ตัวกรองจะมีการหน่วงกลุ่มเป็นศูนย์ได้อย่างไร

10

ถ้าคุณใส่คลื่นแพ็คเก็ตผ่าน passband ของตัวกรอง low-pass ลำดับที่ 1 มันจะล่าช้าโดยกลุ่มล่าช้าของตัวกรองและยังคงเป็นแอมพลิจูดเดียวกันใช่ไหม

หากคุณใส่คลื่นแพ็คเก็ตเดียวกันผ่านตัวกรองความถี่สูงลำดับที่ 1 ลำดับที่มีความถี่การตัดเดียวกันเส้นโค้งการหน่วงเวลากลุ่มจะเหมือนกันดังนั้นความล่าช้าของแพ็กเก็ตจะเหมือนกัน แต่อัตราขยายจะต่ำกว่ามากดังนั้นมันจะ จะล่าช้าและลดทอนความประมาท

เนื่องจากเอาต์พุตของตัวกรอง highpass มีขนาดเล็กมากหากคุณรวมเอาท์พุทของตัวกรองทั้งสองนี้ (เช่นในครอสโอเวอร์ของเสียง) ฉันคาดว่ามันจะแตกต่างอย่างไม่น่าเชื่อจากเอาท์พุทของตัวกรอง lowpass: สัญญาณล่าช้าขนาดใหญ่ + เล็กมาก ล่าช้าสัญญาณ = สัญญาณล่าช้าขนาดใหญ่

แต่ถ้าคุณรวมการตอบกลับของตัวกรองแอมพลิจูดคือ 0 dB ทุกที่และเฟสเป็น 0 ทุกที่ดังนั้นการล่าช้าของกลุ่มกลายเป็น 0 ซึ่งหมายความว่าแพ็กเก็ตคลื่นจะออกมาโดยไม่มีความล่าช้าและไม่มีการเปลี่ยนแปลง ฉันไม่เข้าใจว่ามันจะเป็นไปได้อย่างไร ตัวกรองไม่ได้รับความล่าช้าเสมอไปใช่หรือไม่ ตัวกรอง (ซึ่งมีความล่าช้าในเชิงบวกของกลุ่ม) จะยกเลิกการหน่วงเวลาที่เกิดจากช่องทางอื่นได้อย่างไรโดยเฉพาะเมื่อเกิดเหตุการณ์นี้ในแถบหยุด

ส่วนไหนที่ฉันเข้าใจผิดที่นี่?

ประเภทครอสโอเวอร์ที่รู้จักกันดีที่สุดที่มีเฟสเชิงเส้นเป็นครอสโอเวอร์แบบไม่สั่งซื้ออันดับแรก, ... ครอสโอเวอร์ลำดับที่หนึ่งเป็นเฟสต่ำสุดเมื่อเอาต์พุตรวมเป็นปกติ มันมีพล็อตเฟสแบบแบนที่ 0 ° - การออกแบบของ Crossovers ที่ใช้งานอยู่

และ

ผลลัพธ์ที่ได้จากการรวมเอาท์พุทเข้าด้วยกันทำให้เกิดการเลื่อนเฟส 0 °ซึ่งกล่าวได้ว่าแอมพลิจูดแบบรวมและการเลื่อนเฟสของครอสโอเวอร์ลำดับที่ 1 นั้นเทียบเท่ากับชิ้นส่วนของลวด - Linkwitz-Riley Crossovers: Primer: เครือข่ายครอสโอเวอร์ลำดับที่ 1

การตอบสนองความถี่ครอสโอเวอร์ลำดับที่หนึ่ง

การทดสอบแสดงให้เห็นพัลส์ที่เกิดขึ้นจริงวิธี lowpass นี้ (สีฟ้า) ความล่าช้าในการเต้นของชีพจรเป็นไปตามคาดและวิธี highpass (สีเขียว) สามารถรวมกับมันในการผลิตเดิม (สีแดง) ชีพจร แต่วิธีการที่จะชีพจร highpass ที่เกิดขึ้นก่อนที่เดิมถ้าที่ ตัวกรอง highpass เป็นสาเหตุและมีความล่าช้าของกลุ่มในเชิงบวกหรือไม่ สัญชาตญาณทำให้ฉันล้มเหลว

