านบน $\mathcal O(N)$

• รูปสี่เหลี่ยมใดที่ได้รับการเติมด้วยการคำนวณเดียว?

• หากเราคำนวณบล็อกพื้นที่เท่ากับค่าสัมประสิทธิ์ความถี่เวลาโดยใช้ทั้งสองเราจะได้รับข้อมูลจำนวนเท่ากันหรือไม่

• FWT ยังมีประสิทธิภาพมากกว่า FFT หรือไม่

ตัวอย่างคอนกรีตที่ใช้PyWavelets :

In [2]: dwt([1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], 'haar')
Out[2]:
(array([ 0.70710678,  0.        ,  0.        ,  0.        ]),
 array([ 0.70710678,  0.        ,  0.        ,  0.        ]))

มันสร้างสัมประสิทธิ์ 4 ชุดสองชุดดังนั้นมันจึงเหมือนกับจำนวนตัวอย่างในสัญญาณดั้งเดิม แต่ความสัมพันธ์ระหว่าง 8 สัมประสิทธิ์เหล่านี้กับไทล์ในไดอะแกรมคืออะไร?

ปรับปรุง:

ที่จริงแล้วฉันอาจทำสิ่งนี้ผิดและควรใช้wavedec()ซึ่งทำให้การแบ่งแยก DWT หลายระดับ:

In [4]: wavedec([1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], 'haar')
Out[4]: 
[array([ 0.35355339]),
 array([ 0.35355339]),
 array([ 0.5,  0. ]),
 array([ 0.70710678,  0.        ,  0.        ,  0.        ])]

คุณถูกต้องว่า FWT คิดว่าเป็น "ลูกพี่ลูกน้อง" ของ STFT ได้ดีกว่า FT ในความเป็นจริง FWT เป็นเพียงการสุ่มตัวอย่างแบบแยกส่วนของ CWT (การแปลงเวฟเล็ตอย่างต่อเนื่อง) เนื่องจาก FFT / DFT เป็นการสุ่มตัวอย่างแบบไม่ต่อเนื่องของการแปลงฟูริเยร์ สิ่งนี้อาจดูเหมือนเป็นจุดที่บอบบาง แต่ก็มีความเกี่ยวข้องเมื่อเลือกวิธีที่คุณลดทอนการแปลง

CWT และ STFT เป็นการวิเคราะห์สัญญาณซ้ำซ้อน กล่าวอีกนัยหนึ่งคุณมี "สัมประสิทธิ์" มากกว่า (ในกรณีที่ไม่ต่อเนื่อง) มากกว่าที่คุณต้องการแสดงสัญญาณอย่างเต็มที่ อย่างไรก็ตามการแปลงฟูริเยร์ (หรือพูดว่าการแปลงเวฟเล็ตโดยใช้เพียงสเกลเดียว) รวมสัญญาณจาก - อินฟินิตี้ถึง + อินฟินิตี้ สิ่งนี้มีประโยชน์ไม่มากกับสัญญาณในโลกแห่งความเป็นจริงดังนั้นเราจึงตัดทอน (เช่นหน้าต่าง) การแปลงเป็นความยาวที่สั้นลง การเปลี่ยนสัญญาณหน้าต่างการเปลี่ยนแปลงการแปลง - คุณคูณด้วยหน้าต่างในเวลา / พื้นที่ดังนั้นในพื้นที่การแปลงคุณจะมีการแปลงการแปลงของหน้าต่างด้วยการแปลงสัญญาณ

ในกรณีของ STFT หน้าต่าง (ปกติ) มีความยาวเท่ากัน (ไม่เป็นศูนย์) ตลอดเวลาและเป็นผู้ไม่เชื่อเรื่องพระเจ้าความถี่ (คุณหน้าต่างสัญญาณ 10 Hz มีความกว้างเท่ากับสัญญาณ 10 kHz) คุณจะได้สเปคตรัมกริดสี่เหลี่ยมเหมือนที่คุณวาด

CWT มีหน้าต่างนี้ในตัวโดยข้อเท็จจริงที่ว่าคลื่นจะสั้นลง (ในเวลาหรือพื้นที่) ในขณะที่ขนาดลดลง (เช่นความถี่ที่สูงขึ้น) ดังนั้นสำหรับความถี่ที่สูงขึ้นหน้าต่างที่มีประสิทธิภาพจะสั้นลงในช่วงเวลาและคุณจบลงด้วยมาตราส่วนที่ดูเหมือนสิ่งที่คุณวาดสำหรับ FWT