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

มันจะแสดงให้เห็นว่าการส่งออก highpass ไม่เป็นเล็กน้อยขณะที่ผมคิดและความล่าช้าเป็นสำคัญมากกว่าที่ผมคิดและขณะที่คุณย้ายความถี่รอบทั้งสองคุณสมบัติที่เปลี่ยนไปในทางที่สัดส่วน (ล่าช้าขนาดเล็กต้องใช้ความกว้างต่ำ highpass เอาท์พุท เพื่อแก้ไข) แต่ฉันก็ยังไม่เข้าใจจริงๆ

filters phase group-delay

— endolith
แหล่งที่มา

ดังนั้นคุณหมายถึงว่าทั้งสองตัวกรองมีการจับคู่เช่นที่ฟังก์ชั่นการถ่ายโอนของพวกเขารวมเป็นเอกภาพ (เช่น

H_{l p} (z) + H_{h p} (z) = 1

$H_{lp}(z) + H_{hp}(z) = 1$ )? นั่นก็หมายความว่าผลรวมของการตอบสนองต่อแรงกระตุ้นของพวกเขาเป็นเพียงแรงกระตุ้นที่

n = 0

$n=0$ ซึ่งจะเห็นด้วยกับการที่คุณสังเกตว่ากลุ่มมีความล่าช้าเป็นศูนย์ ฉันคิดว่าสมมติฐานของคุณที่ว่าระยะของตัวกรองทั้งสองรวมเป็นศูนย์อาจผิดพลาด

— Jason R

@JasonR: ใช่ตัวกรองลำดับที่ 1, ไฮสปีดและ lowpass ที่มี fc เดียวกัน en.wikipedia.org/wiki/Audio_crossover#First_order

— endolith

3

@ Jason: endolith ถูกต้องแน่นอน คำสั่งแรก hi / lo pass สร้างขึ้นใหม่อย่างสมบูรณ์แบบคู่ขนาน มีอีกหลายกรณีที่ทำเช่นนี้

— Hilmar

ขอโทษนะเพื่อน; ฉันกำลังคิดว่าจะเรียงลำดับชุดข้อมูลเท่านั้น ไม่สนใจ

— Jason R

6

มีสองแง่มุมที่น่าสนใจของ "การฟื้นฟูให้เป็นเอกภาพ" ครั้งแรกมีสองวิธีในการรวมตัวกรองสองตัว: แบบขนานและแบบอนุกรม สำหรับโทโพโลยีแบบขนานมันเป็นไปได้เสมอที่จะหาตัวกรองอภินันทนาการเพื่อให้ทั้งคู่เพิ่มความสามัคคี มันง่ายพอจริง เพียงแค่ทำ $\tilde{H}(\omega) = 1-H(\omega)$ . ในโดเมนเวลาซึ่งหมายความว่าการตอบสนองต่อแรงกระตุ้นของตัวกรองอภินันทนาการเป็นเพียงผลลบของการตอบสนองต่อแรงกระตุ้นดั้งเดิมโดยเพิ่ม 1 ในตัวอย่างแรก ดังนั้นสิ่งที่ "Ringy" จึงถูกยกเลิก ตอนนี้รูปร่างของตัวกรองอภินันทนาการนี้อาจไม่ใช่สิ่งที่เราคาดหวัง สำหรับการผ่านต่ำลำดับที่ 1 จริง ๆ แล้วเป็นลำดับสูงครั้งแรกสำหรับการสั่งซื้อสูง แต่สำหรับตัวกรองคำสั่งซื้อที่สูงขึ้นมีแนวโน้มที่จะมีการชิงช้าสูง / ต่ำในภูมิภาค cutoff อย่างไรก็ตามมันมักจะเป็นตัวกรองสาเหตุที่มั่นคง

ซีรี่ส์ (หรือเรียงซ้อน) "การสร้างใหม่เพื่อเอกภาพ" นั้นซับซ้อนกว่าเล็กน้อย เห็นได้ชัดว่าตัวกรองจะต้องเป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามของกันและกันคือ $\tilde{H}(\omega) = \frac{1}{H(\omega)}$ . โดยทั่วไปขั้นตอนนี้สามารถทำได้สำหรับขั้นตอนการกรองขั้นต่ำ การผกผันของฟิลเตอร์เฟสขั้นต่ำคือเฟสต่ำสุดและทั้งคู่เป็นสาเหตุและเสถียร

ดังนั้นสิ่งนี้ทำให้เรามีคำถามถึงวิธีตีความความล่าช้าของกลุ่มในกรณีเหล่านี้ กรณีน้ำตกเป็นจริงที่น่าสนใจ เนื่องจากตัวกรองมีการผกผันของกันและกันเฟสและดังนั้นความล่าช้าของกลุ่มหนึ่งจึงเป็นค่าลบของอีกตัว ดังนั้นที่ความถี่หนึ่งตัวกรองมีความล่าช้ากลุ่มบวกอื่น ๆ มีความล่าช้ากลุ่มเชิงลบ ตัวอย่างง่ายๆคือชั้นวางต่ำที่ได้รับ + 6dB และชั้นวางต่ำที่มี 6dB ของการตัด ดังนั้นความล่าช้าในเชิงลบของกลุ่มจึงเป็นเรื่องจริงมากและแน่นอนว่าไม่เป็นการฝ่าฝืนสาเหตุ ในทางปฏิบัติสิ่งเหล่านี้ปรากฏขึ้นในพื้นที่ของตัวกรองที่ค่อนข้าง "ไม่แบน" ดังนั้นการตีความแบบดั้งเดิมของ "ความล่าช้าของซองจดหมาย" จึงไม่สามารถใช้ได้เนื่องจากค่อนข้างมีการบิดเบือนความกว้างของคลื่น

หากคุณ Google "ลบกลุ่มล่าช้า" คุณสามารถค้นหาบทความ IEEE สองสามฉบับที่จัดการเรื่องนี้ได้

— Hilmar
แหล่งที่มา

ตกลง แต่ส่วนที่ทำให้เกิดความสับสนคือตัวกรองทั้งสองมีความล่าช้าในเชิงบวกของกลุ่ม แต่ยังรวมกันเพื่อสร้างผลผลิตที่มีความล่าช้ากลุ่มศูนย์

— endolith

3

โปรดจำไว้ว่าความล่าช้าของกลุ่มนั้นคืออนุพันธ์ (ลบ) ของเฟส สำหรับการเรียงซ้อนแบบขนานเฟสของทั้งสองระบบจะไม่เพิ่มตามที่ต้องการในการเชื่อมต่อแบบอนุกรม ดังนั้นเราไม่ควรคาดหวังว่าความล่าช้าของกลุ่มของทั้งสองระบบจะเพิ่มเช่นกัน

— Jason R

2

นี่คือวิธีคิดอีกวิธีหนึ่ง ความล่าช้าของกลุ่มเหมือนกัน แต่ส่วนที่ล่าช้าออกไปจากระยะดังนั้นพวกเขาจึงยกเลิกกันหมด

— Hilmar

1

ไม่มีการใช้ความล่าช้ากลุ่มที่ไม่ถูกต้องหรือการละเมิดทางฟิสิกส์หรือสาเหตุในปัญหานี้ คำจำกัดความของความล่าช้าของกลุ่มในฐานะที่เป็นอนุพันธ์เชิงลบของเฟสที่เกี่ยวกับความถี่ยังคงอยู่ในนั้นตัวกรองแต่ละตัวของมันเองมีการหน่วงเวลาเชิงบวกที่ไม่คงที่มากกว่าความถี่ รายละเอียดถูกเปิดเผยในสิ่งที่เกิดขึ้นเมื่อตัวกรองเชื่อมต่อแบบขนานหรืออนุกรม

สำหรับตัวอย่างของตัวกรองแบบ cross-over ตัวกรองทั้งสองนี้ขนานกันอย่างเห็นได้ชัดเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่แสดงซึ่งเป็นวิธีที่ง่ายมากที่ผลลัพธ์อาจมีความล่าช้า 0 กลุ่ม: ตัวกรองสองตัวเป็นแบบ low pass และ high pass ฟรี และเมื่อเชื่อมต่อแบบขนานจะทำราวกับว่าไม่มีตัวกรองใด ๆ ปรากฏขึ้น (all-pass, มีความล่าช้า 0) หากตัวกรองเหล่านี้เชื่อมต่อกันเป็นอนุกรมผลลัพธ์จะเป็นแบนด์วิดท์ที่ข้ามไปพร้อมกับความล่าช้าที่คาดไว้ highpass จะลดทอนความถี่ต่ำและ lowpass จะลดทอนความถี่สูงและที่สัญญาณข้ามทั้งสองจะผ่าน -3 dB ของสัญญาณทำให้มีขนาด 0.5 และเฟส = 0 °ที่ข้าม : $\frac{1}{\sqrt{2}}e^{j\pi/2}\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-j\pi/2}$