วิธีที่คุณแยกแยะ CWT นั้นค่อนข้างขึ้นอยู่กับคุณถึงแม้ว่าฉันคิดว่ามีการสุ่มตัวอย่างขั้นต่ำทั้งในการเลื่อนและปรับระดับเพื่อแสดงสัญญาณอย่างเต็มที่ โดยทั่วไป (อย่างน้อยวิธีที่ฉันใช้พวกเขา) สำหรับระดับต่ำสุด (ความถี่สูงสุด) คุณจะสุ่มตัวอย่างที่ตำแหน่งการเลื่อนทั้งหมด (เวลา / พื้นที่) เมื่อคุณเพิ่มสเกล (ความถี่ต่ำ) คุณสามารถสุ่มตัวอย่างน้อยลง เหตุผลคือความถี่ต่ำจะไม่เปลี่ยนอย่างรวดเร็ว (คิดว่าฉิ่งชนกับกีต้าร์เบส - การชนฉาบมีระยะสั้นมากในขณะที่กีตาร์เบสจะใช้เวลานานในการเปลี่ยน) ในความเป็นจริงในระดับสั้นที่สุด (สมมติว่าคุณสุ่มตัวอย่างในทุกตำแหน่งการเปลี่ยน) คุณมีสัญญาณเต็มรูปแบบ (คุณสามารถสร้างขึ้นใหม่โดยใช้ค่าสัมประสิทธิ์ในระดับนี้เท่านั้น) ฉันไม่แน่ใจเกี่ยวกับเหตุผลในการสุ่มตัวอย่างสเกล ผม' ได้เห็นสิ่งนี้แนะนำว่าเป็นลอการิทึมด้วย (ฉันคิดว่า) ระยะห่างที่ใกล้กว่าระหว่างตาชั่งที่สั้นกว่า ฉันคิดว่าเป็นเพราะเวฟในระดับที่ยาวกว่ามีการแปลงฟูริเยร์ที่กว้างขึ้น (ดังนั้นพวกเขาจึง "รับ" ความถี่มากขึ้น)

ฉันยอมรับว่าฉันไม่เข้าใจ FWT อย่างสมบูรณ์ ลางสังหรณ์ของฉันคือว่าจริง ๆ แล้วมันคือการสุ่มตัวอย่างขั้นต่ำในกะ / สเกลและไม่ใช่การแสดงซ้ำซ้อน แต่ฉันคิดว่าคุณสูญเสียความสามารถในการวิเคราะห์ (และยุ่งเหยิง) สัญญาณในเวลาสั้น ๆ โดยไม่ต้องแนะนำสิ่งประดิษฐ์ ฉันจะอ่านเพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้และหากฉันเรียนรู้สิ่งที่มีประโยชน์รายงานกลับ หวังว่าคนอื่นจะแสดงความคิดเห็น

พิจารณากรณีของ Haar เวฟเล็ต การแปลงเวฟเล็ตอย่างรวดเร็วแบ่งย่อยสัญญาณของคุณซ้ำแล้วซ้ำอีกและคำนวณผลรวมและความแตกต่างของสองครึ่งในแต่ละครั้ง ความแตกต่างคือขนาดของการแปลงสำหรับเวฟเล็ตปัจจุบันและผลรวมจะถูกส่งกลับสำหรับผู้เรียกเพื่อคำนวณขนาดของการแปลงสำหรับเวฟเล็ตพองที่มีความถี่ครึ่ง ดังนั้น FWT ครอบคลุมระนาบเวลาความถี่โดยใช้รูปแบบที่อธิบายไว้ในแผนภาพที่คุณให้

โปรดทราบว่าแผนภาพที่คุณให้นั้นอาจทำให้เข้าใจผิดเล็กน้อย สิ่งที่พวกเขาพยายามจะบอกคุณจริงๆก็คือคุณได้ตัวอย่างหนึ่งตัวอย่างที่ความถี่ต่ำสุดสองตัวอย่างที่สองเท่าของความถี่นั้นสี่ตัวอย่างที่สี่เท่าของความถี่นั้นเป็นต้น คุณสมบัติความถี่เวลาของแต่ละเวฟเล็ตนั้นไม่ครอบคลุมถึงไทล์ของมัน ในทางปฏิบัติแต่ละเวฟเล็ตจะครอบคลุมพื้นที่ที่ไม่มีที่สิ้นสุดเพราะพวกมันมีการรองรับที่กะทัดรัดและดังนั้นจึงต้องมีการแยกส่วนในแง่ของความถี่อย่างสมบูรณ์ ดังนั้นคุณควรคิดถึงศูนย์กลางของแผ่นกระเบื้องเหล่านั้น

ยิ่งไปกว่านั้น FWT ต้องการเวฟเล็ตแบบแยกซึ่งจะต้องเป็นไปตามเกณฑ์การยอมรับที่เข้มงวดยิ่งกว่าเวฟเล็ตต่อเนื่องสำหรับ CWT ดังนั้นคุณสมบัติความถี่เวลาของเวฟเล็ตไม่ต่อเนื่องจึงน่ากลัว (เช่นเวฟ Daubechies เต็มไปด้วยคุณสมบัติที่คมชัดหรือมีการเปลี่ยนแปลงความถี่) และยูทิลิตี้ของเครื่องบินความถี่เวลาจะลดลงอย่างมากในบริบทของ FWT อย่างไรก็ตามเวฟเล็ตต่อเนื่องจะใช้ในการคำนวณการแสดงสัญญาณเวลา

การอ้างอิงของคุณมี:

ลำดับของค่าสัมประสิทธิ์ขึ้นอยู่กับพื้นฐานมุมฉากของคลื่น จำกัด ขนาดเล็กหรือเวฟเล็ต

สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมคุณอาจชอบหน้า DWT ที่นั่นแนะนำ Haar wavelets, Daubechies wavelets และอื่น ๆ มันชี้ให้เห็นว่า

• เวฟเล็ตมีตำแหน่ง - เวฟเล็ต (1,1, –1, –1) สอดคล้องกับ“ ด้านซ้าย” กับ“ ด้านขวา” ในขณะที่เวฟเล็ตสองอันสุดท้ายมีการสนับสนุนทางด้านซ้ายหรือด้านขวาและหนึ่งคือการแปล ของอื่น ๆ
• คลื่น Sinusoidal ไม่มีตำแหน่ง - พวกมันแผ่กระจายไปทั่วพื้นที่ทั้งหมด - แต่มีเฟส - คลื่นที่สองและสามคือการแปลซึ่งกันและกันซึ่งสอดคล้องกับการ 90 °ออกจากเฟสเช่นโคไซน์และไซน์ซึ่งเป็นรุ่นที่ไม่ต่อเนื่อง .

ถ้าแทนของแสงที่ไม่ต่อเนื่องที่คุณต้องการในขณะนี้เกี่ยวกับคลื่นต่อเนื่องหรือแสงที่ซับซ้อนคุณอาจเริ่มต้นด้วยชุดเวฟ

นอกเหนือจากวิกิพีเดียตำราเรียนและหลักสูตรอาจช่วยคุณได้

$O(N^2)$

$O(N)$$O(N\log(N))$$O(\cdot)$

เริ่มต้นจาก STFT หน้าต่างทั่วไป (แบบฟอร์มต่อเนื่อง) หากคุณเสียบหน้าต่างที่ไม่มีที่สิ้นสุดของความสูงของหน่วยคุณกู้คืนการแปลงฟูริเยร์เป็นกรณีพิเศษ ซึ่งคุณสามารถแยกแยะ (และรับ DFT) และทำให้มันรวดเร็ว (และรับ FFT)

เริ่มจาก CWT (รูปแบบต่อเนื่อง) CWT อย่างต่อเนื่องยอมรับปริมาณเวฟเล็ตที่มีศักยภาพอย่างไม่น่าเชื่อ พวกเขาสามารถ discretized เฉพาะกับรูปแบบการสุ่มตัวอย่าง (ในเวลาหรือขนาด) ที่เคารพความไม่เท่าเทียมกันบาง "ไฮเซนเบิร์ก: หนึ่งตัวอย่างต่อหน่วยพื้นผิว รูปแบบเหล่านี้ขึ้นอยู่กับเวฟ ในกรณีส่วนใหญ่รูปแบบการทำ CWT discretized ที่ซ้ำซ้อนและให้เฟรมเวฟเล็ต

บางคนต้องการไม่ใช่แบบซ้ำซ้อนด้วยขนาดของ dyadic (DWT) มีเพียงไม่กี่เวฟเล็ตเท่านั้น (ยังคงมีจำนวนอนันต์ แต่คุณไม่สามารถหาได้โดยบังเอิญ) ในบรรดาคนแรกคือ Haar, แฟรงคลินและเมเยอร์เวฟ หากคุณกำหนดให้การสนับสนุนเวฟเล็ตมีขอบเขต จำกัด Haar ก็ค่อนข้างจะเป็นคนเดียวที่ใช้เวลานาน มันเป็นไปไม่ได้เกือบที่จะได้รับเวฟมุมฉากจาก "แสงอย่างต่อเนื่องธรรมชาติ" ที่ว่าทำไมDaubechiesคน 'ถูกสร้างขึ้นและต่อมาSymmletsและCoiflets เวฟเล็ตรูปทรงแปลก ๆ เหล่านั้นไม่มีสูตรที่ดีและเรียบง่ายเช่นเวฟเล็ต Morlet

$O(N)$

ในความเป็นจริง FWT เป็นเพียงการสุ่มตัวอย่างแบบแยกส่วนของ CWT

DWT (หรือ FWT) แน่นอนเช่น DFT / FFT ส่วนใหญ่ CWT discretized อื่น ๆ (กับเวฟเล็ตใด ๆ ) เป็นเพียงประมาณดังนั้น (ไม่มีอันตรายมากถ้าคุณมีความซ้ำซ้อนเพียงพอ)

ดังนั้น:

• $k$$k$$k$$8$$0$$4T$$2\times 4$$2$$4$$[\omega/2,\omega]$$4$$2\times2$$2$$[\omega/8,\omega/4]$$[1,1,2,4]$
• $k$
• $+$$\times$$O(N)$

ภาพต่อไปนี้แสดงให้เห็นว่า Haar เวฟเล็ตเวอร์ชั่นต่อเนื่องเป็นอย่างไร

สามารถสุ่มตัวอย่างเป็น orthogonal เวฟแบบแยก:

โปรดทราบว่าบางคลื่นไม่ต่อเนื่องโดยเฉพาะอย่างยิ่งความยาว (เช่นเส้นโค้ง) บางครั้งจะคำนวณโดยใช้ FFT :)