พิจารณากรณีทั่วไปของระบบเชิงเส้นสองระบบในแบบขนานและในความถี่ดังแสดงในแผนภาพบล็อกด้านล่างด้วยการตอบสนองความถี่ของพวกเขา โปรดทราบว่าค่าสัมประสิทธิ์และเลขชี้กำลังเป็นฟังก์ชันของความถี่ที่ฉันละเว้นเพื่อให้การแสดงออกง่ายและชัดเจน $A_1 e^{j\phi_1}$ หมายถึง $A_1(\omega)e^{j\phi_1(\omega)}$ และทั้งสองนิพจน์คือการแปลงฟูริเยร์ของการตอบสนองแบบอิมพัลส์ของระบบเหล่านั้น (การตอบสนองความถี่) เช่นพล็อตที่แสดงโดย OP สำหรับระบบ high pass และ low pass

พิจารณากรณีแรกตามคำถามของ OP ที่กากบาทเหนือตัวกรองแต่ละตัวจะมีขนาดและเฟสให้เป็น:

ผ่านสูงกว่า: $\frac{1}{\sqrt{2}}e^{j\pi/2}$

lowpass ที่ cross-over: $\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-j\pi/2}$

ผลลัพธ์จะเป็นแบบขนาน: $\frac{1}{\sqrt{2}}e^{j\pi/2} + \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-j\pi/2}$ ซึ่งเท่ากับ 1 กับมุม 0 กรณีนี้ง่ายที่สุดที่จะเห็นภาพกราฟิกเมื่อเพิ่มเวกเตอร์สองตัว:

ในซีรีส์ผลลัพธ์จะเป็น $\frac{1}{\sqrt{2}}e^{j\pi/2}\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-j\pi/2}$ . เมื่อคุณคูณเวกเตอร์คุณคูณขนาดและเพิ่มเฟส (เลขชี้กำลัง) ดังนั้นผลลัพธ์นี้จะเป็นเพียง 0.5 กับเฟส 0

และที่ความถี่สูงสุดตัวกรองแต่ละตัวจะมีขนาดและเฟสให้เป็น:

สูงกว่าเป็นฉ $\rightarrow \infty$ : $1e^{j0}$

ต่ำเป็น f $\rightarrow \infty$ : $0e^{-j\pi}$

โปรดทราบว่าผลลัพธ์ของตัวเรือนแบบขนานยังคงเป็น 1 ด้วยมุม 0 แต่ในกรณีอนุกรมมันจะเข้าใกล้ 0 (ด้วยมุม $-\pi$ ) เมื่อความถี่เข้าใกล้ $\infty$ . สิ่งนี้สมเหตุสมผลแล้ว high pass จะส่งสัญญาณ (โดยไม่ชักช้า - ตัวกรองนั้นใสที่ความถี่สูงสุด) แต่ lowpass นั้นปิดกั้นอย่างสมบูรณ์ดังนั้นจึงไม่มีอะไรผ่านเข้าไปได้ ต่อไปเราจะเห็นว่าเฟสมีการเปลี่ยนแปลงในทิศทางลบอย่างไรเมื่อเราผ่านทางข้ามและมีความล่าช้าในผลของ bandpass ของฟิลเตอร์ที่รวมตามที่กำหนดโดยค่าลบของความชันของการเปลี่ยนเฟสสุทธิกับความถี่ .

สิ่งที่เกิดขึ้นระหว่างนั้นจำเป็นต้องมีความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์พิเศษระหว่างตัวกรองทั้งสองเพื่อให้ชุดค่าผสมแบบขนานเพื่อหาผลรวมของเฟสศูนย์ (และทำให้การรวมกลุ่มเป็นศูนย์ล่าช้า ลองพิจารณาตัวอย่างของ OP ที่เราสามารถเห็นได้อย่างชัดเจนว่ามีความสัมพันธ์เป็นพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสในเฟสของตัวกรองทั้งสอง ดังนั้นเราจึงมี:

A_{1} e^{j ϕ_{1}} + A_{2} e^{j ϕ_{2}}

$A_1e^{j\phi_1} + A_2e^{j\phi_2}$

= A_{1} e^{j ϕ_{1}} + A_{2} e^{j (ϕ_{1} - π / 2})

$=A_1e^{j\phi_1} + A_2e^{j(\phi_1 - \pi/2})$

= A_{1} e^{j ϕ_{1}} + A_{2} e^{- j π / 2} e^{j ϕ_{1}}

$=A_1e^{j\phi_1} + A_2e^{-j\pi/2}e^{j\phi_1}$

= A_{1} e^{j ϕ_{1}} - A_{2} j e^{j ϕ_{1}}

$=A_1e^{j\phi_1} - A_2je^{j\phi_1}$

= e^{j ϕ_{1}} (A_{1} - j A_{2})

$=e^{j\phi_1}(A_1-jA_2)$

เพื่อให้ผลลัพธ์นี้มีเฟสเป็นศูนย์เสมอสำหรับความถี่ทั้งหมดความเท่าเทียมกันต่อไปนี้ต้องถือ:

A_{1} - j A_{2} = e^{- j ϕ_{1}}

$A_1-jA_2 = e^{-j\phi_1}$

หรืออธิบายอีกวิธีหนึ่งว่า:

A_{1} + j A_{2} = e^{j ϕ_{1}}

$A_1+jA_2 = e^{j\phi_1}$

ซึ่งเป็นองค์ประกอบที่แท้จริงและจินตภาพของวงกลมหน่วยในขณะที่เรากวาด $\phi_1$ เหนือค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมด ดังนั้นเมื่อ $A_1 = cos(\phi_1)$ และ $A_2 = sin(\phi_1)$ การรวมเวกเตอร์ของตัวกรองทั้งสองจะส่งผลให้เฟสทั้งหมดเป็นศูนย์ $\phi_1$ และความถี่ทั้งหมด

สำหรับปรีชาที่เป็นไปได้ที่มีพล็อตสุดท้ายที่ OP แสดงให้เห็นและคำถามของเขาให้พิจารณาว่าอนุพันธ์นั้นเป็นฟังก์ชั่น high pass - หากคุณเอาอนุพันธ์ของพัลส์สีแดงคุณจะได้รับพัลส์สีเขียว คุณไม่สามารถเริ่มรับผลลัพธ์นี้จนกว่าจะมีการเต้นของชีพจรสีแดงดังนั้นจึงไม่มีการละเมิดสาเหตุ

— แดนบอสเชน
แหล่งที่มา

0

ฉันคิดว่านี่เป็นคำถามที่ค่อนข้างน่าสนใจดังนั้นฉันจะพยายามตอบมันแม้ว่าจะสายไป 5 ปี

ฉันคิดว่าคุณได้ค้นพบวิธีที่จะใช้วิธีหนึ่งในการวัดความล่าช้าของกลุ่มอย่างไม่ถูกต้องซึ่งก็คือการพูดโดยการคำนวณว่ามันเป็นอนุพันธ์เชิงลบของเฟส ในสถานการณ์นี้วิธีนี้ไม่เหมาะสม

ในสถานการณ์นี้วิธีที่เหมาะสมกว่าในการวัดความล่าช้าของกลุ่มคือการใช้อินพุตของคลื่นไซน์และและวัดความล่าช้าระหว่างอินพุตและเอาต์พุตรวม แน่นอนเพื่อให้ได้ภาพที่สมบูรณ์คุณจะต้องทำการกวาดความถี่ซึ่งเป็นเรื่องยุ่งยาก แต่แม่นยำ

หากคุณทำสิ่งนี้ฉันคิดว่าเราทุกคนเห็นด้วยว่าคุณจะวัดความล่าช้าของกลุ่มที่ไม่ใช่ศูนย์

— user5108_Dan
แหล่งที่มา

2

ขออภัยนั่นไม่ถูกต้อง ความล่าช้าของกลุ่มถูกกำหนดให้เป็นอนุพันธ์เชิงลบของเฟสเทียบกับความถี่ นั่นคือคำจำกัดความและเป็นเช่นนั้นไม่สามารถ "ผิด" สิ่งที่คุณอธิบายจะวัดความล่าช้าเฟสไม่ใช่ความล่าช้าของกลุ่ม ในกรณีของตัวกรองลำดับต่ำแรกและตัวกรองแบบเรียงลำดับแรกที่เรียงลำดับผลลัพธ์จะเหมือนกัน ทั้งกลุ่มล่าช้าและเฟสล่าช้าเป็นศูนย์ที่ความถี่ทั้งหมด

— Hilmar

@ Hilmar มันเชื่อว่ามันเป็นการรวมตัวกันของตัวกรอง high pass และ low pass (ดูคำตอบของฉัน) ไม่ใช่การตกลง อีกทั้งการวัดนั้นเป็นความล่าช้าของกลุ่มที่ความถี่นั้นหากเราทำการวัดการหน่วงเวลา เราสามารถแปลงการวัดการหน่วงเวลาเป็นเฟสโดยการคูณการหน่วงเวลาที่วัดได้ด้วย

2 π / f

$2\pi / f$ .

— Dan Boschen

3

คุณไม่สามารถวัดการหน่วงเวลาได้โดยตรงหากการหน่วงเวลาขึ้นอยู่กับความถี่ ดังนั้นความหมายเป็นเฟสล่าช้าหรือล่าช้ากลุ่ม ระยะหน่วงคือ

f / ω

$f/\omega$ ความล่าช้าของกลุ่มคือ

\partial f / \partial ω

$\partial f/ \partial \omega$ เนื่องจากความล่าช้าของกลุ่มเป็นอนุพันธ์ที่คุณไม่สามารถระบุได้ด้วยการวัดเดี่ยวคุณจึงต้องมีการวัดรอบความถี่ที่น่าสนใจ

— Hilmar

f / ω

$f/\omega$ คือ

1 / (2 π)

$1/(2\pi)$ ?

— Dan Boschen

ใช่.

ω = 2 \cdot π \cdot f

$\omega = 2 \cdot \pi \cdot f$ ถ้านั่นคือสิ่งที่คุณถาม

— Hilmar

0

ความล่าช้าของกลุ่มเกี่ยวข้องกับกลุ่มเช่นสัญญาณมอดูเลตดังนั้นการวัดความล่าช้าของกลุ่มควรทำโดยใช้กลุ่ม (สัญญาณมอดูเลต) กลุ่มที่เข้าสู่ตัวกรองควรจะเหมือนกันตามรูปร่างของมันที่เอาต์พุตของตัวกรอง รูปร่างหมายถึงเช่นสเปกตรัมของกลุ่ม การวัดที่ความถี่เดียวจะไม่มีข้อมูลเกี่ยวกับความล่าช้าของกลุ่ม

— zbyszek
แหล่งที่มา

1

ฉันไม่คิดว่ามันถูกต้อง การหน่วงเวลากลุ่มเป็นการวัดความชันของการตอบสนองเฟสที่ความถี่ที่กำหนด เราคำนวณความล่าช้าของกลุ่มในแต่ละความถี่และใช้แบนด์วิดท์เป็น "รูปแบบความล่าช้าของกลุ่ม" เพื่อระบุจำนวนการล่าช้าของกลุ่มที่จะแตกต่างกันไปตามแบนด์วิดธ์ที่น่าสนใจ เราต้องการช่วงความถี่ที่แน่นอนในการคำนวณอนุพันธ์ของเฟส แต่ความเข้าใจของฉันคือความล่าช้าที่คำนวณได้จากการหาอนุพันธ์ของเฟสเทียบกับความถี่นั้นแน่นอนว่าการหน่วงเวลาที่คุณจะวัดคลื่นไซน์เดี่ยว ที่แต่ละความถี่

— Dan Boschen

1

ความล่าช้าของกลุ่มถูกกำหนดเป็นอนุพันธ์เชิงลบของเฟสเทียบกับความถี่ ตราบใดที่คุณวัดค่ามันไม่สำคัญว่าคุณจะวัดได้อย่างแม่นยำและผลลัพธ์จะเท่ากัน การหน่วงเวลากลุ่มสามารถถูกตีความได้เนื่องจากความล่าช้าของซองจดหมายของสัญญาณมอดูเลตวงแคบ แต่ความถูกต้องของการตีความนั้นขึ้นอยู่กับสถานการณ์เป็นอย่างมาก

— Hilmar